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圆锥曲线知识要点及结论个人总结


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《圆锥曲线》知识要点及重要结论 一、椭圆 1 定义 平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a(2a ? F1 F2 ) 的点 P 的轨迹叫做椭 圆.若 2a ? F1 F2 ,点 P 的轨迹是线段 F1 F2 .若 0 ? 2a ? F1 F2 ,点 P 不存在.

2 标准方程

r />x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) . a2 b2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,两焦点为 F1 (0,?c), F2 (0, c) .其中 a 2 ? b 2 ? c 2 . 2 a b
3 几何性质 椭圆是轴对称图形,有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形,对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个,长轴长为 2 a ,短轴长为 2b ,椭圆的焦点在长轴上. 若椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? a ? x ? a,?b ? y ? b ; a2 b2

y2 x2 若椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? b ? x ? b,?a ? y ? a . a b
二、双曲线 1 定义 平面内到两定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a(0 ? 2a ? F1 F2 ) 的点的

轨迹叫做双曲线. 若 2a ? F1 F2 ,点 P 的轨迹是两条射线.若 2a ? F1 F2 ,点 P 不存在.

2 标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) . a2 b2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,两焦点为 F1 (0,?c), F2 (0, c) .其中 c 2 ? a 2 ? b 2 . 2 a b
3 几何性质 双曲线是轴对称图形,有两条对称轴;双曲线是中心对称图形,对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个 A1 , A2 ,实轴长为 2 a ,虚轴长为 2b ,双曲线的焦点在实轴上. 若双曲线的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 x ? ?a或x ? a, y ? R ; a2 b2

y2 x2 若双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 y ? ?a或y ? a, x ? R . a b

1

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4 渐近线 双曲线

b b x2 y2 x2 y2 y ? x y ? ? x ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ? ?0 有两条渐近线 和 . 即 a a a2 b2 a2 b2 a a y2 x2 y2 x2 y ? x y ? ? x ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ? ?0 有两条渐近线 和 . 即 b b a2 b2 a2 b2

双曲线

双曲线的渐进线是它的重要几何特征, 每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线, 但对于同一 组渐进线却对应无数条双曲线.

x2 y2 x2 y2 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 共渐进线的双曲线可表示为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b
直线与双曲线有两个交点的条件,一定要“消元后的方程的二次项系数 ? 0 ”和“ ? ? 0 ” 同时成立. 5 等轴双曲线:实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线. 等轴双曲线的标准方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0 ) ? ? 1(a ? 0) . 或 a2 a2 a2 a2

等轴双曲线的渐近线方程为 y ? ? x . 6 共轭双曲线:实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线. 如:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,它们的焦点到 的共轭双曲线为 a2 b2 b2 a2

原点的距离相等,因而在以原点为圆心, a 2 ? b 2 为半径的圆上.且它们的渐近线都是

y?

b b x和 y ? ? x . a a

三、抛物线 1 定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( F 不在 l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线. 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. 2 标准方程

p p ,0) ,准线方程为 x ? ? ,抛物线张口向右. 2 2 p p 2 (2) y ? ?2 px( p ? 0) ,焦点为 ( ? ,0) ,准线方程为 x ? ,抛物线张口向左. 2 2 p p 2 (3) x ? 2 py( p ? 0) ,焦点为 (0, ) ,准线方程为 y ? ? ,抛物线张口向上. 2 2 p p 2 (4) x ? ?2 py( p ? 0) ,焦点为 (0,? ) ,准线方程为 y ? ,抛物线张口向下. 2 2 其中 p 表示焦点到准线的距离.
(1) y ? 2 px( p ? 0) ,焦点为 (
2

3 几何性质 抛物线是轴对称图形,有一条对称轴 .若方程为 y ? 2 px( p ? 0) 或 y ? ?2 px( p ? 0) ,
2 2

2

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则对称轴是 x 轴,若方程为 x 2 ? 2 py( p ? 0) 或 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,则对称轴是 y 轴. 若抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,则 x ? 0, y ? R . 若抛物线方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) ,则 x ? 0, y ? R . 若抛物线方程为 x 2 ? 2 py( p ? 0) ,则 y ? 0, x ? R . 若抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,则 y ? 0, x ? R .

圆锥曲线的一些重要结论 【几个重要结论】 1 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , P( x0 , y0 ) 为椭圆上一 a2 b2
2 ( x 0 ? c) 2 ? y 0 ? ( x0 ? c) 2 ? b 2 (1 ? 2 x0 ) a2

点,则 PF 1 ?

?

2 c 2 x0 cx cx ? 2cx 0 ? a 2 ? ( 0 ? a ) 2 ? 0 ? a 2 a a a

因为 ? a ? x0 ? a , ? c ?

cx0 cx ? c,0 ? a ? c ? 0 ? a ? a ? c , a a

所以 PF1 ?

cx0 cx ? a . 同理, PF2 ? 2a ? PF1 ? a ? 0 . a a

x2 y2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,P( x0 , y0 ) 为 a b
双曲线上一点,则 PF1 ?

cx0 cx ? a , PF2 ? 0 ? a . a a

2 椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 , F2 , P 为椭圆上一点,若 ?F1 PF2 ? ? ,则 a2 b2 b 2 sin ? ? ? b 2 tan . 1 ? cos? 2

?F1 PF2 的面积为

解:根据椭圆的定义可得 PF 1 ? PF 2 ? 2a ①
2 由余弦定理可得 4c ? F1 F2 2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ? ②

2

2

3

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由①②得 4a 2 ? 4c 2 ? 2 PF 1 PF2 ? 1 PF 2 (1 ? cos? ) .从而 PF

2b 2 1 ? cos?

所以, ?PF 1 F2 的面积为

1 b 2 sin ? ? PF1 PF2 sin ? ? ? b 2 tan 2 1 ? cos? 2

双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点为 F1 , F2 , P 为其上一点,若 ?F1 PF2 ? ? ,则 a2 b2

1 b 2 sin ? ? ? b 2 cot . ?F1 PF2 的面积为 PF1 PF2 sin ? ? 2 1 ? cos? 2
3 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , M , N 是 C 上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆 a2 b2

上任意一点,当直线 PM , PN 的斜率都存在,并记为 k PM , k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是 与点 P 位置无关的定值. 解:设 P( x0 , y0 ), M ( x1 , y1 ) ,则 N (? x1 ,? y1 ) .

k PM ?

2 y1 ? y 0 ? y1 ? y 0 y ? y0 ? y1 ? y0 y0 ? y12 ,从而 k PM ? k PN ? 1 . , k PN ? ? ? 2 x1 ? x0 ? x1 ? x0 x1 ? x0 ? x1 ? x0 x0 ? x12
2 2 x0 y0 x12 y12 ? ? 1 , ? ? 1. a2 b2 a2 b2

又因为 P( x0 , y0 ), M ( x1 , y1 ) 都在椭圆上,故

2 2 2 x0 ? x12 y 0 ? y12 y0 ? y12 b2 b2 ? ? 0 k ? k ? ? 两式相减得, ,因而 2 . ? ? 2 即 PM PN a2 b2 a2 x0 ? x12 a

类似结论 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) . M , N 是 C 上关于原点对称的两点,点 P 是双曲线 a2 b2

上任意一点,当直线 PM , PN 的斜率都存在,并记为 k PM , k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是 与点 P 位置无关的定值. 【常用方法】 1 在求轨迹方程时,若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以用定义求轨迹方 程,这是常用求轨迹的数学方法,称为定义法. 2 本章经常会碰到直线 l 与圆锥曲线 C 相交于两点的问题,若已知 l 过定点 P( x0 , y0 ) ,则可 设 l 的方程为 x ? x0 或 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) .然后分两种情况进行研究, 一般处理方法是把直

4

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线方程代入曲线 C 的方程中,整理得到关于 x 或 y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否 为零 ).韦达定理和判别式经常要用到!若 l 的条件不明显时,则可设 l 的方程为 x ? m 或

y ? kx ? m .
3 本章还经常用到 “点差法” : 设直线 l 与圆锥曲线 C 交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 A, B 两 点坐标都满足曲线 C 的方程, 然后把这两个结构相同的式子相减, 整理可以得到直线 AB 的 斜率

y 2 ? y1 的表达式,也经常会出现 x1 ? x2 , y1 ? y 2 ,这样又可以与线段 AB 的中点 x2 ? x1

P( x0 , y0 ) 联系起来!
4 若三点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) 满足以线段 AB 为直径的圆经过点 P 或 AP ? BP 时,常用处理方法有: ①根据勾股定理可得 AB
2

? PA ? PB ;

2

2

②根据 AP 的斜率与 BP 的斜率之积为 ? 1 ,可得

y0 ? y1 y0 ? y 2 ? ? ?1 ; x0 ? x1 x0 ? x2

③根据 PA ? PB ? 0, PA ? ( x1 ? x 0 , y1 ? y 0 ), PB ? ( x 2 ? x 0 , y 2 ? y 0 ) 可得

( x1 ? x0 )(x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 0 .
5 求轨迹方程的方法常见的有:直接法、定义法、待定系数法、代入法(也叫相关点法).

圆锥曲线中有用的结论
1 椭圆

? x ? a cos? x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?
2 2

c b2 离心率 e ? ? 1 ? 2 , a a
△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

a2 b2 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c b2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2 ? . a 2 2 x y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a b
线到中心的距离为

5

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PF1 ? e( x ?
S?F1PF2

a2 ) ? a ? ex , c ?F PF ? c | yP |? b 2 tan 1 。 2

PF2 ? e(

a2 ? x) ? a ? ex c



3 椭圆的的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 x 2 y0 x2 y 2 ? ?1. (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 a b a 2 b2

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

4 椭圆的切线方程:

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y ( 3 ) 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 A a ? B b ? c2 .
(1) 椭圆

x2 y 2 c b2 5 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ? 1 ? 2 , a b a a
△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a
a

2 2 2 2 焦点在 x 轴的 x 2 ? y2 ? m(m ? 0) 与焦点在 y 轴的 y2 ? x 2 ? n(n ? 0) 共渐近

a

b

b

1 线,它们离心率满足关系 1 ? 2 ?1 2 ex ey

a2 b2 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c b2 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: 2 ? . a 2 a a2 焦半径公式 PF1 ?| e( x ? ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | , c c ? F 2 1 PF 两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 ? b cot 。 2
准线到中心的距离为 6 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a b a a b
(2)若渐近线方程为 y ? ?

x y x2 y2 b ? ? 0 ? ??. 双曲线可设为 ? ? x a b a a2 b2

x2 y2 x2 y2 (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b
6

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( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。 7 双曲线的切线方程:

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b 2 8 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式: p 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2
(1)双曲线 过焦点弦长 CD ? x1 ?

2p p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p = sin 2 ? 2 2
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

9 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

AB ? (1 ? k 2 )[( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ?F( x, y) ? 0

? ? 0 , ? 为直线的倾斜角, k 为直线斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
10. 经过抛物线 y2=2px (p>0) (*)的焦点作一条直线 l 交抛物线于 A(x1 ,y1)、B(x2, y2) ,则 ①l 的方程为 x= p (通经所在直线),或 y=k(x- p ) (**)
2 2

②(*)、(**)两式联立: 消 x 得 k y 2 ? y ? pk ? 0 ,得 y1y2=-p2(定值)消 y 得方 2p 2
2 2 2 程 k 2 x 2 ? (k 2 p ? 2 p ) x ? k p ? 0 ,得 x1x2= p (定值) 4 4 2 例题: 若 P1(x1 ,y1), P2(x2, y2)是抛物线 y =2px (p>0)上不同的两点, 则 “y1y2=-p2” 是 “直 线 P1P2 过抛物线焦点 F”的充要条件. 11. ①以焦点弦 AB 为直径的圆必与准线相切。 ②以焦半径为直径的圆必与 y 轴相切(请证明! ) ③过 A、 B 作准线的垂线, 焦点弦 AB 与准线形成的直角梯形 ABB/A/ 的对角线的交 点是原点. 2 ④T(2p,0)是抛物线 y =2px 对称轴 y=0 上的特殊点,过此点的弦与抛物线交于 P、

Q,则有∠POQ=90o 或说 OP ?OQ ? 0 。

12.中点弦公式 1. AB 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点, a 2 b2

则 kOM ? k AB

b 2 x0 b2 ? ? 2 ,即 K AB ? ? 2 。 a a y0
7

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2.AB 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的 a 2 b2 b2 x b2 x 中点,则 K OM ? K AB ? 2 0 ,即 K AB ? 2 0 。 a y0 a y0

13. 抛 物 线 y 2 ? 2 px 上 的 动 点 可 设为 P (

y? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x , y ) , 其 中 2p

2

y2 ? 2 px .
16. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a 2 b2 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 .

2 2 2 2 15.焦点在 x 轴的 x 2 ? y2 ? m(m ? 0) 与焦点在 y 轴的 y2 ? x 2 ? n(n ? 0) 共渐近线,它们 a b b a 1 1 离心率满足关系 ? 2 ?1 2 ex ey

8


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