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高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解教案 新人教A版必修1


3.1.2

用二分法求方程的近似解

[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方 法,体会“逐步逼近”的思想.

[知识链接] 现有一款手机,目前知道它的价格在 500~1 000 元之间,你能在最短的时间内猜出与它最 近的价格吗?(误差不超过 20 元),猜价格方案:(1)

随机;(2)每次增加 20 元;(3)每次取 价格范围内的中间价,采取哪一种方案好呢? [预习导引] 1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 2.二分法的步骤 给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)). ③若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复(2)~ (4).

要点一 二分法概念的理解 例 1 下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )

1

答案 A 解析 按定义,f(x)在[a,b]上是连续的,且 f(a)·f(b)<0,才能不断地把函数零点所在 的区间一分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项 B、C、D 满足条 件,而选项 A 不满足,在 A 中,图象经过零点 x0 时,函数值不变号,因此不能用二分法求 解.故选 A. 规律方法 1.准确理解“二分法”的含义. 二分就是平均分成两部分. 二分法就是通过不断 地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的 精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在该 零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 跟踪演练 1 (1)下列函数中,能用二分法求零点的为( )

(2)用二分法求函数 f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是(

)

①f(x)在区间[a,b]是连续不断;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b)≥0. A.①② B.①③ C.①④ D.①②③

答案 (1)B (2)A 解析 (1)函数图象连续不断,函数零点附近的函数值异号,这样的函数零点才能使用二分 法求解,观察四个函数图象,只有 B 选项符合. (2)由二分法的意义,知选 A. 要点二 用二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 2x +3x-3=0 的一个正实数近似解(精确度 0.1). 解 令 f(x)=2x +3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0, 所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点, 即方程 2x +3x=3 在(0,1)内有解.
3 3 3

2

取(0,1)的中点 0.5,经计算 f(0.5)<0, 又 f(1)>0, 所以方程 2x +3x-3=0 在(0.5,1)内有解. 如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表: (a,b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75 ) 中点 c 0.5 0.75 0.625 0.687 5
3

f(a) f(0)<0 f(0.5)<0 f(0.5)<0 f(0.625)<0

f(b) f(1)>0 f(1)>0 f(0.75)>0

f(

a+b
2

)

f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0

f(0.75)>0 f(0.687 5)<0

由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1, 所以方程 2x +3x-3=0 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为 0.687 5. 规律方法 1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示:
3

2. 求形如 f(x)=g(x)的方程的近似解, 可以通过移项转化成求 F(x)=f(x)-g(x)的近似解 问题. 跟踪演练 2 用二分法求 2 + x=4 在[1,2]内的近似解(精确度为 0.2).参考数据:
x

x
2
x

1.125 2.18
x

1.25 2.38

1.375 2.59

1.5 2.83

1.625 3.08

1.75 3.36

1.875 3.67

解 令 f(x)=2 +x-4,则 f(1)=2+1-4<0,

f(2)=22+2-4>0.
区间 (1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) ∵|1.375-1.5|=0.125<0.2, ∴2 +x=4 在(1,2)内的近似解可取为 1.375.
x

区间中点值 xn

f(xn)的值及符号 f(x1)=0.33>0 f(x2)=-0.37<0 f(x3)=-0.035<0

x1=1.5 x2=1.25 x3=1.375

3

1.用二分法求函数 f(x)=x +5 的零点可以取的初始区间是( A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 答案 A 解析 ∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,

3

)

f(-2)·f(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法逐次计算.
2.定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数 f(x)在区间(a,b)上有一个 零点 x0, 且 f(a)·f(b)<0, 用二分法求 x0 时, 当 f? A.(a,b)外的点 B.x=

?a+b?=0 时, 则函数 f(x)的零点是( ? ? 2 ?

)

a+b
2

C.区间?a,

? ?

a+b? ?a+b ? ,b

?或? 2 ? ? 2

?内的任意一个实数 ?

D.x=a 或 x=b 答案 B 解析 由二分法的思想, 采用二分法得到的零点可能是准确值, 也可能是近似值. 由 f? =0,知选 B. 3.函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程 f(x)=0 在(1,2)内近似解的过 程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 答案 A 解析 由于 f(1.25)·f(1.5)<0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5). 4.函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间( ) )

?a+b? ? ? 2 ?

?1 1? A.? , ? ?8 4?
答案 C

?1 1? B.? , ? ?4 2?

?1 ? C.? ,1? ?2 ?

D.(1,2)

15 5 ?1? ?1? ?1? 解析 f? ?=- <0,f? ?=- <0,f? ?=-1<0,f(1)=1>0,f(2)=4>0, 8 4 4 2 ? ? ? ? ?2?

?1 ? ∴函数零点落在区间? ,1?上. ?2 ?
5.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间(2,3)内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那么下一 个有根的区间是________. 答案 (2,2.5) 解析 f(2)=2 -2×2-5=-1<0,f(2.5)=2.5 -2×2.5-5=5.625>0,
4
3 3 3

∴下一个有根的区间是(2,2.5).

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找 到零点附近足够小的区间, 根据所要求的精确度, 用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足: (1)在区间[a,b]上连续不断; (2)f(a)·f(b)<0. 上述两条的函数,方可采用二分法求得零点的近似值.

一、基础达标 1.已知函数 f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )

A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 答案 D 解析 由图象知函数 f(x)与 x 轴有 4 个交点, 因此零点个数为 4, 从左往右数第 4 个交点两 侧不满足 f(a)·f(b)<0,因此不能用二分法求零点,而其余 3 个均可使用二分法求零点. 2.为了求函数 f(x)=2 -x 的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量 x 和函数值 f(x) 的部分对应值[f(x)的值精确到 0.01]如下表如示:
x
2

x f(x)

0.6 1.16

1.0 1.00

1.4 0.68 )

1.8 0.24

2.2 -0.25

2.6 -0.70

3.0 -1.00

则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) 答案 C

解析 ∵f(1.8)·f(2.2)=0.24×(-0.25)<0, ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选 C. 3.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可
3

5

得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________,以上横线上应填的内容为( A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.125) 答案 A

)

解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由 f(0)<0, f(0.5)>0 知 x0∈(0,0.5). 再 计算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值,以判断 x0 的更准确位置. 4.设方程 2x+2 =10 的根为 β 则 β 属于( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C 解析 设 f(x)=2x+2 -10,则 f(x)在 R 上为单调增函数,故只有一个零点.f(0)=-9,
x x

)

f(1)=-6, f(2)=-2,f(3)=4,∴f(2)·f(3)<0.∴β ∈(2,3).

?1?x 5.函数 y=? ? 与函数 y=lg x 的图象的交点的横坐标(精确度 0.1)约是( ?2?
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 答案 D

)

1 1 ?1?x ?1? 解析 设 f(x)=lg x-? ? ,经计算 f(1)=- <0,f(2)=lg 2- >0,所以方程 lg x-? ? 2 2 4 ? ? ?2?
x

=0 在[1,2]内有解.应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间,可知选项 D 符合要求.

3 6.用二分法求方程 ln x-2+x=0 在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点 c= ,则 2 下一个含根的区间是__________.

?3 ? 答案 ? ,2? ?2 ?
3 1 ?3? 解析 令 f(x)=ln x-2+x,∵f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,f? ?=ln - <0,∴下 2 2 ?2?

?3 ? 一个含根的区间是? ,2?. ?2 ?
7.用二分法求函数 f(x)=3 -x-4 的一个零点,其参考数据如下:
x

f(1.600 0)=
0.200

f(1.587 5)=0.133

f(1.575 0)=0.067

6

f(1.562 5)=
0.003

f(1.556 2)=-
0.029

f(1.550 0)=-0.060

据此数据,求 f(x)=3 -x-4 的一个零点的近似值(精确度 0.01). 解 由表中 f(1.562 5)=0.003,f(1.556 2)=-0.029. ∴f(1.562 5)·f(1.556 2)<0. 又|1.562 5-1.556 2|=0.006 3<0.01, ∴一个零点近似值为 1.562 5(不唯一). 二、能力提升 8.在用“二分法”求函数 f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所 取的区间可能是( )

x

A.[1,4] B.[-2,1] 5? ? C.?-2, ? 2? ? 答案 D 解析 由于第一次所取的区间为[-2,4], ∴第二次所取区间为[-2,1]或[1,4], 第三次所取区间为

? 1 ? D.?- ,1? ? 2 ?

?-2,-1?,?-1,1?,?1,5?或?5,4?. ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2 ? ? 2? ?2 ?
9.用二分法求方程 x -8=0 在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能 达到 0.01? 答案 7 解析 设 n 次“二分”后精确度达到 0.01, 1 n ∵区间(2,3)的长度为 1,∴ n<0.01,即 2 >100. 2 注意到 2 =64<100,2 =128>100. 故要经过 7 次二分后精确度达到 0.01. 10.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这个 零点(精确度为 0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________. 答案 4 0.1 n 解析 设等分的最少次数为 n,则由 n <0.01,得 2 >10,∴n 的最小值为 4. 2 11.画出函数 f(x)=x -x-1 的图象,并利用二分法说明方程 x -x-1=0 在[0,2]内的根 的情况.
7
2 2 6 7 3

解 图象如图所示,

因为 f(0)=-1<0,f(2)=1>0,所以方程 x -x-1=0 在(0,2)内有根 x0;取(0,2)的中点 1,因为 f(1)=-1<0,所以 f(1)·f(2)<0,根 x0 在区间(1,2)内;再取(1,2)的中点 1.5,

2

f(1.5)=-0.25<0, 所以 f(1.5)·f(2)<0, 根 x0 在区间(1.5,2)内; 取(1.5,2)的中点 1.75, f(1.75)=0.312 5>0,所以 f(1.5)·f(1.75)<0,根 x0 在区间(1.5,1.75)内.这样继续下
去,可以得到满足一定精确度的方程的近似根. 三、探究与创新 12.求方程 ln x+x-3=0 在(2,3)内的近似解(精确度为 0.1). 解 令 f(x)=ln x+x-3,求函数 f(x)=0 在(2,3)内的零点. ∵f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下: 区间 (2,3) (2,2.5) (2,2.25) (2.125,2.25) ∵2.25-2.187 5=0.062 5<0.1, ∴在区间 (2.187 5,2.25) 内任意实数都是函数的零点的近似值,即方程的近似解可取为 2.25. 13.用二分法求 5的近似值(精确度 0.1). 解 设 x= 5,则 x =5,即 x -5=0, 令 f(x)=x -5. 因为 f(2.2)=-0.16<0.f(2.4)=0.76>0, 所以 f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0, 取区间(2.2,2.4)的中点 x1=2.3,则 f(2.3)=0.29. 因为 f(2.2)·f(2.3)<0,∴x0∈(2.2,2.3), 再取区间(2.2,2.3)的中点 x2=2.25,
2 2 2

中点的值 2.5 2.25 2.125 2.187 5

中点函数近似值 0.416 0.061 -0.121 -0.030

f(2.25)=0.062 5.
因为 f(2.2)·f(2.25)<0,所以 x0∈(2.2,2.25).由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以 5 的近似值可取为 2.25.

8


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