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《直线与圆的位置关系》优质课比赛课件


复习回顾
1.点与圆的位置关系 :
2 2 2 点 p( x0 , y0 ),圆方程( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0)

P( x , y )
0 0

P( x , y )
0 0

P( x , y )
0 0

(a

,b)

d为点P到圆心(a,b)的距离.

(1)点P( x y )在圆上 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2
0 0

即d ? r 即d ? r 即d ? r

(2)点P( x y )在圆内 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2
0 0

(3)点P( x y )在圆外 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2
0 0

2. 直线与圆的位置关系
无交点时

图形
?

圆心到直线距离 d 与圆半径r之间关系

?值情况

1、直线和圆相离
有一个交点时

C2

d ?r

??0

2、直线和圆相切
有两个交点时

?

C2

d ?r
d ?r

??0 ??0

3、直线和圆相交

?

C2

几何方法 代数方法

反馈练习

(x ?1 )? y 已知直线方程为 x ? y ? m ? 0 ,圆方程为
2

2

?1

则当m为何值时,直线与圆(1)相切 ; (2)相离 ;(3)相交
解:由圆方程知圆心为(1,0),半径为1

由已知圆心到直线距离 d ?

1? m 2

(1)直线与圆相切时,d=1 则 1 ? m ? 2 得m ? ? 2 ?1 (2)直线与圆相离时,d>1 则 1 ? m ? 2 得m> 2 ?1, 或m ? ? 2 ?1 (3)直线与圆相l交时,d<1 则 1 ? m ? 2 得- 2 -1<m ?

2 ?1

例1.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的 切线,切点为A、B。 求切线直线PA、PB的方程;
2 1 -1 O -1
y

C?

A
x
?

B 1 2

P

解:由题知切线斜率存在则设方程为:y ? 1 ? k ( x ? 2)

即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0. 由已知圆C的圆心为(1,2),半径为 2
则 ?k ?3 1? k
2

? 2

? k ? 6k ? 7 ? 0 解得 k ? 7 或 k ? ?1.
2

故所求切线方程为: y ? 1 ? 7( x ? 2) 或 y ? 1 ? ?(x ? 2)

即 7x ? y ? 15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

反馈练习

1.若直线(1 ? a) x ? y ?1 ? 0与圆x2 ? y 2 ? 2x ? 0相切,则a的值为( D)
A. 1或-1 B. 2,或-2 C. 1 D. -1

2.若过两点A(?1,0), B(0,2)的直线与圆( x ?1)2 ? ( y ? a)2 ? 1相切,则a ? ?
4?a x y 直线方程为 ? ? 1即2 x ? y ? 2 ? 0 圆心到直线的距离 ?1 ?1 2 5

a ? 4?

5

y
?

P
x

已知圆方程为x ? y ? r (r ? 0) (1)若点P( x0 , y0 )在圆上
2 2 2

O

直线x0 x ? y0 y ? r 2 表示以( x0 , y0 )为切点的切线方程
(2)若点P( x0 , y0 )在圆外

直线x0 x ? y0 y ? r 2表示什么呢?

(2) 已知圆的方程为x 2

? y ? r , P( x . y )是圆外一点,经过P
2 2 0 0

点作圆的两切线,切点分别为A、B,求直线AB方程。
解:设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 )
则l AP : x1 x ? y1 y ? r , lBP : x2 x ? y2 y ? r
2 2

y

A
?

?

P

2 ? x x ? y y ? r (1) ? 1 0 1 0 ?? 2 ? x x ? y y ? r (2) 2 0 ? 2 0

O

?

B

x

由(1)说明点( x1, y1 )在直线x0 x ? y0 y ? r 2上 由(2)说明点 ( x2 , y2 )在直线x0 x ? y0 y ? r 2上

? l AB : x0 x ? y0 y ? r

2

3. 圆x 2 ? y 2 ? r 2与直线x0 x ? y0 y ? r 2之间的关系

y
?

(1)若点P( x0 , y0 )在圆上
直线x0 x ? y0 y ? r 2 表示以( x0 , y0 )为切点的切线方程
O

P
x

(2)若点P( x0 , y0 )在圆外
直线x0 x ? y0 y ? r 2 表示切点弦所在直线方 程

y

A
?
2

?

P

若圆方程为( x ? a) ? ( y ? b) ? r 则相应的直线
2 2 2

方程为 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r

O

?

B

x

反馈练习

1.写出过圆x2 ? y2 ? 10上一点M(2, 6 )的切线方程.

2 x ? 6 y ? 10

2 2.已知圆方程(x-1) ? y 2 ? 25, 过点(4,4)作圆的切线,

切线方程为

3x ? 4 y ? 28 ? 0

3.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线, 切点为A、B,则直线AB为
(2 ?1)(x ?1) ? (?1 ? 2)( y ? 2) ? 2 因为P(2, ?1) 所以直线AB方程为:

即x ? 3 y ? 3 ? 0

4. 直线被圆截得的弦长的求法:
(1)几何方法: 运用弦心距 d 、半径r 及弦的一半构成的直 角三角形,计算弦长 (2)代数方法:
2 2 2

r d A B

AB ? 2 r ? d .
2 2

设直线y ? kx ? b与圆( x ? a) ? ( y ? b) ? r 相交于A, B两点, 将直线与圆方程联立后,整理出x的方程,求出

x ? x 及x ? x ,则
A B A B

AB ? 1 ? k x ? x ? (1+k ) ?( x ? x ) ? 4 x x
2 2 2 A B A B A

B

?

例题分析 已知圆C : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0

B

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值
A

? x ? ( y ? 1) ? 5 得 解法1( : 1)由? ?mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

l
又直线的斜率k=m

代 (1+m2 ) x2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0* 数 则? ? 4m4 ? 4(m2 ? 1)(m2 ? 5) ? 16m2 ? 20 方 ? m ? R, 总有? ? 0 法 因此所证命题成立
(2)设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )则由方程* 知

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2
2 2 2 m m ?5 2 ? 1 ? m2 ( ) ? 4 ? 17 2 2 1? m 1? m

得m 2 ? 3则m ? ? ? m的值为 ? 3

3

2m 2 m2 ? 5 x1 ? x2 ? , x1x2 ? 2 1? m 1 ? m2

已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值
解法2:(1)由圆方程可知,圆心为(0,1),半径为 r =

5

B
d

则 圆心到直线 l 的距离为

r

A l

几 何 方 法

m2 1 d? ? ? 1 ? 1 ? m2 1 ? m2 1 ? m2

?m

?m ? R,总有d< 5

因此所证命题成立

(2)由平面解析几何的垂径定理可知 r 2 ? d 2 ? (
2 17 3 m 3 ? d 2 ? 5 ? ? ,即 ? 4 4 1 ? m2 4

17 2 ) 2

得m 2 ? 3则m ? ? ?m 的值为 ? 3

3

变式演练
m为何值时,直线2 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 5
2 2

(1)无公共点;(2)截得弦长为2;
解: (1)由已知,圆心为O(0,0), 半径r ?

5,
2

圆心到直线2 x ? y ? m ? 0的距离d ?
因为直线与圆无公共点, ? d ? r ,即 m

m 2 ? (?1)
2

?

m 5

,

5 故当m ? 5或m ? ?5时,直线与圆无公共点。
(2)如图,有平面几何垂径定理知

? 5 ? m ? 5或m ? ?5
y d r 0 x

m r ? d ? 1 , 即5 ? ? 1得m ? ?2 5 5
2 2 2 2

故当m ? ?2 5时,直线被圆截得的弦长为2

代数解法
?2 x ? y ? m ? 0 2 2 解:由? 2 , 得 5 x ? 4 mx ? m ?5 ? 0 2 ?x ? y ? 5 则? ? 16m 2 ? 4 ? 5 ? m 2 ? 5 ? ? ?4m 2 ? 100

? ??

? m ? ?5或m ? 5 ?1?由已知得? ? ?4m2 ?100 ? 0,

? 2? 设两交点A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?
4 m2 ? 5 由? ?? 知x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? 5 5 2 则弦长 AB ? 1 ? 22 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 2
m2 ? 5 ? 4 ? 得m ? ?2 5 即 5 ? ? m? ? 4?5 ? 2, 5 ? 5 ?
2

?当m ? ?2 5时,直线被截得弦长为2.

变式演练

已知过点M (?3, ?3)的直线l被圆x ? y ? 4 y ? 21 ? 0所截得的弦长
2 2

为4 5,求直线l的方程
解:将圆的方程写成标准形式,得

y
o

x ? ( y ? 2) ? 25,
2 2

如图2-3-9,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5, 所以
4 5 弦心距为 5 ? ( ) ?5 2 即圆心到所求直线 l 的距离为 5 。
2 2

M (-3,-3)
l

x

因为直线l过点M (-3,-3),所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3)

即kx-y+3k-3=0
根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的距离 d ?

2 ? 3k ? 3 k ?1
2

.

2 ? 3k ? 3 因此, ? 5,即 3k ? 1 ? 5 ? 5k , k ?1
2 2
2

1 两边平方并整理得2k ? 3k ? 2 ? 0.解得k ? ? , 或k ? 2. 2

所以,所求直线 l 有两条,方程分别为 y ? 3 ? ? ( x ? 3), 或y ? 3 ? 2( x ? 3)

即x ? 2 y ? 9 ? 0, 或2 x ? y ? 3 ? 0.

1 2

例题分析

已知圆 O′的圆心在 y 轴上,截直线 l1:3x+4y+3=0所得弦长为 8 , 且与直线l2:3x-4y+37=0相切,求圆O′的方程。 l1 A 解: C
由于圆O?的圆心在y轴上,
2 2

B
2

设圆的方程为 x ? ( y ? b ) ? r , 其中O( ? 0 ,b),半径为 r,

O′

l2

设 l1与圆O?交于A、B两点,则 AB ? 8 , 过圆O? 作O? C ? l1于C,则C为弦AB

O?C ? 的中点(如图),在 Rt△O? AC中,

4b ? 3 5

, O? A ? r

? 4b ? 3 ? ? ? ? ? 16 ? r ① ? 5 ? ?4b ? 37 ? ? r② 又 圆O?与 l2相切 5
2

2

解由①②组成的方程组 得:b ? 3 ,r ? 5

?圆O? 的方程为x2 ? ( y ? 3)2 ? 25 .

变式演练

求经过A(2, ?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 在直线y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆心在直线 y ? ?2 x上
? b ? ?2a (1)
O
C
?

?

A

x

又经过点A(2,?1) ?(2 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 (2)

因为圆与直线 x ? y ? 1相切 | a ? b ?1 | ? ? r (3) 2
由(1)(2)(3)得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2

k AC ?

b ?1 ? ?1 a?2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

变式演练

求经过A(2, ?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 在直线y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解法2:设圆的方程为( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

以A为切点的圆的切线方程 是:

O
2

?

(2 ? a)(x ? a) ? (?1 ? b)( y ? b) ? r

C

?

A

x

? (2 ? a) x ? (1 ? b) y ? a 2 ? 2a ? b2 ? b ? r 2 ? 0
即与x ? y ? 1是同一直线

2 ? a ? 1 ? b 2a ? a 2 ? b 2 ? b ? r 2 ? ? ? 1 1 1 又b ? ?2a 解得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

1.直线与圆的位置关系:
2 2

相离、相切、相交

判断方法: 几何方法、代数方法.

2.若圆方程为( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,点P(x ,y ) 直线方程为 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2之间的关系
2 0 0

根据 P 点在圆外、圆上而不同.

3. 直线被圆截得的弦长的求法:
(1)几何方法:
(2) 代数方法:

AB ? 2 r ? d .
2 2

AB ? 1 ? k x ? x ? (1+k ) ?( x ? x ) ? 4 x x
2 2 2 A B A B A

B

?

高考命题研究
直线与圆的位置关系一直是高考考查的热点,从近两年高考命题

情况来看,涉及本节知识的考题多为基础题,以选择题和填空题形式
出现有时也有综合性较强的解答题,解决直线与圆的位置关系问题时, 要联系圆的几何性质,利用有关图形的几何特征,尽可能简化运算。

课 后 思 考 题
如上图,某城市中的高空观览车的高度是100米, 在离观览车约150米处有一高建筑物,某人在离 建筑物100米的地方刚好可以看到观览车,你能 根据上述数据求出该建筑物的高度吗?

y E

C?100
O

D

150

A

100

B

x

提示:如图建立直角坐标系 由题意知直线 BD与圆C相切 A(150,0), B(250,0), C (0,50)

直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)
圆方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r>0)
2 2 2

? Ax ? By ? C ? 0 由? 消元,得到x或y一元二次方程 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

的判别式为?,
则判别式?有三种情况: ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0


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