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2015-2016学年高中数学 第2章 第20课时 平面向量共线的坐标表示课时作业(含解析)新人教A版必修4


课时作业(二十)

平面向量共线的坐标表示

A 组 基础巩固 ?2015·河北衡水中学高一调研? 1. 已知向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 a∥b,则 a +b=( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1) 解析:∵a∥b,∴x=-4,∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1),故选 A. 答案:A 2.(2015·贵州贵阳市高一期末)已知向量 a=(2,3),b=(cosθ ,sinθ ),且 a∥b, 则 tanθ 的值为( ) 3 2 A. B.- 2 3 2 3 C. D.- 3 2 3 解析:由题意,得 2sinθ =3cosθ ,则 tanθ = ,故选 A. 2 答案:A 2 3.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x ),则向量 a+b( ) A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 2 解析:∵a+b=(0,1+x ),∴平行于 y 轴,故选 C. 答案:C 4.?2015·四川凉山州高一检测?若 a=(2cosα ,1),b=(sinα ,1),且 a∥b,则 tanα 等于( ) 1 A.2 B. 2 1 C.-2 D.- 2 解析:∵a∥b,∴2cosα ×1=sinα ,∴tanα =2,故选 A. 答案:A 5.已知向量 a、b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 解析:由 c∥d,则存在 λ 使 c=λ d,即 ka+b=λ a-λ b, ∴(k-λ )a+(λ +1)b=0.又 a 与 b 不共线, ∴k-λ =0,且 λ +1=0. ∴k=-1.此时 c=-a+b=-(a-b)=-d.故 c 与 d 反向,故选 D. 答案:D 6.?2015·四川成都高一统测?已知向量 a=(1,2),b=(0,1),设 u=a+kb,v=2a -b,若 u∥v,则实数 k 的值为( ) 1 A.-1 B.- 2 1 C. D.1 2 解析:∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),
1

1 又∵u∥v,∴1×3=2(2+k),得 k=- ,故选 B. 2 答案:B 7.?2015·福建三明市高一月考?已知 A、 B、 C 三点在一条直线上, 且 A(3, -6), B(- 5,2),若 C 点的横坐标为 6,则 C 点的纵坐标为( ) A.-13 B.9 C.-9 D.13 → → 3 解析:C 点坐标(6,y),则AB=(-8,8),AC=(3,y+6).∵A、B、C 三点共线,∴ -8 y+6 = , 8 ∴y=-9,故选 C. 答案:C → 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC= → → mOA+nOB,其中 m,n∈R 且 m+n=1,则点 C 的轨迹方程为( ) A.3x+2y-11=0 2 2 B.(x-1) +(y-2) =5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 解析:设点 C 的坐标为(x,y),则(x,y)=m(3,1)+n(-1,3)=(3m-n,m+3n). ? ?x=3m-n, ① ∴? ①+2×②得, ?y=m+3n, ② ? x+2y=5m+5n,又 m+n=1, ∴x+2y-5=0.所以点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0,故选 D. 答案:D 9.已知向量 a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若 a∥b,则实数 x 的值等于__________. 解析:由 a∥b 得 3(2x+1)=4(2-x), 1 解得 x= . 2 1 答案: 2 → → 10.已知 A(3, -4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|AP|=2|PB|,求点 P 的坐标. → → → → → → 解析:设 P(x,y),则由|AP|=2|PB|得AP=2PB或AP=-2PB. → → 若AP=2PB,则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y).
? ?x-3=-2-2x, 所以? ?y+4=4-2y. ?

1 ? ?x= 解得? 3 ? ?y=0

?1 ? ,故 P? ,0?. ?3 ?

→ → ?x=-5, ? 若AP=-2PB,同理可解得? ?y=8, ? 故 P(-5,8) ?1 ? 综上,P 点坐标为? ,0?或(-5,8). ?3 ?
2

B 组 能力提升 1 11.已知 a=(-2,1-cosθ ),b=(1+cosθ ,- ),且 a∥b,则锐角 θ 等于( 4 A.45° B.30° C.60° D.30°或 60° ? 1? 2 2 解析:由 a∥b 得-2×?- ?=1-cos θ =sin θ , ? 4? ∵θ 为锐角,∴sinθ = 答案:A 2 ,∴θ =45°. 2

)

→ → → 12.若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=________. → → → 解析:BC=BA-CA=(2,3)-(4,7)=(-2,-4),故答案为(-2,-4). 答案:(-2,-4) → → → → 1 1 13.已知 A、B、C 三点的坐标为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且AE= AC,BF= BC, 3 3 → → 求证:EF∥AB. 证明:设 E、F 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → 依题意有AC=(2,2), → → BC=(-2,3),AB=(4,-1). → → 1 ∵AE= AC, 3 1 ∴(x1+1,y1)= (2,2). 3 ? 1 2? ∴点 E 的坐标为?- , ?. ? 3 3? ?7 ? 同理点 F 的坐标为? ,0?, ?3 ? → 2? ?8 EF=? ,- ?. 3? ?3 8 ? 2? 又 ×(-1)-4×?- ?=0, 3 ? 3? → → ∴EF∥AB. → → → 14.已知点 O(0,0),A(1,3),B(4,5)及OP=OA+tAB. (1)t 为何值时,P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应 t 的值;若不能,请说明理由. → 解析:(1)易知AB=(3,2), → 从而OP=(1+3t,3+2t). ?1+3t<0, ? 3 1 于是? 得- <t<- . 2 3 ? ?3+2t>0,
3

→ → ? ?1+3t=3, (2)四边形 OABP 不能成为平行四边形.若能,则有OP=AB.从而? ?3+2t=2, ? 可能的. ∴四边形 OABP 不能成为平行四边形. 15.?附加题·选做? 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求 3a+b-2c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k. 解析:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(9-1-8,6+2-2) =(0,6). (2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1) =(-m+4n,2m+n). ∴-m+4n=3 且 2m+n=2, 5 8 解得 m= ,n= . 9 9 (3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0. 16 ∴k=- . 13

这是不

4



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