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2015年高考数学六大核心重点之数列与不等式押题讲义 文理(学生版)


1,数列与不等式小题 题 1: 在正项等比数列{ an }中, an ?1 < an , a2 ? a8 ? 6, a4 ? a6 ? 5 ,则

a5 = a7





5 6 2 C. 3
A. 题 2:

B.

6 5 3 D. 2

已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn ? n ? n, 正 项 等 比 数 列 {bn } 中 , b2 ? a3 ,
2

2 bn?3bn?1 ? 4bn (n ? 2, n ? N? ) ,则 log 2 bn ? (



A. n ? 1 题 3:

B. 2 n ? 1

C. n ? 2

D. n

已知 ?a n ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为(



A. 题 4:

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

设数列错误! 未找到引用源。 的前 n 项和为错误! 未找到引用源。 , 若错误! 未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 A、错误!未找到引用源。 引用源。 题 5: 数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos 题 6: 已知等比数列错误!未找到引用源。的前 n 项和为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引 用源。 ,则错误!未找到引用源。__________ ( ) C、错误!未找到

B、错误!未找到引用源。

D、错误!未找到引用源。

n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S2013 ? 2



题 7: 已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? tan 225 , a5 ? 13a1 ,设 S n 为数列 {(?1)n an } 的前 n 项和,则
S 2014 ? (



A.2014
题目 8:

B. ?2014

C.3021

D. ?3021

已知 {an } 为等差数列,其公差为-2,且 a 7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为 {an } 前 n 项和,

n ? N * 则 S10 的值为
A.-110 题 9: 数列 ?an ? 的首项为 3, ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N ?) , 若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? ( (A) 0 (B) 3 ) (C) 8 (D) 11 B.-90 C.90 D.110





题 10: 在等比数列 {an } 中, S n 是它的前 n 项和,若 a? ? a? ? ?a? ,且 a ? 与 ?a? 的等差中项为 17,则

S? ? (



A.

?? ?

B.16

C.15

D.

?? ?

题 11: 在等差数列 {an } 中,若 a5 ? a8 ? a11 ? 3 ,则该数列的前 15 项的和为____________. 题12: 等差数列前 n 项和为 S n ,若 a2 + a8 + a11 = 30 ,则 S13 的值是( (A) 130 (B) 65 (C) 70 ) (D) 75

题 13: 设正项等比数列 ?a n ?的前 n 项积为 Tn ,若 T9 ? 1 ,则 a4 ? a8 =__________.
3

题 14: 设正项等比数列 ?a n ?的前 n 项积为 Tn ,若 T9 ? 1 ,则 a4 ? a6 =__________.

题目 15: 已知数列 ①当 k ? ②当

?an ?满足 an ? n ? k n ?n ? N ? ,0 ? k ? 1? ,给出下列命题:
1 时,数列 ?a n ?为递减数列 2

1 ? k ? 1 时,数列 ?a n ?不一定有最大项 2 1 ③当 0 ? k ? 时,数列 ?a n ?为递减数列 2 k ④当 为正整数时,数列 ?a n ?必有两项相等的最大项 1? k
请写出正确的命题的序号____ 题 16: 数 列 ?a n ? 满 足 an ? an ?1 ? ( ) A、 5 题 17: 设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 a 与 3 b 的等比中项,则 1 B、

1 (n ? N * ), a2 ? 2 , Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 则 Sn 为 2

7 2

C、

9 2

D、

13 2

a
题 18:

?

1 的最小值为____ b

数列 {an } 共有 5 项,其中 a1 ? 0, a5 ? 2 ,且 ai ?1 ? ai ? 1, i ? 1,2,3,4 ,则满足条件的不同数 列的个数为 A、3 题 19: ( B、4 C、5
*



D、6

已知 Sn 是数列 ?a n ? 的前 n 项和,若对任意的 n ? N 都满足 an?1 ? an ? a2 ,且 a3 ? 2 则

S2014 ? (
题 20:

) B、 1006 ? 2014 C、 1007 ? 2013 D、 1007 ? 2014
n

A、 1006 ? 2013

已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? tan225?, a5 ? 13a1 ,设 S n 为数列 {(?1) an } 的前 n 项 和,则 S 2014 = (A) 2014 题 21: 在等比数列 {an } 中, S n 是它的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2a 7 的等差中项为 17 , 则 S6 ? (B) ? 2014 (C) 3021 (D) ? 3021

(A)

63 4

(B) 16

(C) 15

(D)

61 4

题目 22: 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 A.1 题目 23 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若不等式 an ?
2 2 Sn ? ?a12 对任意等差数列和任意正整数 n 都 n2

a5 5 S ? ,则 9 等于(▲) a3 9 S5

B.-1

C.2

D.

1 2

成立,则实数 ? 的最大值为____ 题目 24

题目 25

题目 26

题目 27 若 2 ? 4 ? 2 2 ,则点 (m, n) 必在(
m n

) B、直线 x ? y ? 1 的右下方 D、直线 x ? 2 y ? 1 的右下方

A、直线 x ? y ? 1 的左下方 C、直线 x ? 2 y ? 1 的左下方 题目 28

? x?0 ? 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 4 分成面积相等的两部分,则 k ?3 x ? y ? 4 ?
的值为 ( )

7 A、 3
题目 29

3 D、 7

17 C、 ? 3

3 D、 ? 17

题目 30

? x?3 y2 ? 若 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 ,则目标函数 z ? 的最大值是 x ?x ? y ? 4 ? 1 1 A、 D、 C、3 D、9 9 3





2,数列与不等式大题 题 1: 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? 2, n ? N * .
x (Ⅰ)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? 2 互为反函数,令 bn ? f (a n ) ,求数列 {an ? bn } 的前

n 项和 T n ;
(II)已知数列 ?c n ?满足 cn ?

2 ? an ? ? (?1) n?1 ? ,证明:对任意的整数 k ? 4 , ? 3? 4 ?



1 1 1 8 ? ? ??? ? ? . c 4 c5 ck 9

题目 2 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? n .
2

(I)求数列 ?an ?的通项公式; (II)若数列 ?an ?和数列 ?bn ?满足等式 an ? 题目 3

b b1 b2 b3 ? 2 ? 3 ?? ? n , 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 2 2 2 2n

题目 4

题目 5:

2 k 已知数列 ?a n ?的各项都为正数,且对任意 n ? N , an ?1 ? an an? 2 ? k ( 为常数)
*

(1)若 k ? 0 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1
*

若存在,求出 ? ;若不存在,说明理由. 题目 6:

(2)已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,是否存在常数 ? ,使得 an ? an? 2 ? ?an?1 对任意 n ? N 都成立?

题 7: 已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn 是 (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列; (Ⅱ)若 b1 ? a1 ,且 bn ? 2bn?1 ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 cn ?

1 与 (an ? 1)2 的等比中项. 4

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ? 3

题目 8:

题目 9: 已知正项数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (I)求数列 ?a n ?的通项公式 an ; (II)求证: ( an ? 1)bn ?

(an ? 1) 2 1 , bn ? ,n? N* n 4 (n ? 1)

1 n n ?1



(III)求证: a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 1 .

题目 10: 已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a( x ? R) 同时满足;
2

①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素; ②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? f (n) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式: (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设各项均不为 0 的数列 {cn } 中,所有满足 c1.ci ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列

{cn } 的变号数,令 cn ? 1 ?

a (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的变号数, an

题目 11: 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 1 ? an (n ? N * ) . (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ?

bnbn?1 1 , cn ? ,求 Tn ? c1 ? c2 ? ?cn . log1 an ? 1 n ? 2 ? n ?1
3

题目 12: 已知等比数列 ?a n ?的各项都是正数, a1 ? 2, an an?1 ? m ? 4m , n ? N * , (I)求 m 的值及数列 ?a n ?的通项公式; (II)证明: a1 a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ?? ? an an ? 4 .

题目 13: 已知数列 ?a n ?的各项都是正数, a1 ? 1 ,点 P(an?1 , an )(n ? N * ) 在曲线 x ? y ? 1 上.
2 2

(I)求数列 ?a n ?的通项公式; (II)设 bn ?

mT ? m 1 , 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m 使得 2 n ?1 an ?1 ? an an ? 10
*

对任意的 n ? N 恒成立?若存在,求 m 得最大值;若不存在,请说明理由. 题目 14: 数列 {an } 的各项均为正值, a1 ? 1 ,对任意 n∈N*,

an?12 ?1 ? 4an (an ?1), bn ? log2 (an ?1) 都成立.
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)当 k>7 且 k∈N 时,证明:对任意 n∈N 都有
* *

1 1 1 ? ? ? bn bn?1 bn? 2

?

1 bnk ?1

?

3 成立. 2

参考答案: 1,数列与不等式小题 题 1:

题 2:

题 3:

题 4:

题 5:

题 6:

题 7:

题目 8: 【答案】D

题 9:

题 10:

题 11:

题12: 【答案】A

题 13: 【答案】1 【解析】正项等比数列 ?a n ?的首项为 a1 与公比 q ,由

T9 ? 1 ? a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 ? a5 a5 ? 1 a4 ? a8 ? (a1q 4 ) 4 ? 1
3

9

【考点】等比数列的通项公式;等比数列的乘积运算. 题 14: 【答案】1 【解析】设等比数列 {an } 的通项公式为 an ? a1q
n ?1

1 ? T9 ? a1 ? a2 ? a3 ??? a9 ? a1 ? a1q ? a1q2 ??? a1q9?1 ? a19q36
?a1q4 ? 1
a4 ? a6 ? a1q3 ? a1q5 ? a12q8 ? (a1q4 )2 ? 1
故答案为 1 【考点】等比数列的通项公式;等比数列的乘积运算. 题目 15: 答案: ③④ 解: an?1 ? an ? k n?1 (n ? 1) ? k n n ? (k ? 1)k n (n ? 对于① a1 ? a 2 ?

k ) 1? k

1 1 k , ,故不是递减数列,①错;②当 ? k ? 1 时, k ? 1 ? 0, ? 1 ,故当 2 2 1? k

n?

k k k 时 an?1 ? an ,当 n ? 时 an?1 ? an ,所以 ?an ? 一定有最大项,②错,且当 为 1? k 1? k 1? k

正整数时, ?an ? 必有两相等的最大项,分别是 a 对于③,当 0 ? k ?

k 1? k

和a

k ?1 1? k

,④正确;

1 k k 时, k ? 1 ? 0, 0 ? ? 1,所以 an?1 ? an ? (k ? 1)k n ( n? )? 0对 2 1? k 1? k

?n ? N * 恒成立,数列数列 ?an ? 为递减数列,③正确.
题 16: 【答案】B 【解析】 : a1 ? ? 题 17: 【答案】4 题 18: 【答案】B 【解析】 :设 bi ? ai ?1 ? ai , i ? 1, 2,3, 4 ,则 bi 等于 1 或-1, 由 a5 ? (a5 ? a4 ) ? (a4 ? a3 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? b4 ? b3 ? b2 ? b1 ,
1 知 bi (i ? 1,2,3,4) 共有 3 个 1,1 个-1.这种组合共有 C4 ? 4 个,

3 7 3 , a2 ? 2, a3 ? ? , a4 ? 2 …, S21 ? a1 ?10S2 ? 2 2 2

题 19: 【答案】B 【解析】 :在 an ?1 ? an ? a2 中,令 n ? 1, 则 a2 ? a1 ? a2 , a1 ? 0 ,令 n ? 2 , 则 a3 ? 2 ? 2a2 , a2 ? 1 ,于是 an ?1 ? an ? 1 ,故数列 ?an ? 是首项为 0,公差为 1 的等差数列,

? S 2014 ?

2014 ? 2013 ? 1007 ? 2013 . 2

题 20: 【答案】C 题 21: 【答案】A 题 22: 答案: A 题 23 【答案】 【解析】

1 5

题目 24 【答案】 a n ? 【解析】

2n ? 1 2n

题目 25 【答案】A 【解析】

题目 26 【答案】D 【解析】

题目 27 【答案】C 【解析】 由 2 2 ? 2m ? 2n ? 2 2m?2n 得 m ? 2n ? 1 ,故(m,n)在直线 x ? 2 y ? 1 左下方 题目 28 【答案】C 题目 29 【答案】C 题目 30 【答案】D

2,数列与不等式大题 题 1: 【答案】 (Ⅰ)由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,得 a1 ? 2 ………………………2 分 当 n ? 2 时,有 an ? S n ? S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ,

an ? 2, a n ?1

所以数列 {an } 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 a n ? 2 n ……………4 分 由题意得 bn ? log2 an ? n ,所以 an ? bn ? n ? 2 n .

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? n ? 2 n

①, ②,

① ? 2 得 2 ? Tn ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1

①-②得 ? Tn ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 , 所以 Tn ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ……………………………………………………7 分

(Ⅱ)由通项公式得 c4 ? 2 .当 n ? 3 且 n 为奇数时,

3 2 ?2 1 1 3? 1 1 ? 3 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ? ? ? ? n?2 ? n ?1 ? ? ? 2n ?3 2 2 n ?3 c n c n ?1 2 ? 2 ? 1 2 ? 1? 2 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ?2 ? 1 2
当 k ? 4 且 k 为偶数时,

n ?1

n?2

3? 1 1 ? ? ? n?2 ? n?1 ? 2?2 2 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3? 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? k ?2 ? = c4 c5 ck c4 c5 c6 ck ?1 ck 2 2?2 2 2 ?
1 3 1 ? 1 ? 1 3 8 ? ? ? ?1 ? k ?4 ? ? ? ? . ……………………………………………10 分 2 2 4 ? 2 ? 2 8 9
当 k ? 4 且 k 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 8 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? . c 4 c5 c k c 4 c5 ck ck ?1 9
1 1 1 8 ? ? ??? ? ? . c 4 c5 ck 9
……………………………13 分

所以对任意的整数 k ? 4 ,有 题目 2 【答案】

题目 3 【解析】

题目 4 【解析】

题目 5: 【答案】 :
2 an ? 等比,记公比 q (1)当 k=0 时, an ?1 ? an ? an?2 且 an ? 0 ,故 ?

由 2a4 ? a2 ? a5 得 q ? 2q ?1 ? 0
3 2

?q ?1 或 q ?

1? 5 (负值舍) 2
……6 分

?

1? 5 a2 ? q ?1 或 2 a1
5? k 2
使 an ? an?2 ? ?an?1

(2)存在 ? ?

证明:∵ a 2 n ?1 ? an ? an ? 2 ? k

∴ a 2 n ? an?1 ? an?1 ? k (n ? 2) 即 a 2 n?1 ? an?1 ? a ? a 2 n ? an ? an?2

∴ a 2 n?1 ? a 2 n ? an ? an?2 ? an?1 ? an?1 同除以 an ? an?1 ∴

an ? an ? 2 an ?1 ? an ?1 a ?a ? ?…? 3 1 a2 an ?1 an

∵ a3 ?

2 a2 ?k ? 4?k a1



a n ? a n? 2 5 ? k ? an?1 2
5? k ?常数 2
……13 分

即 an ? an ? 2 ? ? ? an ?1 且 ? ? 题目 6: 【答案】

1 ?1? (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



Q S n ? S n ?1 ?

?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , S n ? n 2

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * ); (2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ? 2n ? 1 2009 9 2009

题 7: 【答案】

2 (Ⅰ) ( S n ) ?

1 1 ( an ? 1) 2 即 S n ? (an ? 1) 2 …………1 分 4 4 1 2 当 n ? 1 时, a1 ? ( a1 ? 1) ,∴ a1 ? 1 …………2 分 4 1 2 当 n ? 2 时, S n ?1 ? ( an ?1 ? 1) 4 1 2 2 ∴ an ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ) 4
即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 2 …………4 分 …………6 分 …………3 分

∴数列 {an } 是等差数列 (Ⅱ)由 bn ? 2bn?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn?1 ? 3) ∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2n?1 ? (a1 ? 3)2n?1 ? 2n?1 ∴ bn ? 2n?1 ? 3 (Ⅲ) cn ?

…………8 分 …………9 分

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

…………10 分

1 3 5 2n ? 1 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ① 2 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 1 1 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n ?1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ?2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2n ? 3 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ Tn ? 题目 8: 【答案】 ⑴由由条件得: S n ?

…………13 分

1 2 1 1 1 2 1 1 an ? an ? ①得当 n ? 2 时 Sn ?1 ? an an ?1 ? ② ?1 ? 4 2 4 4 2 4

①-②化简得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,又数列 ?an ? 各项为正数, ∴当 n ? 2 时 an ? an?1 ? 2 ,故数列 ?an ? 成等差数列,公差为 2,

又 a1 ? S1 ?

1 2 1 1 a1 ? a1 ? 解得: a1 ? 1 ,∴ an ? 2n ? 1 4 2 4

…………(5 分)

n为奇数 ? an ? ⑵由分段函数 f (n) ? ? n 可以得到: f ( ) n为偶数 ? ? 2

c1 ? f (6) ? f (3) ? a3 ? 5 , c2 ? f (8) ? f (4) ? f (2) ? f (1) ? a1 ? 1,
当 n ? 3 , n ? N 时,
?

cn ? f (2n ? 4) ? f (2n?1 ? 2) ? f (2n?2 ?1) ? 2(2n?2 ?1) ?1 ? 2n?1 ?1
故当 n ? 3 , n ? N 时,
?

Tn ? 5 ? 1 ? (22 ? 1) ? (23 ? 1) ?
n ?1 ? 5 ? ?Tn ? ? 6 n?2 n ?2 ? n n ? 3, n ? N ? ?
题目 9: 【答案】

? (2n?1 ? 1) ? 6 ?

4(1 ? 2n?2 ) ? (n ? 2) ? 2n ? n 1? 2

…………(12 分)

题目 10: 【答案】

题目 11:. 【答案】 (1)当 n ? 1时 时,由 2 S1 ? 1 ? a1 得 a1 ? 当 n ? 2 时, 2 S n ? 1 ? an ①

1 , 3

2 S n ?1 ? 1 ? an ?1 ②
1 an ?1 3 1 1 所以数列 ?an ? 是以首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 1 n 求得 an ? ( ) 3
上面两式相减,得 an ?

· · · · · · · · ·6 分

(2) bn ?

1 1 1 , ? ? log 1 an ? 1 log ( 1 ) n ? 1 n ? 1 1 3 3 3

1 1 ? bnbn ?1 n ? 2 ? n ?1 1 1 cn ? ? n ?1 n ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 n ? 2 ? n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n?2
Tn ?
题目 12: 【解析】 (Ⅰ)由已知可设 an ? 2q
n?1

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 3 3 4

1 1 2 1 ? ? ? 2 n ?1 n?2 n?2

· · · · · · · ·13 分

(q ? 0), 则

an ? 2 an ?1an ? 2 ? ? q 2 ? 4, ∴ q ? 2, an an an ?1

? an ? 2n ,?an an?1 ? m ? 4n ? 22n?1 ? 2 ? 4n , ∴ m ? 2 . ………………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an an ? 令 Sn ?
2n n

1 an

2n ? 2 2 , ∴ a1 a1 ? a2 a2 ? a3 a3
n

an ? 2 2

?

2 22

?????

n 2n

.…7 分

1 1 2 n 1 2 n ? 2 ? ??? ? n , 则 Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2?n 1 1 1 1 1 n 2?n 两式相减得 S n ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 , ∴ S n ? 2 ? n ? 2, 2 2 2 2 2 2 2 2
∴ a1 a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ????? an an ? 4. …………………………………………13 分 题目 13: 【解析】
2 2 (Ⅰ)因为点 P(an ?1 , an ) 在曲线 x ? y ? 1 上,所以 an ?1 ? an ? 1,

2

2

2 所以数列 an 是以 a12 ? 1 为首项, 1 为公差的等差数列,………………………4 分

? ?

2 所以 an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ,又因为 an ? 0 ,所以 an ? n .………………6 分

(Ⅱ)因为 bn ?

1 ? n ?1 ? n , n ?1 ? n

所以 Tn ? b1 ? b2 ????? bn ? 2 ?1? 3 ? 2 ????? n ? 1 ? n ? n ? 1 ? 1 .
2 mTn ? m ? an ? 10 , m ?

n ? 10 9 ? n ?1 ? , n ?1 n ?1

因为 n ? 1 ?

9 ? 2 9 ? 6 ,当且仅当 n ? 1 ? 9 ,即 n ? 8 时取等号, n ?1

所以存在这样的正整数 m 满足条件,且 m 的最大值是 5.…………………13 分 题目 14: 【解析】 2 解: ( 1 ) 由 a n + 1 ? 1 = 4 a n ( a n +1) , 得 ( a n + 1 +2a n +1 ) ( a n + 1 -2a n - 1 ) =0 , 数 列 {a n } 的 各 项 为 正 值 , a n + 1 +2a n +1 > 0 , ∴ a n + 1 =2a n +1 , ∴ a n + 1 +1=2 ( a n +1 ) , ∵ a 1 +1=2 ≠ 0 , ∴ 数 列 {a n +1} 为 等 比 数 列 . n? 1 n n ∴ a n +1 = ( a 1 +1) ? 2 = 2 , a n = 2 ? 1 , 即 为 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 . ∵ b n =log 2 ( a n +1 ) , n ∴ b n = lo g 2 (2 ? 1+1) = n . ………………6 分 (2) 求证的的问题即: 当 k>7 且 k∈N*时, 对任意 n ? N ,
*

1 1 1 ? ? ? n n ?1 n ? 2

1 3 ? nk ? 1 2

1 1 1 1 ? ? ? ,则 n n ?1 n ? 2 nk ? 1 1 1 1 1 S? ? ? ? ? nk ? 1 nk ? 2 n ?1 n 1 1 1 1 1 1 ? 2S ? ( ? )?( ? )? ?( ? ) n nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 nk ? 1 n
方法一:令 S ?

1 1 4 x ? 0, y ? 0,时有 ? ? (当且仅当x ? y时等号成立) x y x? y
4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 nk ? 1 ? n n ? nk ? 1 2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 2 3 ?S ? ? ? 2(1 ? ) ? 2(1 ? )? 1 1? k k ?1 7 ?1 2 1? k ? n ? 2S ?
方法二:

………………13 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?( ? ? ? ? )?( ? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 n n ? 1 n ? 2 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ?( ? ? )?( ? ? ) 6n ? 1 6n ? 2 7n 7n ? 1 7n ? 2 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? ? ? )?( ? ? )? n n ?1 n ? 2 2n 2n ? 1 2n ? 2 3n 1 1 1 1 1 1 ?( ? ? ) ? n? ? n? ? ? n? 6n ? 1 6n ? 2 7n 2n 3n 7n 1 1 1 1 223 3 ? ? ? ? ? ? ? ??????13分 2 3 4 7 140 2

1 )? 3n

方法三(利用定积分放缩同样给分。要作出 f ( x) ? ln x 大致图象并指出小矩形面积之和大 于曲边梯形面积)

1 1 1 ? ? ? n n ?1 n ? 2

nk 1 1 3 ? ? dx ? ln x |n nk ? ln k ? ln 7 ? n nk ? 1 x 2

………………13 分



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