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2014届高考数学一轮复习 第3章《三角函数、解三角形》(第3课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 3 章《三角函数、 解三角形》 (第 3 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 4 π 1.若 cosα =- ,α 是第三象限的角,则 sin(α + )=( 5 4 7 2 A.- 10 C.- 2 10 B. D. 7 2 10 2 10 )

4 3 π 解析:选 A.由于 α 是第三象限角且 cosα =- ,∴sinα =- ,∴sin(α + )= 5 5 4 π π 2 4 3 7 sinα cos +cosα sin = (- - )=- 2. 4 4 2 5 5 10 2.(2013·青岛质检)cos42°cos78°+sin42°cos168°等于( 1 1 A.- B. 2 2 3 3 D. 2 2 解析:选 A.cos42°cos78°+sin42°cos168° =cos42°cos78°-sin42°sin78° 1 =cos120°=- . 2 C.- 3.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanA·tanB,则 C 等于( π 2π A. B. 3 3 π π C. D. 6 4 解析:选 A.由题意得,tanA+tanB =- 3(1-tanAtanB), tanA+tanB ∴ =- 3, 1-tanAtanB 即 tan(A+B)=- 3, 又 tanC=tan[π -(A+B)]=-tan(A+B)= 3, π ∴C= . 3 π 4 π 2 4.若 α ∈( ,π ),且 sinα = ,则 sin(α + )- cosα =( 2 5 4 2 A. C. 2 2 5 4 2 5 2 2 B.- 5 4 2 D.- 5 π 2 π π 2 4 2 )- cosα =sinα cos +cosα sin - cosα = × = 4 2 4 4 2 5 2
1

)

)

)

解析:选 A.sin(α +

2 2 .故选 A. 5 1 1 ? π? 5.已知 cosα = ,cos(α +β )=- ,且 α 、β ∈?0, ?,则 cos(α -β )的值等 2? 3 3 ? 于( ) 1 1 A.- B. 2 2 1 23 C.- D. 3 27 π? ? 解析:选 D.∵α ∈?0, ?,2α ∈(0,π ). 2? ? 1 7 2 ∵cosα = ,∴cos2α =2cos α -1=- , 3 9 4 2 2 ∴sin2α = 1-cos 2α = , 9 ? π? 而 α ,β ∈?0, ?,∴α +β ∈(0,π ), 2? ? ∴sin(α +β )= 1-cos ? α +β ? =
2

2 2 , 3

∴cos(α -β )=cos[2α -(α +β )] =cos2α cos(α +β )+sin2α sin(α +β ) ? 7? ? 1? 4 2×2 2=23. =?- ?×?- ?+ 3 27 ? 9? ? 3? 9 二、填空题 ?π ? ?π ? 6.化简:cos? +α ?+sin? +α ?=________. ?3 ? ?6 ? π π ? ? ? ? 解析:cos? +α ?+sin? +α ? ?3 ? ?6 ? π π π π =cos cosα -sin sinα +sin cosα +cos sinα 3 3 6 6 1 3 1 3 = cosα - sinα + cosα + sinα =cosα . 2 2 2 2 答案:cosα 7.tan20°+t an40°+ 3tan20°tan40°=________. 解析:tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40° =tan60°(1-tan20°tan40°)+ 3tan20°tan40° =tan60°- 3tan20°tan40°+ 3tan20°tan40° = 3. 答案: 3 π π 8.已知 cos(α + )=sin(α - ),则 tanα =________. 3 3 π π 解析:∵cos( α + )=sin(α - ), 3 3 π π π π ∴cosα cos -sinα sin =sinα cos -cosα sin , 3 3 3 3 ∴tanα =1. 答案:1 三、解答题
2

2cos10°-sin20° 9.求值:(1) ; sin70° π π π π (2)tan( -θ )+tan( +θ )+ 3tan( -θ )tan( +θ ). 6 6 6 6 2cos? 30°-20°? -sin20° 解:(1)原式= sin70° 3cos20°+sin20°-sin20° 3cos20° = = 3. sin70° sin70° π π π π π (2)原式=tan[( -θ )+( +θ )][1-tan( -θ )·tan( +θ )]+ 3tan( - 6 6 6 6 6 π θ )tan( +θ )= 3. 6 = π α α 6 10.已知 α ∈( ,π ),且 sin +cos = . 2 2 2 2 (1)求 cosα 的值; 3 π (2)若 sin(α -β )=- ,β ∈( ,π ),求 cosβ 的值. 5 2 α α 6 解:(1)因为 sin +cos = , 2 2 2 1 两边同时平方得 sinα = . 2 π 3 <α <π ,所以 cosα =- . 2 2 π π (2)因为 <α <π , <β <π , 2 2 π π π 所以-π <-β <- ,得- <α -β < . 2 2 2 3 4 又 sin(α -β )=- ,知 cos(α -β )= . 5 5 所以 cosβ =cos[α -(α -β )] =cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β ) 3 4 1 3 4 3+3 =- × + ×(- )=- . 2 5 2 5 10 又

一、选择题 2 1.在△ABC 中,C=120°,tanA+tanB= 3,则 tanAtanB 的值为( 3 1 1 A. B. 4 3 1 5 C. D. 2 3 解析:选 B.tan(A+B)=-tanC=-tan120°= 3, 2 3 3 tanA+tanB ∴tan(A+B)= = 3,即 = 3. 1-tanAtanB 1-tanAtanB 1 解得 tanAtanB= ,故选 B. 3 )

3

2.(2013·潍坊调研)设 α ,β 都是锐角,那么下列各式中成立的是( ) A.sin(α +β )>sinα +sinβ B.cos(α +β )>cosα cosβ C.sin(α +β )>sin(α -β ) D.cos(α +β )>cos(α -β ) 解析:选 C.∵sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ , sin(α -β )= sinα cosβ -cosα sinβ , 又∵α 、β 都是锐角,∴cosα sinβ >0, 故 sin(α +β )>sin(α -β ). 二、填空题 π? 3 ?π 3π ? ? π? ? ?3π +β ?= 5 ,则 sin(α 3.设 α ∈? , ?,β ∈?0, ?,cos?α - ?= ,sin? ? 13 4 ? 4? 4? 5 ?4 ? ? ? 4 ? +β )=___ _____. π ? π? ?π 3π ? 解析:α ∈? , ?,α - ∈?0, ?, 4 4 ? 2? 4 ? ? π? 3 ? 又 cos?α - ?= , 4? 5 ? π? 4 ? ∴sin?α - ?= . 4? 5 ? 3π ? π? ?3π ? ∵β ∈?0, ?,∴ +β ∈? ,π ?. 4? 4 ? ? 4 ? ?3π ? 5 ∵sin? +β ?= , ? 4 ? 13 12 ?3π ? ∴cos? +β ?=- , 4 13 ? ? ∴sin(α +β ) π ? ?3π π ?? +β ?- ? =sin??α - ?+? ? 2? 4? ? 4 ? ?? ? π ? ?3π ?? ?? =-cos??α - ?+? +β ?? 4? ? 4 ?? ?? π? π? ? ?3π ? ? ?3π ? =-cos?α - ?·cos? +β ?+sin?α - ?·sin? +β ? 4? 4? ? ? 4 ? ? ? 4 ? 3 ? 12? 4 5 =- ×?- ?+ × 5 ? 13? 5 13 56 = , 65 56 即 sin(α +β )= . 65 56 答案: 65 4.(2013·大连质检)已知:0°<α <90°,0°<α +β <90°,3sinβ =sin(2α + β ),则 tanβ 的最大值是________. 解析:由 3sinβ =sin(2α +β )得 3sin(α +β -α )=sin(α +β +α ), 化简得 sin(α +β )cosα =2cos(α +β )sinα , ∴tan(α +β )=2tanα , tan? α +β ? -tanα ∴tanβ =tan(α +β -α )= 1+tan? α +β ? tanα tanα 1 = = , 2 1+2tan α 1 +2tanα tanα

4



1 +2tanα ≥2 2, tanα 1 2 2 = 2 . 4

∴tanβ 的最大值为 答案:

2 4 三、解答题 5.(2013·东营质检)已知 a=(sinω x,-2cosω x), b=(2cosω x, 3cosω x)(ω > π 0),设函数 f(x)=a· b+ 3,且函数 f(x)图象上相邻两条对称轴之间的距离是 . 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(A)=-1,其中 A 是△ABC 的内角,求 A 的值; 6 ? π? (3)若 f(α )=- ,α ∈?0, ?,求 sin2α 的值. 2? 5 ? 解:(1)f(x)=2sinω xcosω x-2 3cos ω x+ 3 π =sin2ω x- 3cos2ω x=2sin(2ω x- ), 3 2π 由条件知函数 f(x)的周期为 π ,∴ =π , 2ω π? ? ∴ω =1,∴f(x)=2sin?2x- ?. 3? ? π (2)由(1)知,f(A)=2sin(2A- )=-1, 3 π 1 ∴sin(2A- )=- , 3 2 ∵A 是△ABC 的内角,∴0<A <π , π π 5π ∴- <2A- < , 3 3 3 π π 7π π 3π ∴2A- =- 或 ,∴A= 或 . 3 6 6 12 4 6 π 6 (3)由 f(α )=- ,知 2sin( 2α - )=- , 5 3 5 π? 3 ? ∴sin?2α - ?=- , 3? 5 ? π ? π 2π ? ? π? ∵α ∈?0, ?,∴2α - ∈?- , ?, 2? 3 ? 3 ? 3 ? π? π ? π ? ? 而 sin?2α - ?<0,∴2α - ∈?- ,0?, 3? 3 ? 3 ? ? π? 4 ? ∴cos?2α - ?= , 3? 5 ? π? π? ?? sin2α =sin??2α - ?+ ? 3? 3? ?? π? π π? π ? ? =sin?2α - ?cos +cos?2α - ?sin 3? 3? 3 3 ? ? 3 1 4 3 4 3-3 =- × + × = . 5 2 5 2 10
2

5

6



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