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知能专练(十七) 排列、组合、二项式定理


知能专练(十七) 排列、组合、二项式定理

1.(2013· 河南开封模拟)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本 赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( A.4 种 C.18 种 B.10 种 D.20 种 ) )

1 ?n 2.(2013· 辽宁高考)使?3x+ (n∈N*)的展开式中

含有常数项的最小的 n 为( x x? ? A.4 C.6 B.5 D.7

3.(2013· 四川高考)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共 可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是( A.9 C.18 ) B.10 D.20

2 ?n 4.(2013· 成都模拟)二项式? ? x+x2? 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开 式中的常数项是( A.180 C.45 ) B.90 D.360

5. (2013· 深圳市调研)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六 合数”),则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有( A.18 个 C.12 个 6.在? B.15 个 D.9 个 ) )

? x+ 1 ?24 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有( x? ?
B.4 项 D.6 项

A.3 项 C.5 项

7.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有 1 个小球,且每个 盒子中的小球个数都不相同,则共有不同的放法( A.15 种 C.19 种 )

B.18 种 D.21 种

8.(2013· 天津河西模拟)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+?+a10(1-x)10,则 a8 =( ) A.-180 C.45
1

B.180 D.-45

9.现有 4 名教师参加说课比赛,共有 4 道备选题目,若每位教师从中有放回地随机选 出一道题目进行说课,其中恰有一道题目没有被这 4 位教师选中的情况有( A.288 种 C.72 种 B.144 种 D.36 种 ) )

a1 a2 a2 013 10.若(1-2x)2 013=a0+a1x+?+a2 013x2 013(x∈R),则 + 2+?+ 2 013的值为( 2 2 2 A.2 C.-1 B.0 D.-2

11.(2013· 张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程 序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方 法共有( ) B.48 种 D.144 种

A.34 种 C.96 种

12.(2013· 全国新课标Ⅰ)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+y)2m
+1

展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( B.6 D.8

)

A.5 C.7

13.已知集合 A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33},其中 ak∈{0,1,2}(k=0,1,2,3),且 a3≠0,则 A 中所有元素之和等于( A.3 240 C.2 997 14.(2013· 郑州预测)在二项式? ) B.3 120 D.2 889

? x+ 1 ?n 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把 2· x? ?
) 1 B. 4 5 D. 12

展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( 1 A. 6 1 C. 3

15.(2013· 长春模拟)用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶 数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________. 1 2 ?2 16.(2013· 长沙模拟)? ?x +x2-2? 的展开式中常数项是________. 17.(2013· 湖北八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求 2 艘 攻击型核潜艇一前一后,2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则 舰艇分配方案的方法数为________. 18.(2013· 浙江名校联考)二项式(4x-2 x)6(x∈R)展开式中的常数项是________.


2

19. (2013· 银川模拟)若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 则 a1+2a2+3a3+4a4 +5a5=________. 20.(2013· 滨州模拟)如图所示,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四 个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不 同的涂色方法共有________种.





知能专练(十七) 1.选 B 分两种情况:①选 2 本画册,2 本集邮册送给 4 位朋友,有 C2 4=6 种方法;
1 ②选 1 本画册,3 本集邮册送给 4 位朋友,有 C4 =4 种方法.所以不同的赠送方法共有 6+4

=10(种). 2.选 B
5 n- r 5 n-r ? 1 ?r r n-r 2 由二项式定理得,Tr+1=Cr (3 x ) · = C 3 x ,令 n- r=0,当 r n n 2 ?x x?

=2 时,n=5,此时 n 最小. 3.选 C a a a lg a-lg b=lg ,lg 有多少个不同值,只要看 不同值的个数, b b b

所以共有 A2 5-2=20-2=18 个不同值. 2 ?n 4.选 A 因为? ? x+x2? 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以 n=10.Tr+1= Cr ( 10· x)
10-r
5- r 5 ? 22?r=2rCr 2 · · x ,令 5- r=0,则 r=2,T3=4C2 10 10=180. ?x ? 2 5

5.选 B 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4、0、0 组成 3 个数分别为 400、040、004;由 3、1、0 组成 6 个数分别为 310、301、130、103、013、031; 由 2、2、0 组成 3 个数分别为 220、202、022;由 2、1、1 组成 3 个数分别为 211、121、112. 共计:3+6+3+3=15 个. 6 .选 C Tr + 1 = C r 24 ·

( x)

24 - r

5 ? 1 ?r 12- r r 6 · x ,且 0≤r≤24 , r ∈ N ,所以当 r = ? 3 ? = C 24 · ? x?

0,6,12,18,24 时,x 的幂指数是整数. 7.选 B 对这 3 个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数:第一类,这 3 个盒子 中所放的小球的个数是 1,2,6,此类放法有 A3 3=6 种;第二类,这 3 个盒子中所放的小球的
3 个数是 1,3,5,此类放法有 A3 =6 种;第三类,这 3 个盒子中所放的小球的个数是 2,3,4,此

类放法有 A3 3=6 种.因此满足题意的放法共有 6+6+6=18 种. 8.选 B 因为(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+?+a10(1-x)10,所以[2-(1-x)]10=

3

2 8 a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+?+a10(1-x)10,∴a8=C8 102 (-1) =180.

9.选 B

首先选择题目,从 4 道题目中选出 3 道,选法有 C3 4种;其次将获得同一道题

3 目的 2 位教师选出,选法有 C2 4种;最后将选出的 3 道题目分配给 3 组教师,分配方式有 A3 2 3 种.由分步乘法计数原理,知满足题意的情况共有 C3 4C4A3=144(种).

1 10.选 C 令 x=0,则 a0=1;令 x= , 2 a1 a2 a2 013 则 a0+ + 2+?+ 2 013=0. 2 2 2 a1 a2 a2 013 ∴ + 2+?+ 2 013=-1. 2 2 2 11.选 C 本题是一个分步计数问题.由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步, ∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把 A 排列,有 A1 2=2 种结果.∵程序 B 和 C 在实施时必须相邻,∴把 B 和 C 看作一个元素,同除 A 外的 3 个元素排列,注意 B 和 C 之
2 间还有一个排列,共有 A4 4A2=48 种结果.根据分步计数原理知共有 2×48=96 种结果.

12.选 B 根据二项式系数的性质知:(x+y)2m 的二项式系数最大有一项,Cm 2m=a,(x +y)2m
+1

m 1 m m 的二项式系数最大有两项,Cm 2m+1=C2m+1=b.又 13a=7b,所以 13C2m=7C2m+1,将


各选项中 m 的取值逐个代入验证,知 m=6 满足等式. 13.选 D 可利用排除法,若 a3 也可以取 0,则 a0,a1,a2,a3 都可取 0,1,2,根据分步 乘法计数原理,可知这样的数共有 3×3×3×3=81(个),显然 0,1,2 这 3 个数字每个数字要 重复 27 次,故这些元素的和为 27×(3+3×3+3×32+3×33)=27×120=3 240; 当 a3=0 时,a0, a1,a2 可取 0,1,2,根据分步乘法计数原理,可知这样的数共有 3×3×3 =27(个), 而 0,1,2 这 3 个数字每个数字要重复 9 次, 故这些元素的和为 9×(3+3×3+3×32) =9×39=351. 所以集合 A 中所有元素的和为 3 240-351=2 889. 14. 选 D 注意到二项式?
2 n- 3 r 4

? x+ 1 ?n ? 1 ?r r r n-r 的展开式的通项是 T ( x ) · 2 ? +1=Cn· ? 4 ? =Cn· r 4 2· x? ? ?2· x?


-r

· x

2 1 .依题意有 C0 2 2=2Cn · 2 1=n,即 n2-9n+8=0,(n-1)(n-8)=0(n≥2),因 n+Cn·


此 n=8 .∵二项式?

3r ? x+ 1 ?8 4- r -r 4 的展开式的通项是 T = C · 2 · x ,其展开式中的有理项 r +1 8 4 ? 2· x? ?

共有 3 项,所求的概率等于

3 A6 A7 5 6· 9 = . A9 12

15.解析:A2 C1 A2 2· 2· 2=8 个. 答案:8 1 2 ?2 ? 1?4 16.解析:∵? ?x +x2-2? =?x-x? ,

4

1?r 4-r? r r 4-2r ∴Tr+1=Cr 4x ?-x? =C4(-1) x , 令 4-2r=0,解得 r=2,
2 ∴常数项为 C2 4(-1) =6.

答案:6
2 2 2 17.解析:先将 2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰平均分成两组,再排,有 C1 2A2A2A2种方法, 1 2 2 2 2 然后排 2 艘攻击型核潜艇,有 A2 2种方法,故舰艇分配方案的方法数为 C2A2A2A2A2=32.

答案:32
x 6 r (12 18.解析:∵(4x-2 x)6 的展开式的通项为 Tr+1=Cr (-2 x)r=(-1)rCr 6(4 ) 62
- - - -3r)x

,若

Tr+1 为常数项,则 r=4,T5=15. 答案:15 19.解析:原等式两边求导得 5(2x-3)4· (2x-3)′=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令 上式中 x=1,得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10. 答案:10 20.解析:按区域分四步:第一步 A 区域有 5 种颜色可选; 第二步 B 区域有 4 种颜色可选; 第三步 C 区域有 3 种颜色可选; 第四步由于 D 区域可以重复使用区域 A 中已有过的颜色,故也有 3 种颜色可选. 由分步计数原理知,共有 5×4×3×3=180(种)涂色方法. 答案:180

5


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