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1.1.1集合的概念与表示


§1.1.1集合的含义与表示

康托(Cantor,G.F.P.)

康托是德国数学家,集合论的创始 者。1845年3月3日生于圣彼得堡,1918 年1月6日病逝于哈雷。 康托11岁时移居德国,在德国读中 学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学, 翌年入柏林大学,主修数学,1866年曾 去格丁根学习一学期。1867年以数论方 面的论文获博

士学位。1869年在哈雷大 学通过讲师资格考试,后在该大学任讲 师,1872年任副教授,1879年任教授。

(1845-1918)

集合论是现代数学的基础,康托在研究函数论时产生了探 索无穷集和超穷数的兴趣。康托肯定了无穷数的存在,并对无 穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为 现代数学的发展打下了坚实的基础。

?“集合”是一个古老而又非常自然的概念, 成语“物以类聚”,“人以群分”就蕴涵着集 合的概念。 “集合”是日常生活中的一个常用词,现代 汉语解释为:许多的人或物聚在一起.

在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的 数学语言,我们怎样理解数学中的“集合”?

学习目标:
1.了解集合的含义,掌握常用数集及其记法.
2.体会元素与集合之间的关系,能判断某一元素“属于”或“不属 于”某一集合.

3.能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问
题,感受集合语言的意义和作用.

重点 集合的基本概念与表示方法 难点 选择恰当的方法表示一些简单的集 合

知识探究(一)

自然数集合,正分数集合,有理数集合;
到角的两边的距离相等的所有点的集合;

是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合; 是线段垂直平分线

知识探究(二)
湖泊名称
青海湖 鄱阳湖

所在地
青海 江西

水面面积 湖面海拔 蓄水量 /km2 /m
4340 3583 3195 22 778.0 150.1

湖水最深 /m
27 29

湖水 性质
咸 淡

洞庭湖
太 湖 呼伦湖 纳木错湖

湖南
江苏 内蒙古 西藏

2691
2428 2339 1961.5

33
3.14 545.5 4718

155.42
51.4 131.3 768.0

24
3.3 8 35


淡 淡 咸

洪泽湖

江苏

1576.9

12

27.9

4



问题1:由表格中的信息填空
水面面积范围(单位: 湖泊名称 备注

3000以上
2000-3000

青海湖,鄱阳湖 洞庭湖,太湖,呼伦湖 纳木错湖,洪泽湖

990-2000

集合的概念 水面面积在3000km2以上的湖泊:{青海湖,鄱阳湖 } 湖水最深在10m以下的湖泊:{太湖 ,呼伦湖 ,洪泽湖 } 淡水湖:{鄱阳湖,洞庭湖,太湖,呼伦湖,洪泽湖} ……A a 一般地,把研究对象统称为元素(element),a,b,c...

一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集. A,B,C...
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a∈A (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A 记作a ∈ A

湖泊名称 青海湖 鄱阳湖 洞庭湖

所在地 青海 江西 湖南

水面面积 湖面海拔 蓄水量 /km2 /m 4340 3583 2691 3195 22 33 778.0 150.1 155.42

湖水最深 /m 27 29 24

湖水性 质 咸 淡 淡

太 湖
呼伦湖 纳木错湖 洪泽湖

江苏
内蒙古 西藏 江苏

2428
2339 1961.5 1576.9

3.14
545.5 4718 12

51.4
131.3 768.0 27.9

3.3
8 35 4


淡 咸 淡

问题4:湖水较深的湖泊能组成集合吗?

确定性

问题5:由太湖,呼伦湖,洪泽湖组成的集合记为M,由呼伦湖, 太湖,洪泽湖组成的集合记为N,这两个集合一样吗? 无序性
问题6:由太湖,呼伦湖,洪泽湖,太湖组成的集合有几个元素? 试着说明集合有什么性质? 互异性

集合的三个特征:确定性,无序性,互异性

笔记
1. 一般地,把研究对象统称为元素(element),a,b,c...

一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集. A,B,C... (1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a∈A 2. (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A 记作a ∈ A
3. 集合的三个特征:确定性,无序性,互异性

练一练

这些例子都能组成集合吗?它们有什么共同的特征?

⑴1到20以内的所有质数;

⑵我国从1991到2015年间所发射的所有人造卫星
⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车; ⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家; ⑸所有的正方形; ⑹到直线l的距离等于定长d所有的点;
2 ⑺方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的所有实数根;

⑻鸡西四中9月入学的高一学生全体.

反馈练习

(4) A={1,3},问3,5哪个是A的元素? (5)B={素质好的人}能否表示成为集合? (6) C={2,2,4}表示是否正确? (7) D={太平洋,大西洋} ,E={大西洋,太平洋} 集合 D ,E是不是表示相同的集合?

7? A (8)A={所有能被3整除的整数} - 6 ? A,

重要数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N+或N*: 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集

(5) R:实数集

反馈练习

解:(1)∈ (2)? (6)? (7)?

(3)?

(4)∈

(5)∈

(8)∈

集合的几种表示方法

⑴ 列举法-将所给集合中的元素一一列举出来, 写在大括号里,元素与元素之间用逗号分开.

? 列举法有三种形式: ? 1.是有限集而元素个数较少,如由0、2、-3、5 组成的集合可表示为{0,2,-3,5}; ? 2.是有限集但元素个数较多,如由从50到100的 所有整数组成的集合可表示为{50,51,52, 53,…,98,99,100}; ? 3.是无限集且元素离散,如由所有的正偶数组 成的集合可表示为{2,4,6,8,……}

例1 用列举法表示下列集合: (1) 小于10的所有自然数组成的集合; 解:⑴设小于10的所有自然数组成的集合为A, 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举 的顺序无关,因此集合A可以有不同的列举方 法.例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.

(2) 方程x 2 ? x的所有实数根组成的集合;
(2)设方程 x 2 ? x的所有的实数根组成的 集合 为B, 那么 B ? {0,1}.

(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合.

(3)设由 1 ~ 20以内的所有质数组成的 集合为 C, 那么 C ? {2,3,5,7,11,13,17,19}.

(2) 描述法-用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法.
描述法有两种表述形式: 1.数式形式:在花括号内先写上表示这个集合元素的 一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.形式如: {x|x的特征} 如: 由不等式x-3>2的所有解组成的集合,可表示为 {x|x-3>2}; 由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合,可 表示为 {(x,y)| y=x+1 }。

(2) 描述法-用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法.
描述法有两种表述形式: 2.语言形式:用文字把元素所具有的属性描述出来 如: 由所有直角三角形组成的集合,可表示为: {直角三角形}; 由所有小于6的正整数组成的集合,可表示为: {小于6的正整数}

例2 试用列举法和描述法表示下列集合: 2 (1)方程x ? 2 ? 0的所有实数根组成的集 合;
解 : (1)设方程x ? 2 ? 0的实数根为x, 并且满足条
2

件x 2 ? 2 ? 0, 因此, 用描述法表示为 A ? {x ? R | x 2 ? 2 ? 0}. 方程 x 2 ? 2 ? 0有两个实数根 2 ,? 2 , 因此, 用列举法表示为 A ? { 2 ,? 2}.

(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.

(2)设大于10小于20的整数为x, 它满足条件x ? Z 且10 ? x ? 20, 因此, 用描述法表示为 B ? {x ? Z | 10 ? x ? 20}. 大于10小于20的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 因此, 用列举法表示为 B ? {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

(3) 图示法:画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个 集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已 给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示.

如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:
A
Venn图

1

2 3 4 5

韦恩图

思考1: a与{a }的含义是否相同? 思考2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗? 思考3:集合?y | y ? x , x ? R? 与集合?y ? x ?相同吗?
2

2

?x, y ? | y ? x , x ? R? 的几何意义如何? 思考4:集合 ?
2

y

y ? x2
x

o

集合的分类

例如: A={1,3,5},B={不大于3的所有实数}
C ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0}

⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集 ⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集 (3) 空集--------不含任何元素的集合叫空集.

记作:?

笔记
4.重要数集 集合 非 负 整 数 集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 (自然数集) Z Q R 记号 N 5.集合表示方法: 列举法,描述法,图示法 6.集合分类: 按元素个数分为:有限集,无限集,空集

按元素特点分为:数集,点集,.....

本节小结

思考: 本节课主要学研究哪些基本内容?集合的三种 表示方法各有怎样的优点?用其表示集合各应注意 什么? 集合的含义 元素与集合之间的关系 集合中元素的特征 重要数集 集合的表示 集合的分类


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