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山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学(理)试题


山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模 拟考试数学试题(理)
出题单位:莱芜二中 注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2. 使用答题纸时, 必须使用 0. 毫米的黑龟墨水签字笔书写, 5 作图时, 可用 2B 铅笔. 要 字迹工整,笔迹清晰,超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。 3.答卷前将密封线内的项目填写清

楚。 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上.

1 1.设全集 U ? ? ,2,3,4,5,6,7,8,9?, ?U ( A ? B) ? ? ,3?, A ? (?U B) ? ?2,4?,则集合 B= 1
A. ? ,2,3,4? 1 2.若复数 z ? B. ? ,2,3,4,5? 1 C. ?5,6,7,8,9? D. ?7,8,9?

a ? 3i (a ? R ) 实部与虚部相等,则 a 的值等于 1 ? 2i

A.-1 B.3 C.-9 D.9 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

1 3 D. 2 2 4.设向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) ,且 a // b ,则 cos 2? 等于 ? ? ? ? A. ? B. ? C. D. 3 3 3 3
A. 1 B. C. 5. 下列推理是归纳推理的是 A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 2 2 x y 2 2 2 2 C.由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 6. 右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若 要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 7.若直线 x-y=2 被圆(x-a) +y =4 所截得的弦长为 2 2,则实数 a 的值为 A.-1 或 3 B.1 或 3 C.-2 或 6 D.0 或 4 8.下列四个判断: ① ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

1 3

②已知随机变量 X 服从正态分布 N(3, ? 2 ) ,P(X≤6)=0.72,则 P(X≤0)=0.28; ③已知 ( x 2 ?

1 n ) 的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x 项的系数为 20; x



?

1

0

1 ? x 2 dx ? ?

e

1

1 dx x
C.3 个 D.4 个

其中正确的个数有: A.1 个 B.2 个

9.已知 A,B,C,D 是函数 y ? sin(? x ? ?)(? ? 0, 0 ? ? ? 图象上的四个点,如图所示, A(?

?
2

) 一个周期内的

?
6

, 0), B 为 y 轴上的点,C 为图像上的最低点,
??? ?

E 为该函数图像的一个对称中心, 与 D 关于点 E 对称, 在 x 轴上的投影为 B CD 则 ? , ? 的值为 A . ? ? 2, ? ?

? , 12

?
3

B.

? ? 2, ? ?

?
6

C.

? ? ,? ?

1 ? D. ? ? , ? ? 2 6

1 2

?
3

10.已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示,则不等式 ( x 2 ? 2 x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集为 A. (??, ?1) ? (?1,0) ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (1, 2) B. (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??) D. (??, ?2) ? (1, ??)

x2 y2 11.已知 O 为坐标原点,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 a b
?? ?? ?? ?? ?? ??

10 题

? OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B,若 ( AO ?AF ) OF ? 0 ,则双曲线的
离心率 e 为 A.2 B.3 C. 2 D. 3

12.等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 (a1006 ? 1)3 ? 2013(a1006 ? 1) ? 1,

(a1008 ? 1)3 ? 2013(a1008 ? 1) ? ?1, 则
A. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 B. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 14. 指数函数 y ? b ? a 在 ?b,2?上的最大值与最小值的和为 6,则 a ?
x

. .
A M E P F D

CD 15. 如图, 已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, ? 6

B

N

C

米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边

DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____

平方米 .
2 2

16.设点 A(1,0) , B(2,1) ,如果直线 ax ? by ? 1与线段 AB 有一个公共点,那么 a ? b 的 最小值为 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或 推理步骤。 17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin (Ⅰ)若 f (? ) ?

??

3 2? ,求 cos( ? ? ) 的值; 2 3

?? ? ? x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ). 记 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

(Ⅱ) 在△ABC 中, A、 C 的对边分别是 a 、b 、c , 角 B、 且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 若 f ( A) ?

1? 3 ,试判断△ABC 的形状. 2

18.(本小题满分 12 分) 春节期间,某商场决定从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商品进行促销活动。 ⑴)试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率; ⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元,规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为 m 元的奖金; 若中两次奖,则共获得数额为 3m 元的奖金;若中 3 次奖,则共获得数额为 6m 元的奖金。 假设顾客每次抽奖中获的概率都是 销方案对商场有利?

1 ,请问:商场将奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促 3

19. (本小题满分 12 分)已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,E 是线段 AD 的中 点.沿 BD 将△BCD 翻折到△ BC ?D ,使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C?D ? 平面 ABD; C? (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC? 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? BE ? C? 的余弦值. B C

A

E

D

20. (本小题满分 12 分)已知数列 (1)判断数列 (2)如果 数列

?a n ?是等差数列, cn

2 ? a n ? a n ?1 ?n ? N ? ? 2

?cn ? 是否是等差数列,并说明理由;
,试写出

a1 ? a3 ? ? ? a 25 ? 130 , a 2 ? a4 ? ? ? a 26 ? 143 ? 13k ?k为常数?

?cn ? 的通项公式; ?cn ? 得前 n 项和为 S n ,问是否存在这样的实数 k ,使 S n

(3)在(2)的条件下,若数列

当且仅当 n ? 12 时取得最大值。若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 13 分)如图,椭圆 C1 :

2 x2 y 2 , x 轴被曲线 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

C2 : y ? x 2 ? b 截得的线段长等于 C1 的短轴长。 C2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直
线 l 与 C2 相交于点 A、B ,直线 MA, MB 分别与 C1 相交于点 D、E y 。 (1)求 C1 、 C2 的方程; (2)求证: MA ? MB 。 (3)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1、S2 , 若 E O B M D x A

S1 ? ? ,求 ? 的取值范围。 S2

22. (本小题满分 13 分) 22.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x ,其中常数 a ? 0 . 2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)如果函数 f ( x), H ( x), g ( x) 在公共定义域 D 上,满足 f ( x) ? H ( x) ? g ( x) ,那么就

称 H ( x) 为 f ( x) 与 g ( x ) 的“和谐函数” .设 g ( x) ? x 2 ? 4 x ,求证:当 2 ? a ? 在区间 (0, 2] 上,函数 f ( x) 与 g ( x ) 的“和谐函数”有无穷多个.

5 时, 2

答案解析 1.C 2.A 3. B 4. D 5. C 6. C 7.D 8.A.9.A 10. B 11.C 12.B 13. ? 2 ? a ? 4 . 17.解: 14. 2 15. 48 16.

1 5

?x ?? 1 x x x 3 x 1 x 1 f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? 2 6 ? 2 ??2 分 4 4 4 2 2 2 2 2
(I) 由已知 f ( ? ) ?

3 2? ?? ? ? 1 3 得 sin ? ? ? ? ? ,于是 ? ? 4k? ? ,k ??, 2 3 ?2 6? 2 2

∴ cos(

2? 2? ? 2? ? ? ) ? cos ? ? 4k? ? 3 3 ? 3

? ? ?1 ?

??6 分

(Ⅱ) 根据正弦定理知:

? 2a ? c ? cos B ? b cos C ? (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C
? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ? cos B ?
∵ f ( A) ?

......8 分

1 ? ?B? 2 3
??10 分

1? 3 2

∴ sin ?

A ? ? 2? ? 2? ? A ? ? 1 1? 3 ? ?? ? ? ? ? 或 ? A ? 或? 而 0 ? A ? 2 2 6 3 3 3 3 ?2 6? 2



所以 A ?

?
3

,因此 ? ABC 为等边三角形.?????12 分

18.解:⑴设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A,从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商品,一共有 C8 种不同的选法??1 分, 选出的 3 种商品中,没有家电的选法有 C 6 种??2 分 所以,选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为 P ( A) ? 1 ?
3 C6 9 ? ??4 分 3 C8 14
3
3

⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ? , 其所有可能的取值为 0,m ,3m , (单元:元)??5 分 6m 。

1 8 ? ? 0 表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以 P(? ? 0) ? (1 ? ) 3 ? ??6 分 3 27 1 1 4 1 同理, P(? ? m) ? C3 ? (1 ? ) 2 ? ? ??7 分 3 3 9 1 1 2 P(? ? 3m) ? C32 ? (1 ? )1 ? ( ) 2 ? ??8 分 3 3 9 1 1 3 ??9 分 P(? ? 6m) ? C3 ? ( ) 3 ? 3 27
顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

E (? ) ? 0 ?


8 4 2 1 4 ? m ? ? 3m ? ? 6m ? ? m ??10 分 2 27 9 9 27 3

4 m ? 100 ,解得 m ? 75 ??11 分 3 所以故 m 最高定为 75 元,才能使促销方案对商场有利??12 分。
19.证明: (Ⅰ)平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8, C? 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8, 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD2 , B 故 C ' D ? BD . ??????2 分 ∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD , 平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C?D ? 平面 BC?D , ∴ C?D ? 平面 ABD . ??????4 分 D A E (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C?D ? 平面 ABD,且 CD ? BD , 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz . ??????5 分 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . z ∵E 是线段 AD 的中点, ??? ? C? ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? ???? ? x 在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , ? B 设平面 BEC? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? BE ? n ? 0 ??4 x ? 3 y ? 0 ? ∴ ? ???? ? ,即 ? , ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? BC ' ? n ? 0 ? D A 令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 E ? y n ? (3,4,4) . ??????8 分 设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ? ??? ? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ? sin ? ?| cos ? n, BD ?|? ? ??? ? . ??????8 分 41 | n | ? | BD | ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为

C

C

3 41 . ??????9 分 41 ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BEC? 的法向量为 n ? (3,4,4) , ???? ? 而平面 DBE 的法向量为 DC ? ? (0,0,6) ,

? ???? ? ? ???? ? n? ?D C 4 41 ? ∴ cos ? n, C ?D ?? ? ???? ? , 41 | n | ? | C ?D | 因为二面角 D ? BE ? C? 为锐角, 4 41 所以二面角 D ? BE ? C? 的余弦值为 . 41
20. 解: (1)设

??????12 分

{an }

的公差为 d ,则

2 2 2 2 cn ?1 ? cn ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? (an ? an ?1 ) 2 ? 2an ?1 ? (an ?1 ? d ) 2 ? (an ?1 ? d ) 2

? ?2d 2

?数列 {cn } 是以 ?2d 为公差的等差数列????3
2

(2)

? a1 ? a3 ? ? ? a25 ? 130

a2 ? a4 ? ? ? a26 ? 143 ? 13k

?两式相减: 13d ? 13 ? 13k
? d ? 1 ? k ????6 分
?13a1 ? 13(13 ? 1) ? 2d ? 130 2

a1 ? ?2 ? 12 k ????8 分
? an ? a1 ? (n ? 1)d ? (1 ? k )n ? (13k ? 3)
2 2 ? cn ? an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 )

? 26 k 2 ? 32 k ? 6 ? (2n ? 1)(1 ? k ) 2 ? ?2(1 ? k ) 2 n ? 25k 2 ? 30 k ? 5 ????8
(3)因为当且仅当 n ? 12 时

Sn

最大

? 有c12 ? 0, c13 ? 0

????12 分



? ?24(1 ? k ) 2 ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ?k 2 ? 18k ? 19 ? 0 ? ? ?? 2 ? 2 2 ? ?36(1 ? k ) ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ?k ? 22k ? 21 ? 0 ? ?

?k ? 1或k ? ?19 ?? ? k ? ?19或k ? 21 ?k ? 21或k ? 1 ????12
21.(1)

c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 a 2

(1 分)

又 2 b ? 2b ,得 b ? 1?C2 : y ? x 2 ? 1, C1 :

x2 ? y2 ? 1 2

(2 分)

? y ? kx ? x 2 ? kx ? 1 ? 0 (2)设直线 AB : y ? kx, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? 2 ? y ? x ?1

(3 分)

???? ???? MA ? MB ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 =0

?MA ? MB
(3)设直线 MA : y ? k1 x ? 1; MB : y ? k2 x ? 1, k1k2 ? ?1

(5 分)

? x ? k1 ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? , 解得 ? 或? ? A(k1 , k12 ? 1) ,同理可得 B(k2 , k2 2 ? 1) ? 2 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1 ? y ? x ?1 ?

S1 ?

1 1 2 MA MB ? 1 ? k12 1 ? k2 k1 k2 2 2

(8 分)

4k1 ? ? y ? k1 x ? 1 ? x ? 1 ? 2k 2 ?x ? 0 4k1 2k12 ? 1 ? 2 ? 1 , 解得 ? 或? ? D( , ) ?x 2 2 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? y ? ?1 ? y ? 2k1 ? 1 ? ? y ?1 ?2 ? 1 ? 2k12 ?

4k 2 2k 2 2 ? 1 同理可得 E ( , ) 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2
? S2 ? 16k1k2 1 1 2 MD ME ? 1 ? k12 1 ? k2 2 2 2 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 )
(11 分)

S1 (1 ? 2k )(1 ? 2k ) ?? ? ? S2 16
2 1 2 2

5 ? 2(

1 ? k12 ) 2 k1 9 ? 16 16

(13 分)

22 解: (1) f '( x) ? ax ? (2a ? 1) x ?

a ? 0)

2 ax 2 ? (2a ? 1) x ? 2 ( x ? 2)(ax ? 1) ? ? x x x

( x ? 0 ,常数

令 f '( x) ? 0 ,则 x1 ? 2 , x2 ? ①当 0 ? a ?

1 a

???????????? 2 分

1 1 时, ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a

故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) ??? 3 分

1 a

1 a

( x ? 2)2 1 时, f ?( x) ? , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) ???? 4 分 2x 2 1 1 ③当 a ? 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) ??? 6 分 a a 1 (2)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? (1 ? a) x 2 ? (2a ? 3) x ? 2ln x , x ? (0,2] 2 2 (2 ? a) x 2 ? (2a ? 3) x ? 2 ( x ? 2)[(2 ? a) x ? 1] h '( x) ? (2 ? a) x ? 2a ? 3 ? ? ? x x x 1 令 h '( x) ? 0 ,则 x1 ? 2 , x2 ? ???????????????8 分 a?2 5 因为 2 ? a ? ,所以 x2 ? x1 ,且 2 ? a ? 0 2 从而在区间 (0, 2] 上, h '( x) ? 0 ,即 h( x) 在 (0, 2] 上单调递减 ?? 10 分 所以 h( x)min ? h(2) ? 2a ? 2 ? 2ln 2 ?????????????? 11 分 5 又 2 ? a ? ,所以 2a ? 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,即 h( x) min ? 0 ??? 12 分 2
②当 a ? 设 H ( x) ? f ( x) ? (2 ? 2ln 2)? ( 0 ? ? ? 1) ,则 f ( x) ? H ( x) ? g ( x) 所以在区间 (0, 2] 上,函数 f ( x) 与 g ( x ) 的“和谐函数”有无穷多个? 13 分


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