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北师大版高中数学必修一课时作业(八)


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课时提升作业(八)
函数的表示法

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·福州高一检测)由下表给出函数 y=f(x),则 f(f(1))等于(

x y A.1 B.2 C.4 1 4 2 5 3 3 D.5 4 2 5 1 )

【解析】选 B.f(f(1))=f(4)=2. 2.(2014·宜春高一检测)设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)等于( A.2x+1 B.2x+7 C.2x-3 D.2x-1 )

【解析】选 D.由题意知 g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以 g(x)=2x-1.故选 D. 3.(2014· 武汉高一检测)已知 f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1, 则 f(x)=( A.3x-2 C.2x+3 ) B.3x+2 D.2x-3

【解析】选 A.设 f(x)=kx+b(k≠0), 因为 2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,

所以

所以

所以 f(x)=3x-2.故选 A. 【 变 式 训 练 】 (2014 · 广 州 高 一 检 测 ) 已 知 f(x) 是 一 次 函 数 , 且 满 足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=( A.x-2 C.2x+3 B.2x+7 D.2x-7 )

【解析】选 B.设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1) =3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17. 则 4.设 f(x)= A. 解得 ,则 f(x)+f B. 所以 f(x)=2x+7. =( C.1 ) D.0

【解析】选 D.f(x)+f

=

+

=

+

=0. )

5.(2014·济宁高一检测)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

【解析】 选 C.方法一: 因为 f(x)=kx 与 f(x)=k|x|均满足 f(2x)=2f(x),所以 A,B,D 满足条件;对于 C 项,若 f(x)=x+1,则 f(2x)=2x+1≠2f(x)=2x+2.

方 法 二 : 对 于 A 项 ,f(2x)=2|x|,2f(x)=2|x|, 可 得 f(2x)=2f(x); 对 于 B 项,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,可得 f(2x)=2f(x);对于 C 项,f(2x)=2x+1, 2f(x)=2x+2, 可 得 f(2x) ≠ 2f(x); 对 于 D 项 ,f(2x)=-2x,2f(x)=-2x, 可 得 f(2x)=2f(x),故选 C. 6.(2014·九江高一检测)已知 f =x2+ ,则 f(x+1)=( )

A.(x+1)2+ C.(x+1)2+2 【解析】选 C.f =

B. D.(x+1)2+1 +2,

+

所以 f(x)=x2+2,所以 f(x+1)=(x+1)2+2. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·西安高一检测)如果二次函数 f(x)的图像开口向上且关于直线 x=1 对 称,且过点(0,0)和(3,3),则此二次函数的解析式为 【解析】设 f(x)=a(x-1)2+c, 因为图像过点(0,0)和(3,3), .

所以

解得

所以二次函数的解析式为 f(x)=(x-1)2-1=x2-2x. 答案:f(x)=x2-2x

8.已知 f(x)=

则 f(f(f(-3))) =

.

【解析】因为-3<0,所以 f(-3)=0,

所以 f(f(-3))=f(0)=π, 又π>0,所以 f(f(f(-3)))=f(π)=π+1. 答案:π+1 9.(2014·天水高一检测)已知函数 f(x)= 【解析】因为 f(3)=f(5),f(5)=f(7), f(7)=7-5=2.所以 f(3)=2. 答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(1)已知 f = ,求 f(x). 则 f(3)= .

(2)f(x)+2f(-x)=x2+5x+9,求 f(x). 【解析】(1)设 =t(t≠0 且 t≠〒1),所以 x= ,

所以 f(t)= 所以 f(x)=

=

.

(x≠0 且 x≠〒1).

(2)因为 f(x)+2f(-x)=x2+5x+9,① 所以在上式中用-x 代替 x 得, f(-x)+2f(x)=x2-5x+9.② 将①②联立方程组有

解得 f(x)= x2-5x+3, 所以所求函数 f(x)的解析式为 f(x)= x2-5x+3. 11.(2014·新余高一检测)已知函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线的一 部分 (包括端点)组成,如图所示,试求函数的解析式.

【解题指南】函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线(包括端点)组成,所以 函数解析式应表示为分段函数. 【解析】设左射线所在直线的解析式为 y=kx+b, 因为(1,1),(0,2)在直线上,故 ? 所以左射线的解析式为 y=-x+2,x<1.同理可得右射线的解析式为 y=x-2,x>3. 再设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+2, 因为点(1,1)在此抛物线上,所以 a+2=1,a=-1, 所以中间抛物线的解析式为 y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,1≤x≤3. 综上所述,所求函数的解析式为

y=

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.函数 y=-ax+1 与 y=ax2 在同一坐标系中的图像大致是图中的( )

【解析】选 D.直线 y=-ax+1 过点(0,1),当-a>0 即 a<0 时,直线如图 A,B,但这时 y=ax2 过点(0,0)且开口向下,A,B 均不符合;当-a<0 即 a>0 时,直线如图 C,D,这时 y=ax2 过(0,0)且开口向上.

2.(2014· 咸阳高一检测)已知 f(x)= A.-3 B.-2 C.3 D.-1

g(x)=3-2x,则 f(g(2))=(

)

【解题指南】弄清复合函数的运算顺序,同时正确把握分段函数的解析式对应的 定义域. 【解析】选 C.因为 g(x)=3-2x, 所以 g(2)=3-2〓2=-1<0, 所以 f(g(2))=f(-1)=-1+4=3. 【变式训练】(2014·黄冈高一检测)拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的话费由 f(m)= 给出,其中[m]是不超过 m 的最大整数,如:

[3.74]=3,从甲地到乙地通话 5.2 分钟的话费是( A.3.71 B.4.24 C.4.77

) D.7.95

【解析】选 C.f(5.2)=1.06〓(0.5〓[5.2]+2)=4.77.

3.(2014· 北京高一检测)已知函数 f(x)=

若 f(x)=3,则 x 的值为 ( )

A.1

B.1 或

C.±

D.

【解析】选 D.若 x≤-1,则 x+2=3,所以 x=1,与 x≤-1 矛盾;若-1<x<2,则 x2=3,所 以 x=〒 D. 4.(2014·榆林高一检测)已知函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=2,则 a 的值等于 ( A.8 B.1 C.5 D.-1 ,所以 f(t)=3〃 +2, ) ,由-1<x<2 得 x= ;若 x≥2,则 2x=3,所以 x= ,与 x≥2 矛盾.因此选

【解析】选 B.由 f(2x+1)=3x+2,令 2x+1=t,所以 x= 所以 f(x)= +2,所以 f(a)=

+2=2,所以 a=1.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费:每月用电不 超过 100 度时,按每度 0.57 元计算;每月用电超过 100 度时,其中的 100 度仍按 原标准计算,超过部分每度按 0.50 元计算. (1)设月用电 x 度时,应交电费 y 元,则 y 关于 x 的函数关系式为 (2)小王家第一季度缴纳电费情况如下: .

月份 交费金额

一月 76 元

二月 63 元 度.

三月 45.6 元

合计 184.6 元

则小王家第一季度共用电 【解析】(1)根据题意可得 y=

(2)因为第一段最高缴纳电费 0.57〓100=57 元,所以一月、二月所缴纳的电费在 第二段内,三月所缴纳的电费在第一段内.设三个月的用电量分别为 x1,x2,x3,则 0.5(x1-100)+57=76,解得 x1=138; 0.5(x2-100)+57=63,解得 x2=112; 0.57x3=45.6,解得 x3=80, 故小王家第一季度共用电 138+112+80=330 度. 答案:(1)y= (2)330 6.(2014 · 江 浦 高 一 检 测 ) 设 集 合 A= , 集 合 B= ,函数

f(x)=

若 x0∈A,且 f(f(x0))∈A,则 x0 的取值范围是

.

【解析】x0∈A,即 0≤x0< , 所以 f(x0)=x0+ , ≤x0+ <1, 即 ≤f(x0)<1, 即 f(x0)∈B,

所以 f(f(x0))=2[1-f(x0)]=1-2x0∈A, 即 0≤1-2x0< ,解得: <x0≤ , 又由 0≤x0< ,所以 <x0< . 答案: <x0< 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·合肥高一检测)合肥一中高一年级某班共有学生 51 人,据统计原来每 人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元,若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净 水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用, 另一部分是其他费用 228 元,其中纯净水的销售价 x(元/桶)与年购买总量 y(桶) 之间满足如图所示关系.

(1)求 y 关于 x 的函数关系式. (2)当 a=120 时,若该班每年需要纯净水 380 桶.请你根据提供的信息比较,该班 全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用哪一 种更少?说明你的理由. (3)当 a 至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不会超过 该班全体学生购买饮料的年总费用? 【解析】(1)设 y=kx+b(k≠0), 因为当 x=8 时,y=400;

当 x=10 时,y=320. 所以 解之得

所以 y 关于 x 的函数关系式为 y=-40x+720(x>0). (2)该班学生买饮料每年总费用为 51〓120=6120(元), 当 y=380 时,380=-40x+720,得 x=8.5. 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380〓8.5+228=3458(元), 所以饮用桶装纯净水的年总费用少. (3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元,则 P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3240, 所以当 x=9 时,Pmax=3240. 要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费 用, 则 51a≥Pmax+228,解得 a≥68, 故 a 至少为 68 元时,全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学 生购买饮料的年总费用. 8.已知函数 f(x)=|x-2|(x+1). (1)作出函数 f(x)的图像. (2)利用图像判断关于 x 的方程|x-2|(x+1)=1 的解的个数. 【解题指南】 先整理函数 f(x)的解析式,去掉绝对值号,再作函数图像;可以利用 图像交点判断关于 x 的方程的解的个数. 【解析】(1)函数 f(x)=|x-2|(x+1),

去绝对值符号得 f(x)=

可得 f(x)的图像如图所示. (2)关于 x 的方程|x-2|(x+1)=1 的解的个数就是直线 y=1 与 y=|x-2|(x+1)的图 像的交点的个数.作出图像如图.

由图可知, y=1 与 y=|x-2|(x+1)的图像有 3 个交点, 所以方程|x-2|(x+1)=1 有 3 个解. 【拓展延伸】数形结合巧解方程解的个数问题 (1)本题为绝对值函数,应先根据绝对值为 0 进行分类讨论去掉绝对值符号,再画 出分段函数的图像,然后利用数形结合思想,将方程解的个数转化为函数交点个 数,结合图像得到结果. (2)函数图像能够帮助我们正确理解函数的概念和有关性质 ,数形结合是研究数 学问题的一个重要手段,是解题的一个有效途径 ,用数形结合法解题 ,有助于培 养综合运用数学知识解决问题的能力.

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