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高中数学试题:平面向量单元复习题(一)


平面向量单元复习题(一)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题正确的是 A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若 a,b 满足|a|>|b|且 a 与 b 同向,则 a>b D.对于任意向量 a、b,必有|a+b|≤|a|+|b| → → 2.如图,四边形 ABCD 中,AB=DC,则相等的向

量是( → → A. AD与CB → → C. AC与BD 3.下列命题中,正确的是 A.若|a|=|b|,则 a=b C.若|a|>|b|,则 a>b → → B. OB与OD → → D. AO与OC ( B.若 a=b,则 a 与 b 是平行向量 D.若 a 与 b 不相等,则向量 a 与 b 是不共线向量 ( ) ) ) ( )

→ → → 4.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b) ,则 A.A、B、D 三点共线 B.A、B、C 三点共线 C.B、C、D 三点共线 D.A、C、D 三点共线 5.当|a|=|b|≠0 且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 → → 6.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,在向量OB,OC, → → → → → → → → → OD,OE,OF,AB,BC,CD,EF,DE,FA中与 → OA共线的向量有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( )





→ 7.若 M 是△ABC 的重心,则下列向量中与AB共线的是 → → → A. AB+BC+AC → → → C. AM+BM+CM → → → B. AM+MB+BC → → D.3AM+AC ) D.2 2





→ → → 8.已知正方形的边长为 1,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|等于( A.0 B.3 C. 2

→ → → → 9.已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形 ABCD

为平行四边形,则 ( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 10.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点, → → → → 且BC=a,CA=b,AB=c,则下列各式:① = EF 1 1 c- b 2 2 1 → ② =a+ b BE 2 1 1 → ③ =- a+ b CF 2 2 → → → ④ +BE+CF=0 AD ( D.4 )

其中正确的等式的个数为 A.1 B.2 C.3 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.如图,M、N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点, → → → 若AB=a,AC=b,则MN=__ _____.

12.已知向量 a、b 不共线,实数 x、y 满足向量等式 3xa+(10-y)b=2xb+(4y+4)a,则 x=_____,y=_____. 13.设 a 表示“向东走 4 km”,b 表示“向北走 3 km”, 则 a+b 表示_____________.
?2x-y=a 14.a、b 是给定的不共线的向量,且? ,则向量 x=_________,y=________. ?x+2 y=b

→ → → 15.已知 ABCDEF 为正六边形,且AC=a,AD=b,则用 a,b 表示AB为___________. 16.已知四个力 F1=(-2,-1) 2=(-3,2) 3=(4,-3) 4 作用于物体的同一 ,F ,F ,F 点,若物体受力后保持平衡,则 F4=_____________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 是一个梯形,AB∥ CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 → → → → DC 和 AB 的中点,已知AB=a,AD=b,试用 a、b 表示BC和MN.

18. (本小题满分 14 分)已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一 → → → → → 点,求证OA+OB+OC+OD=4OE.

19. (本小题满分 14 分)四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, → 1 → → 求证:EF= (AB+DC) 2

→ 1 → 20. (本小题满分 15 分)在△ABC 中,AD= AB,DE∥ BC,与边 AC 相交于点 E,△ABC 的 4 → → → 中线 AM 与 DE 相交于点 N,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示DN.

21. (本小题满分 15 分)对于两个向量 a,b,求证:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

平面向量单元复习题(一)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 11. (b-a) 3 12.4 2 3 13.向东偏北 arcsin 方向走 5 km. 5 1 15.a- b 2 16.(1,2)

2 1 1 2 14. a+ b,- a+ b 5 5 5 5

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 是一个梯形,AB∥ CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 → → DC 和 AB 的中点,已知AB=a,AD=b, → → 试用 a、b 表示BC和MN. 【解法一】 连结 CN,则 AN = DC ∴ 四边形 ANCD 是平行四边形. → → → → → CN=-AD=-b,又∵ +NB+BC=0 CN 1 → → → ∴ =-CN-NB=b- a BC 2 1 1 → → → → 1 → ∴ =CN-CM=CN+ AN=-b+ a= a-b MN 2 4 4 → → → → 【解法二】 ∵ +BC+CD+DA=0 AB 1 1 → → 即:a+BC+(- a)+(-b)=0,∴ =b- a BC 2 2 → → → → 又∵ 在四边形 ADMN 中,有AD+DM+MN+NA=0, 1 1 → → 1 即:b+ a+MN+(- a)=0,∴ = a-b. MN 4 2 4 【评注】 比较两种解法,显然解法二更简捷. 18. (本小题满分 14 分)已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一 → → → → → 点,求证OA+OB+OC+OD=4OE. → → → → → → 【证明】 ∵ 是对角线 AC 与 BD 的交点,∴ =EC=-CE,BE=ED=-DE. E AE → → → 在△OAC 中,OA+AE=OE,


→ → → → → → → → → 同理有OB+BE=OE,OC+CE=OE,OD+DE=OE. → → → → → 四式相加可得:OA+OB+OC+OD=4OE. 19. (本小题满分 14 分)四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, → 1 → → 求证:EF= (AB+DC) 2 【证法一】 ∵ E、F 分别为 DA、BC 的中点. → → → → ∴ =EA,FC=BF DE → → → → 又∵ +FC+CD+DE=0 EF → → → → EF+FB+BA+AE=0 ① ②

→ → → → → → → ①+② ,得 2EF+(FC+FB)+(CD+BA)+(DE+AE)=0 → → → → → ∴ =-CD+(-BA)=DC+AB 2EF → 1 → → ∴ = (AB+DC) EF 2 【证法二】 连结 EC,EB → → → ∵ +FC=EC EF → → → EF+FB=EB → → → ①+② ,得 2EF+0=EC+EB → 1 → → ∴ = (EC+EB) EF 2 → → → 又∵ =ED+DC EC → → → EB=EA+AB ③ ④ ① ②

→ 1 → → → → → → ③+④ ,得EF= (ED+DC+EA+AB) ,又∵ +EA=0, ED 2 → 1 → → ∴ = (AB+DC). EF 2 → 1 → 20. (本小题满分 15 分)在△ABC 中,AD= AB,DE∥ BC,与边 AC 相交于点 E,△ABC 的 4 → → → 中线 AM 与 DE 相交于点 N,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示DN.

【解】 因为 M 为 BC 的中点,所以有 1 → 1 → 1 → → BM= BC= (AC-AB)= (b-a) 2 2 2 → → → 1 → → → → AM=AB+BM= (a+b) ,因为DN∥BM,AN∥AM. 2 根据向量共线的充要条件,存在实数 λ 和 μ,使得 → → 1 → → 1 DN=λBM= λ(b-a) ,AN=μAM= μ(a+b) 2 2 1 1 λ λ → → → 1 因为AN=AD+DN= a+ λ(b-a)=( - )a+ b 4 2 4 2 2

?4 -2 =2 根据基本定理有? λ μ ?2 =2
1

λ

μ

1 → 1 ,解方程得 λ=μ= ,可得DN= (b-a). 4 8

21. (本小题满分 15 分)对于两个向量 a,b,求证:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 (1)若 a、b 中有一个为 0 时,不等式显然成立. → → (2)若 a,b 都不等于 0 时,作OA=a,AB=b, → 则OB=a+b. ① a、b 不共线时,如图(1)有 当 → → → → → ||OA|-|AB||<|OB|<|OA|+|AB| 即:||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. ② a、b 共线时 当 1° a、b 同向,如图(2)有 若 → → → |OB|=|OA|+|AB| 即:|a+b|=|a|+|b|. 2° a,b 反向时,如图(3)有 若 → → → ||OA|-|AB||=|OB| 即:||a|-|b||=|a+b| 综上可知: ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. (3) (1)

(2)


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