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必修1第三章对数函数的运算法则(全)






高一





数学





人教实验 A 版

内容标题

对数运算、对数函数

【本讲教育信息】
一. 教学内容: 对数运算、

对数函数 二. 重点、难点: 1. 对数运算

a ? 0, b ? 0, a ? 1, b ? 1, M ? 0, N ? 0
x

(1) loga N ? x ? a ? N (2) loga 1 ? 0 (3) loga a ? 1 (4) a a ? N (5) loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
log N

M ? log a M ? log a N N (7) loga M x ? x ? loga M
(6) log a (8) loga M ? logb M / logb a

y log a b x (10) loga b ? logb a ? 1 2. 对数函数 y ? loga x , a ? 0 且 a ? 1 定义域 ( 0,?? )
(9) log a x b ?
y

值域 单调性

R

a ? (0,1) ?

a ? (1,??) ?

奇偶性 非奇非偶 过定点 (1,0) 图象 y ? loga x 与 y ? log 1 x 关于 x 轴对称
a

【典型例题】
[例 1] 求值 (1) ( )

1 9

log3 7

?

; ; ; ;

3 ? log 15 20 ? log 15 4 ? 2 (3) (log6 2) 2 ? log6 2 ? log6 3 ? log6 18 ?
(2) log 15 2 ? log 15 (4) log9 16 ? log32 81 ? ;
2

(5) (log4 3 ? log8 3)(log3 5 ? log9 5) ? (log5 2 ? log25 2) ? (6) lg 25 ? lg 2 ? lg 50 ? (lg 2) ? 解: (1)原式 ? (3 )
? 2 log3 7
?2



? 3 ? 2 log3 7 ? 3log3 7 ? 7 ? 2 ?

1 49

(2)原式 ? log15 15 ? 1 (3)原式 ? log6 2 ? (log6 2 ? log6 3) ? log6 18

? log6 2 ? log6 18 ? log6 36 ?2 4 4 8 (4)原式 ? ( log 3 2) ? ( log 2 3) ? 2 5 5 5 3 3 15 (5)原式 ? ( log 2 3) ? ( log 3 5) ? ( log 5 2) ? 6 2 2 8 (6)原式 ? lg 25 ? lg 2(lg50 ? lg 2) ? lg 25 ? 2 lg 2 ? lg 100 ?2
[例 2] 若 x, y , z 满足 log2 [log1 (log2 x)] ? log3 [log1 (log3 y)] ? log5 [log 1 (log5 z)]
2 3
5

? 0 ,试比较 x、y、z 的大小关系。
解:log2〔log 1 (log2x)〕=0 ? log 1 (log2x)=1 ? log2x=
2

同理可得 y= 3 3 =(310)

1 30

2

1 1 ? x= 2 =(215) 30 . 2

,z= 5 5 =(56)
1 30

1 30

.

∵310>215>56,由幂函数 y=x

在(0,+∞)上递增知,y>x>z. 。

[例 3] 若 loga1 b1 ? loga2 b2 ? …… ? logan bn ? ? ,则 log( a1a2?an ) (b1 ? b2 ?bn ) ?
? ? 解:由已知 b1 ? a1 , b2 ? a2 ?bn ? an
?

∴ (b1 ?bn ) ? (a1 ?an )

?

∴ log( a1?an ) (b1b2 ?bn ) ? ?

[例 4] 图中四条对数函数 y ? loga x 图象,底数 a 为 3 , C1,C2,C3,C4 的值依次为( A. )

4 3 1 , , 这四个值,则相对应的 3 5 10
D.

4 3 1 3, , , 3 5 10

B.

4 1 3 3, , , 3 10 5

C.

4 3 1 , 3, , 3 5 10

4 1 3 , 3, , 3 10 5

答案:A [例 5] 求下列函数定义域 (1) y ? lg[lg(lg x)] (2) y ? lg( x 2 ? 3x ? 4) (3) y ?

log 1 ( x ? 1)
2

解: (1) lg[lg x] ? 0 ? lg1 (2) x ? 3x ? 4 ? 0
2

∴ lg x ? 1

∴ x ? (10,??)

(3) 0 ? x ? 1 ? 1 [例 6] 求下列函数的增区间 (1) y ? log2 x ? 1

x ? (??,?1) ? (4,??) x ? (1,2]

(2) y ? log1 ( x ? 2 x ? 8)
2 2

解: (1) y ? log2 t ? (2) y ? log 1 t ?
2

t ? x ?1

(??,1) ? (1,??) ? (??,?2) ? (4,??) ?

∴ y ? f ( x) 在( 1,?? ) ?

t ? x 2 ? 2x ? 8

∴ y ? f ( x) 在 (??,?2) ?

[例 7] 研究函数 y ? f ( x) ? log2 ( x 2 ? 1 ? x) 的定义域、值域、奇偶性、单调性。 解: (1) x ? 1 ?
2

x2 ? x ? x



x2 ?1 ? x ? 0
∴ y ? R 为值域

∴ 定义域为 R

(2) x ? R

x 2 ? 1 ? x ? (0,??)
2

2 (3) f (? x) ? log 2 [ (? x) ? 1 ? (? x)] ? log 2 ( x ? 1 ? x)

? log2
∴ 奇函数

1 x ?1 ? x
2

? log2 ( x 2 ? 1 ? x) ?1 ? ? f ( x)

(4) x ? (0,??) 时, y ? log2 ( x ? 1 ? x) ? log2
2

1 x ?1 ? x
2

t?

1 x ?1 ? x
2

?

y?log 2t ?

∴ y ? f ( x) 在 (0,??) 上 ?

∵ 奇函数

∴ y ? f ( x) 为 R 上 ?

[例 8] 已知 x ? (0,1) , a ? 0 且 a ? 1 ,试比较 loga (1 ? x) 与 loga (1 ? x) 的大小关系。 解: (1) a ? (0,1) 时, loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)

? ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x 2 ) ? 0
(2) a ? (1,??) 时, loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)

? loga (1 ? x 2 ) ? 0
综上所述, loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) [例 9] 函数 y ? f ( x) ? log2 (kx ? 4kx ? 3)
2

(1)若定义域为 R,求 k 的取值范围。 (2)若值域为 R,求 k 的取值范围。 解: x?R (1) k ? 0 时, y ? log2 3

?k ? 0 3 3 ∴ k ? [0, ) ?0?k ? ? 2 4 4 ?? ? 16k ? 12k ? 0 ?k ? 0 3 ? k ? [ ,?? ) (2) ? 2 4 ?? ? 16k ? 12k ? 0

【模拟试题】 (答题时间:30 分钟)
1. 求值:

1 ?log5 2 ) ? ; 125 lg 4 ? lg 5 ? 1 ? (2) ; 2 lg 0.5 ? lg 8 (3) (log2 6)(log3 6) ? (log2 3 ? log3 2) ?
(1) ( (4) lg 2 ? lg 3 ? (lg 6) ? lg 6 6 ? 2 lg 6 ?
2

; 。

2. 正实数 x , y 满足 3 ? 4 ? 6
x y

z

1 1 1 ? ? z x 2y (2)比较 3x,4 y,6 y 的大小关系 3. 已知 log3 2 ? a , log5 2 ? b 试用 a , b 表示 log30 90
(1)求证:
2 4. x ? (1, d ) , a ? log2 d x , b ? logd x , c ? logd (logd x) ,试比较 a, b, c 大小关系。

a b , log b , log b a, log a b 的大小关系是 b a 6. n ? m ? 1 ,试比较 logm n 与 log2 m 2n 的大小关系。
5. 若 a ? b ? a ? 1,则 log a
2



7. 研究函数 y ? f ( x) ? loga (a x ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域及单调性。

【试题答案】
1. (1) 5
?3( ? log5 2 )

? 5log5 8 ? 8

lg 2 ?1 lg 2 (3) (1 ? log2 3)(1 ? log3 2) ? (log2 3 ? log3 2) ? 2
(2)原式 ?
2 (4) lg 2 ? lg 3 ? (lg 6 ? 1) ? lg 6 ? 1 ? lg 6 ? 1

2. (1)令 3 ? 4 ? 6 ? 10 ? 0
x y z k

∴ x?

k k k y? z? lg 3 lg 4 lg 6 1 1 1 1 ? ? (lg 6 ? lg 3) ? lg 2 z x k k 1 lg 4 1 ? ? lg 2 ∴ 成立 2 y 2k k

3 lg 4 ? 4 lg 3 3k 4k ? ?k ? lg 3 ? lg 4 lg 3 lg 4 k ? ? [lg 64 ? lg 81] ? 0 lg 3 ? lg 4 4k 6k k 4 y ? 6z ? ? ? ? [4 lg 6 ? 6 lg 4] lg 4 lg 6 lg 4 ? lg 6 2k ? [lg 36 ? lg 64] ? 0 lg 4 ? lg 6 ∴ 3x ? 4 y ? 6 z ?1 ? log2 3 ? ?a 3. ? ? 1 ? log 5 2 ? ?b 2 1 1? ? log2 90 1 ? 2 l o g a b ? ab ? a ? 2b 2 3? l o g 25 log30 90 ? ? ? 1 1 log2 30 1 ? l o g ab ? a ? b 2 3? l o g 25 1? ? a b 4. a ? logd x ? logd x ∵ logd x ? (0,1) b ? 2?l o g d x
(2) 3x ? 4 y ? ∴ b?a?0?c

a b 1 ? 1 ? log a b ? 0 log ? 1? l o g b b a ? 0 ? (0, ) b a 2 1 b a log log ,2) ∴ log a b ? log b a ? log b ? log a b a ? ( ,1) a b ? (1 2 a b log2 n 1 ? log2 n log2 n ? log2 m 6. logm n ? log2 m 2n ? ? ? ?0 log2 m 1 ? log2 m log2 m(1 ? log2 m)
5. log a 7. (1) a ? (0,1)

a x ? 1 ? a0
∴ y ? f ( x) ?

∴ 定义域为 (??,0) ∴ 定义域为 (0,??) ∴ y ? f ( x) ?

y?lo g at?

t ? a x ?1 ?

(2) a ? (1,??)

a x ? 1 ? a0

y ? loga t ?

t ? a x ?1 ?

对数与对数函数测试题 1
一、选择题。 1.

log8 9 的值是 log2 3
A.





2 3
2

B.1

C.

3 2
5

D.2

2.若 log2 [log1 (log2 x)] ? log3 [log1 (log3 y)] ? log5 [log1 (log5 z)]=0,则 x、y、z 的大小
3

关系是 A.z<x<y B.x<y<z
3

( C.y<z<x D.z<y<x ( C.0 D.



3.已知 x= 2 +1,则 log4(x -x-6)等于 A.



3 2

B.

5 4

1 2
( )

4.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于 lg 15
a ? 2b 1? a ? b
C.

A.

2a ? b 1? a ? b

B.

2a ? b 1? a ? b

D.

a ? 2b 1? a ? b
( )

5.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 y A.1 B.4 C. 1 或 4 D.4 或 16

6.函数 y = log 1 ( 2 x ? 1) 的定义域为
2





A.(

1 ,+∞) 2
2

B. [1,+∞ )

C. (

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) ( )

7.已知函数 y=log 1 (ax +2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是
2

A.a>1
x

B.0≤a<1

C.0<a<1

D.0≤a≤1 ( )

8.已知 f(e )=x,则 f(5)等于 A.e
5

B.5

e

C.ln5

D.log5e ( y )

9.若 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1), 且f ?1 (2) ? 1, 则f ( x) 的图像是 y y y

O A

x

O B

x C O

x

O D

x

10.若 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. [2 ? 2 3, 2] B. ? 2 ? 2 3, 2



?

?

C. 2 ? 2 3, 2 ?

?

?

D. 2 ? 2 3, 2

?

?
( )

11.设集合 A ? {x | x 2 ? 1 ? 0}, B ? {x | log2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于 A. {x | x ? 1} C. {x | x ? ?1} 12.函数 y ? ln A. y ? C. y ? 二、填空题. 13.计算:log2.56.25+lg
2

B. {x | x ? 0} D. {x | x ? ?1或x ? 1} ( B. y ? D. y ? )

x ?1 , x ? (1,?? ) 的反函数为 x ?1

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

1 1? log2 3 +ln e + 2 =. 100
0.9 0.8

14.函数 y=log4(x-1) (x<1=的反函数为 __________. 15.已知 m>1,试比较(lgm) 与(lgm) 的大小. 16.函数 y=(log 1 x) -log 1 x +5 在 2≤x≤4 时的值域为______.
4 4
2 2

三、解答题. 17.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

18.已知函数 f(x)=lg[(a -1) x +(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R 求实数 a 的取值范围.

2

2

19.已知 f(x)=x +(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的值,并求此时 f(x)的最小值?

2

20.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

21.已知函数 f(x)=loga(a-a )且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明函数图象关于 y=x 对称.

x

22.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 a、a+1、

a+2,其中 a≥1,求△ABC 面积的最大值.

对数与对数函数测试题 1
参考答案 一、选择题:ADBCB 二、填空题:13. 三、解答题: 17.解析:先求函数定义域:由 2-ax>0 ,得 ax<2 又 a 是对数的底数, ∴a>0 且 a≠1,∴x< CDCBA AB

25 13 x 0.9 0.8 ? y?8 ,14.y=1-2 (x∈R),15.(lgm) ≤(lgm) ,16. 2 4

2 a

由递减区间[0, 1]应在定义域内可得 又 2-ax 在 x ∈[0,1]是减函数

2 >1,∴a<2 a

∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a>1 ∴1<a<2 18、解:依题意(a -1)x +(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. 当 a -1≠0 时,其充要条件是:
2 ? 5 ?a ? 1 ? 0 解得 a<-1 或 a> ? 2 2 3 ? ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0
2 2 2

又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题意. 所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪(

5 ,+∞) 3

19、解析:由 f(-1)=-2,得:f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2,解之 lga-lgb=1, ∴

a =10,a=10b. b
2 2

又由 x∈ R,f(x)≥2x 恒成立.知:x +(lga+2)x+lgb≥2x,即 x +xlga+lgb≥0, 对 x∈R 恒成立, 由 Δ =lg a-4lgb≤0,整理得(1+lgb) -4lgb≤0 即(lgb-1) ≤0,只有 lgb=1,不等式成立. 即 b=10,∴a=100. ∴f(x)=x +4x+1=(2+x) -3 当 x=-2 时,f(x)min=-3.
2 2 2 2 2

20.解法一:作差法 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=| +x)|) ∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x ∴上式=-

lg(1 ? x) lg(1 ? x ) 1 |-| |= (|lg(1-x)|-|lg(1 lg a lg a | lg a |

1 1 2 [(lg(1-x)+lg(1+x)]=- ·lg(1-x )[来源:Zxxk.Com] | lg a | | lg a |
2

由 0<x<1,得,lg(1-x )<0,∴- ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二:作商法

1 2 ·lg(1-x )>0, | lg a |

| loga (1 ? x) | =|log(1-x)(1+x)| | loga (1 ? x) |
∵0<x<1,∴0<1-x<1+x,∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 由 0<x<1,∴1+x>1,0<1-x <1 ∴0<(1-x)(1+x)<1,∴
2

1 1? x

1 >1-x>0 1? x

∴0<log(1-x)

1 <log(1-x)(1-x)=1 1? x

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x )| 解法三:平方后比较大小 ∵loga (1-x)-loga (1+x)=[loga (1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)] =loga(1-x )·loga
2 2 2

1? x 1 1? x 2 = ·lg(1-x )·lg 2 1? x 1 ? x | lg a |
2

∵0<x<1,∴0<1-x <1,0<
2

1? x <1 1? x

∴lg(1-x )<0,lg
2

1? x <0 1? x
2

∴loga (1-x)>loga (1+x),即|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法四:分类讨论去掉绝对值 当 a>1 时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x ) ∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x <1 ∴loga(1-x )<0,∴-loga(1-x )>0 当 0<a<1 时,由 0<x<1,则有 loga(1-x)>0,loga(1+x)<0 ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x )>0 ∴当 a>0 且 a≠1 时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 21.解 析:(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1) (2)设 1>x2>x1 ∵a>1,∴ a
x2
2 2 2 2 2

? a x1 ,于是 a- a x2 <a- a x1
x

则 loga(a-a a x2 )<loga(a- a 1 ) 即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 (3)证明:令 y=loga(a-a )(x<1),则 a-a =a ,x=loga(a-a ) ∴f (x)=loga(a-a )(x<1)
-1

x

x

y

y

x

故 f(x)的反函数是其自身,得函数 f(x)=loga(a-a )(x<1=图象关于 y=x 对称. 22. 解析:根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(a,log2a),(a+1,log2(a+1)),(a +2,log2(a+2)),则△ABC 的面积 S=

x

[log 2 a ? log 2 ( a ? 1)] [log 2 ( a ? 1) ? log 2 ( a ? 2)] ? ? [log 2 a ? log 2 ( a ? 2)] 2 2

1 a(a ? 2)(a ? 1) 2 1 (a ? 1) 2 ? log2 ? log2 2 [a(a ? 2)]2 2 a(a ? 2)
?
1 1 a 2 ? 2a ? 1 1 ? log 2 (1 ? 2 ) log2 2 2 a ? 2a 2 a ? 2a

因为 a ? 1 ,所以 S max ?

1 1 1 4 log 2 (1 ? ) ? log 2 2 3 2 3


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