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广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:数列


广东省各地 2014 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

数列
一、选择题 1、 (惠州市 2014 届高三第三次调研考) .设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n , 则

S4 ?( a2

)ks5u

A.2
答案:C

/>B.4

C.

15 2

D.

17 2

2、 (汕头市 2014 届高三上学期期末教学质量监测)已知等比数列 {a n } 的公比为 2 ,且

a1 ? a3 ? 5 ,则 a2 ? a4 的值为 (

)

A.10 B.15 C.20 D.25 答案:A 3、 (珠海一中等六校 2014 届高三第三次联考)若一个等差数列前 3 项和为 3,最后 3 项和 为 30,且所有项的和为 99,则这个数列有( D ) A.9 项 B.12 项 C.15 项 D.18 项 答案:D 二、填空题 1、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试)在等比数列 {an } 中,若 a 2 ? a 3 ? 3a1 ,则 a4 ? 答案:3 2、 (江门市 2014 届高三调研考试)在数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 归纳出这个数列的通项 a n ? 答案:

an ? (n? N ) ,试 1 ? an

1 n

3 、( 肇 庆 市 2014 届 高 三 上 学 期 期 末 质 量 评 估 ) 若 等 比 数 列 {an } 满 足

a2 ? a4 ?2 0 , a3 ? a5 ? 4 0 a3 ? ,则
答案:8

a1 ? a6 ? 12 , 4、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试) 已知数列 {an } 为等差数列, 若 a2 ? 3 ,
则 a7 ? a8 ? a9 ? 答案:45 5、 (珠海市 2014 届高三上学期期末).已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 3 ? 1 ,
n

则 an ? 答案: ?

?4 n ?1 ?2 ? 3

n ?1 n?2

三、解答题 1、 (佛山市 2014 届高三教学质量检测(一) )

数列 ? an ? 、?bn ? 的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、

an ?1 、 bn ?1 成等比数列, n ? 1, 2,3,? .
(Ⅰ)求 a2 、 b2 的值; (Ⅱ)求数列 ? an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7
…………1 分

【解析】(Ⅰ)由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 .
2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?
2 a2 ? 36 . b1

………………2 分

(Ⅱ)因为 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …①. …………3 分
2 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 an ?1 ? bn bn ?1 ,

……………4 分

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bn bn ?1 …②. 于是当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn …③. …………………………………………………………………4 分 将②、③代入①式,可得

2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 , …………………………………………………………5 分
因此数列

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,
n

(注:学生不写上述陈述扣 1 分) 所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? . ………………………6 分
2

由③式,可得当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? . ……………7 分
2

当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? .…………… 8分 (注:学生从特殊到一般归纳猜想出 an , bn 的解析式各 1 分,正确证明通项公式各 2 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为 9分 方法一:首先证明

1 1 1 1 2 ? ? ?L ? 2 ? .…………… 7 23 47 4n ? 4 n ? 1 7

1 2? 1 1 ? ? ? ? ? ( n ? 2 ). 4n 2 ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ?

因为

1 2? 1 1 ? 1 2 ? ? ? ? 2 ? 7n2 ? 7n ? 8n2 ? 8n ? 2 ?? 2 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ? 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n
2

? n2 ? n ? 2 ? 0 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 0 ,
所以当 n ? 2 时,

………………10 分

1 1 1 1 2 ?? 1 1 ? 1 ?? 1 2 1 2 ?1 ? ?L ? 2 ? ? ?? ? ? ? L ? ? ? ? ? ? ? ? ? . …12 分 7 23 4 n ? 4 n ? 1 7 7 ?? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 7 7 2 7
当 n ? 1 时,

1 2 ? . 7 7 ……………………………………………………………………13 分

综上所述,对一切正整数 n ,有 分 方法二:

1 1 1 1 2 ? ? ? ?? ? ………………14 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 a n ?1 7

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 4 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
2

当 n ? 3 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4 n ? 1
1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 4 ?? 5 9 ? ? 7 11 ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ?

?

?
当 n ? 1 时,

1 1 1?1 1? 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? .…………………12 分 7 23 4 ? 5 7 ? 7 14 14 7
……………13 分

1 2 1 1 1 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7 (验证不写扣 1 分) 综上所述,对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ……………………………14 分 a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7
方法三:

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? . ks5u 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
2

当 n ? 4 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4 n ? 1
? 1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L ? ? ? ? ??? ? 7 23 47 2 ? 7 9 9 11 2 n ? 3 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? . 7 23 47 14 7 ……………………………………………………12 分

1 2 1 1 1 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? ; 7 7 7 23 7 7 7 1 1 1 1 1 1 2 当 n ? 3 时, ? ? ? ? ? ? . 7 23 47 7 14 14 7 (验证不写扣 1 分)
当 n ? 1 时,

……13 分

综上所述,对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ………………14 a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

分: 2、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试) 已知数列{an}满足 a1 ?

3an 3 * , an ?1 ? , n?N . 2an ? 1 5

(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1 ? 为等比数列; ? an ?

(2) 是否存在互不相等的正整数 m ,s ,t , 使 m ,s ,t 成等差数列, 且 am ? 1 ,as ? 1 ,

at ? 1
成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的 m , s , t ;如果不存在,请说明 理由. 解: (1)因为 an ?1 ?

3an 1 1 2 ? ? .……………………………1 分 ,所以 an ?1 3an 3 2an ? 1

所以

? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? .……………………………………………………3 分 an ?1 3 ? an ?

因为 a1 ?

1 2 3 ,则 ? 1 ? .……………………………………………………4 分 a1 3 5
?1 ? 2 1 ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列.………………………5 分 3 3 ? an ?
n ?1

所以数列 ?

1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? (2)由(1)知, an 3 ?3?

2 3n ? n ,所以 an ? n .…………………7 分 3 3 ?2

假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件, 则有 ?

? ? m ? t ? 2 s, …………………………………………………9 分 2 a ? 1 ? a ? 1 a ? 1 . ? ? ? ?? ? ? s m t ?
3n 2 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , n 3 ?2
2

由 an ?

? 3s ? ? 3m ? ? 3t ? ? 1? ? ? m ? 1? ? t ? 1? .………………………………10 分 得? s ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?
即3
m ?t

? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32s ? 4 ? 3s .……………………………………11 分

因为 m ? t ? 2s ,所以 3 ? 3 ? 2 ? 3 .…………………………………………12 分
m t s

因为 3 ? 3 ? 2 3
m t

m ?t

? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立,

这与 m , s , t 互不相等矛盾.…………………………………………13 分 所以不存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件.…………………………14 分 3、 (增城市 2014 届高三上学期调研) 已知数列 {an } 满足 a1 ?

1 , 2an ?1 ? an ? 1. 2

(1)求 {an } 的通项公式; (2)证明: (1)解 a1 ?

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1. n
2分

1 , 2an?1 ? an ? 1 ? 2 ? 1, 2an?1 ? 2 ? an ? 1, 2 ? an?1 ? 1? ? an ? 1, 2
4分

an ?1 ? 1 1 ? an ? 1 2

a1 ? 1 ?

1 1 ?1 ? ? 2 2 1 1 为首项, 为公比的等比数列, 2 2
?1? ,∴ an ? 1 ? ? ? 。 ?2?
n

5分 6分

∴数列 ?an ? 1? 是以 ?

1 ?1? ∴ an ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?2?

n ?1

7分

n ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? (2)证明:∵ a1 ? a2 ? ... ? an ? n ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?2? ? ? ?2 ? 2 ? ?

9分

1 1 ?1? ? ?? ? 2 2 ?2? ? n? 1 1? 2
?1? ? n ?1? ? ? ?2?
n

n

10 分

11 分

?1? 1? ? ? a ? a2 ? ... ? an 2 ? 1? ? ? , ∴ 1 n n
n

n

12 分

?1? 1? ? ? n n ?1? ?1? ? 2 ? ? 0 , 13 分 ∵n 是正整数,∴ 0 ? ? ? ? 1 , 0 ? 1 ? ? ? ? 1, n ?2? ?2?



a1 ? a2 ? ... ? an ? 1。 n

14 分

4、 (省华附、省实、广雅、深中四校 2014 届高三上学期期末) 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 记 f (n) ? 2an ?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 ), n ? N .
?

(1)若数列 ? an ? 是首项与公差均为 1 的等差数列, 求 f (2014) ; (2)若 a1 ? 1, a2 ? 2, 且数列 ?a2 n ?1? , ?a2 n ? 均是公比为 4 的等比数列, 求证:对任意正整数 n , f (n) ? 0. 解: (1) ? 数列 ? an ? 是首项与公差均为 1 的等差数列, ………………………1 分 ……………………3 分

? ?n ? N? , an ? n, an?1 ? n ? 1, Sn ?

n(n ? 1) . 2

f (n) ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 )

? 2(n ? 1) ?

n(n ? 1) ? n(n ? 1) ? ? n ?2 ? ? (n ? 1) ? 2 2 ? ?
……………………5 分

? n(n ? 1)2 ? n(n ? 1)2 ? 0.
故 f (2014) ? 0. (2)由题意 ?n ? N , a2 n ?1 ? 1? 4
?
n ?1

…………………………………………………6 分

? 22 n ? 2 ,

………………………………7 分 …………………………8 分

a2 n ? 2 ? 4n ?1 ? 22 n ?1.
故 an ? 2 .
n ?1

…………………………………………9 分

?n ? N? , an ?1 ? 2n , Sn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1, f (n) ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 ) 1? 2
……………10 分 ………………………11 分 ………………………12 分

? 2n?1 (2n ? 1) ? n(2n?1 ? 2 ? 2n ) ? 2n (2n?1 ? 3n ? 2) ? 2n.
(证法一)当 n ? 1 时, f (1) ? 0 ; 当 n ? 2 时, 2
n ?1

? 4 ? (1 ? 1) n ?1 ? 4 ?1 ? (n ? 1) ? ? 4n ,

f (n) ? 2n (2n?1 ? 3n ? 2) ? 2n ? 2n (4n ? 3n ? 2) ? 2n ? 2n (n ? 2) ? 2n ? 2n ? 0.
…………………………………………………………………………………………13 分 故对任意正整数 n , f (n) ? 0. ………………………………………………14 分

(证法二)
n ?1 n?2 n n ?1 ?n ? N? , f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? 2 (2 ? 3n ? 5) ? 2n ? 2 ? ??? ? 2 (2 ? 3n ? 2) ? 2n ? ? n?2 n ?1 ? 2n ? ? 2(2 ? 3n ? 5) ? (2 ? 3n ? 2) ? ??2

? 2n (6 ? 2n ? 3n ? 8) ? 2.
0 1 ? 2n ? (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? 1? n ,

…………………………11 分

??n ? N? , f (n ? 1) ? f (n) ? 2n (6n ? 6 ? 3n ? 8) ? 2 ? 2n (3n ? 2) ? 2 ? 2n ? 2 ? 0 ,
数列 ? f (n)? 是递增数列. ……………………………………………………12 分

? f (1) ? 22 (2 ? ? 3 ??n ? N? , f (n) ? 0.

2 ? ) ?2

……………………… ……………………13 分 0,

…………………………………………………………14 分
2 2 2

5、 (惠州市 2014 届高三第三次调研考) 正项数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? (n ? n ? 1) S n ? (n ? n) ? 0 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

n ?1 5 * ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? . 2 2 (n ? 2) an 64
2 2 2

2 (1)解:由 Sn ? (n ? n ? 1) Sn ? (n ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 . ………2 分

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n ? n . …………3 分
2

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n . ………5 分
2 2

综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n .

…………………6 分

(2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . …………7 分 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . …………9 分 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n (n ? 2) 2 ? ?

……11 分

?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] …………13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2

?

1 1 5 . (1 ? 2 ) ? 16 2 64

…………14 分

6、 (江门市 2014 届高三调研考试)

? 已知正项等比数列 ?a n ? (n? N ) , 首项 a1 ? 3 , 前 n 项和为 S n , 且 S 3 ? a3 、S 5 ? a5 、

S 4 ? a 4 成等差数列.
⑴ 求数列 ?a n ?的通项公式; ⑵ 求数列 ? nSn ?的前 n 项和 Tn . 解:⑴依题意,设 a n ? 3q
n ?1

……1 分, S 3 ? a3 、 S 5 ? a5 、 S 4 ? a 4 成等差数列,所以

2( S 5 ? a5 ) ? ( S 3 ? a3 ) ? ( S 4 ? a 4 ) ……2 分,即 2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2a5 ) ? (a1 ? a2 ? 2a3 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? 2a4 ) , 1 2 化简得 4a5 ? a3 ……4 分,从而 4q ? 1 ,解得 q ? ? ……5 分, 2 1 6 ? 因为 ?a n ?( n ? N )是单调数列,所以 q ? , a n ? n ……6 分 2 2 1 ⑵由⑴知 S n ? 6(1 ? n ) ……7 分, 2 1 2 3 n Tn ? 6(1 ? ) ? 6(2 ? 2 ) ? 6(3 ? 3 ) ? ? ? 6(n ? n ) ……8 分, 2 2 2 2 1 2 3 n Tn ? 3n(n ? 1) ? 6( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ……9 分, 2 2 2 2 1 2 3 n 2 3 n 设 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 2 Rn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ……11 分, 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n?2 两式相减得 Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? n ……13 分, 2 2 2 2 2 2 3(n ? 2) 所以 Tn ? 3n(n ? 1) ? 6 Rn ? 3n(n ? 1) ? 12 ? ……14 分。 2 n?1
7、 (揭阳市 2014 届高三学业水平考试) 设数列 ? an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; -- (2)若数列 ?bn ? 满足: bn ? log3 (

3n ) ? log3 an ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n . 2

解: (1)设数列 ? an ? 的公比为 q ,由 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 , 得 2q ? 2q ? 12 ? 0 ,即 q ? q ? 6 ? 0 .---------------------------------------------3 分
2 2

解得 q ? 3 或 q ? ?2 ,----------------------------------------------------------------------5 分 ∵ q ? 0 ∴ q ? ?2 不合舍去,∴ an ? 2 ? 3
n ?1

;------------------------------------------6 分

3n (2)由 bn ? log3 ( ) ? log3 an 得 2 3n bn ? log3 ( ? 2 ? 3n ?1 ) ? log 3 32 n ?1 ? 2n ? 1 ,----------------------------------------8 分 2 ∴数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列,-----------------------------------9 分
∴ S n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )

?

2(3n ? 1) n(1 ? 2n ? 1) ? ? 3n ? 1 ? n2 .-------------------------------------12 分 3 ?1 2
?

8、 (汕头市 2014 届高三上学期期末教学质量监测) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? 1 ? an (n ? N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,且数列

3 3 3 S2 ? 1, S 3 ? 1 , ……. S n ? 1 ……是首项和公比都为 4 的等比数列。 4 4 4 (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项和为 Tn ,求

3 S1 ? 1, 4

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值。 T2 T3 T4 Tn
?

解:(Ⅰ)由题意知: a n ?1 ? a n ? 1, n ? N , a1 ? 0 , 所以数列 {a n } 是以 0 为首项,公差等于 1 的等差数列, 所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 1 ;…………………………(3 分)

3 4 S n ? 1 ? 4 ? 4 n ?1 ? 4 n ,所以 S n ? (4 n ? 1) …………………………(5 分) 4 3 4 所以(1)当 n ? 1时, b1 ? S1 ? (4 ? 1) ? 4 3 4 n 4 n?1 n (2)当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n?1 ? (4 ? 1) ? (4 ? 1) ? 4 3 3
又由题意可得: 检验 n ? 1时也符合,所以 bn ? 4 …………………………(7 分)
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: Tn ?

n(a1 ? a n ) (n ? 1)n …………………………(9 分) ? 2 2

所以当 n ? 2 时,

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) …………………………(10 分) Tn (n ? 1)n n ?1 n

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ??? ? ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ....... ? 2( ? ) ? 2 ? …(12 分) T2 T3 T4 Tn 2 2 3 n ?1 n n

9、 (肇庆市 2014 届高三上学期期末质量评估)

已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 ,

an ? an ?1 ? n , n? N? an ?1
2n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . an

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ? (3)证明: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 .
2 2 2 2

【解析】 (1)由

a an ? an ?1 n ,(2 分) ? n 得 (n ? 1)an?1 ? nan ,即 n ?1 ? an n ?1 an ?1

a a a2 a3 a4 1 2 3 n ? 2 n ?1 (4 分) ? ? ?? ? n ?1 ? n ? ? ? ? ?? ? a1 a2 a3 an ?2 an ?1 2 3 4 n ?1 n 1 1 即 an ? a1 ,∵ a1 ? 1 , 所以 a n ? (5 分) n n
∴ (2)∵ bn ?

2n ? n ? 2n an
2 3 n

(6分)

∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 2Tn ? 1 ? 2 ? ? 2 2 3


n? 1

2 ? ?3 4 ? 2 ? ? n ? ( ? n1? ) n2 ?
n n ?1

2 ②

(7分) (8分) (10分) (11分)

①-②得 ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
3

∴ Tn ? (n ? 1) ? 2 (3)证明:∵
2 2

n ?1

?2

1 1 1 1 ? ? ? ,k=2,3,4…,n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k
2 2

∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 2 1 2 3 n
(12分)

1 1 1 1 . ? ? ? ??? 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 1 2 2 3 n ?1 n 1 ? 2? ? 2 n
10、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试) 数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ?

(13 分) (14分)

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

(I)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;

(Ⅲ)若 cn ?

bn 5 ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 1 ? bn 3
1 2 3 2

18. 【解析】 (I)因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? , ………………………………(1 分) ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,……………………(2 分)

1 2

1 3 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ? n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,
所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2

……………………(3 分)
n

1 1 ?1? 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .…………(4 分) 2 2 ?2?
(II)由 (1)得 nbn ? 所以 ① Tn ?

n . 2n

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2

……………(5 分) ……………(7 分)

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 Tn ? 1 2n 2n 1? 2 (III)由(I)知 c ? 1 n 2n ? 1 1 5 c1 ? 1 ?1? 2 ?1 3 成立; (1)当 n ? 1 时,

n

.……………(9 分)

……………(10 分)

……………(11 分)

1 1 ? cn ? n ? n n ?2 n ?2 ? 2 ? 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 0 2 ? 1 3 ? 2n ? 2 , (2)当 n ? 2 时, ,
………………(13 分) 所以

Tn ? 1 ? ?

1 1 1 1 2 1 2 5 ? 1? ? [1 ? ( ) n ] ? 1 ? [1 ? ( ) n ] ? 1 ? ? . ………(14 分) n?2 3 1? 1 2 3 2 3 3 k ?2 3 ? 2 2
*
3 3 3 3 2

n

11、 (珠海市 2014 届高三上学期期末) 设数列 ? an ? 的各项都是正数,且对任意 n ? N 都有 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn +2Sn ,其中

Sn
为数列 ? an ? 的前 n 项和.

a2 ; (1)求 a1 ,
(2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)设 bn ? 3 ? ( ?1)
n n ?1

? ?2 a ,对任意的 n ? N * ,都有 bn ?1 ? bn 恒成立,求实数 ? 的取值
n

范围. 解: (1)令 n ? 1 ,则 a1 ? S1 +2S1 ,即 a1 ? a1 +2a1 ,所以 a1 ? 2 或 a1 ? ?1 或 a1 ? 0
3 2 3 2

又因为数列 ? an ? 的各项都是正数,所以 a1 ? 2

(1 ?a2 ) ? 2 ( a1 ?a2 ) 令n ? 2, 则 a1 ? a 即 a1 ?a2 ? a 2 ? S 2 +2 2S ,
3 3 2 3 3 2

, 解得 a1 ? 3 或 a1 ? ?2

或 a1 ? 0 又因为数列 ? an ? 的各项都是正数,所以 a2 ? 3 (2)? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn +2Sn
3 3 3 3 2

(1)

3 3 3 2 ? a13 ? a2 ? a3 ? ? ? an (2) ?1 ? S n ?1 +2S n ?1 (n ? 2)

由 (1) ? (2) 得 an ? ( Sn +2Sn ) ? ( Sn ?1 +2Sn ?1 )
3 2 2

化简得到 an ? Sn ? Sn ?1 ? 2
2

(3)

2 ? an (4) ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 ? 2 (n ? 3)

由 (3) ? (4) 得 an ? an ?1 ? ( Sn ? Sn ?1 ? 2) ? ( Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2)
2 2

化简得到 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ,即 an ? an ?1 ? 1 (n ? 3)
2 2

当 n ? 2时,a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? an ?1 ? 1 (n ? 2) 所以数列 ? an ? 是一个以 2 为首项, 1 为公差的等差数列

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1
(3) bn ? 3 ? (?1)
n n ?1

? ? 2n ?1

因为对任意的 n ? N ,都有 bn ?1 ? bn 恒成立,即有 3
*

n ?1

? (?1)n ? ? 2n ? 2 ? 3n ? (?1)n ?1 ? ? 2n ?1

化简得 (?1)

n ?1

? ? ? ( )n

1 3 3 2

1 3 n 1 3 1 ? ( ) 恒成立, ? ? ? ( )1 ,即 ? ? 2 3 2 3 2 1 3 n 1 3 2 3 当 n 为偶数时, ? ? ? ? ( ) 恒成立, ? ? ? ? ( ) ,即 ? ? ? 4 3 2 3 2 3 1 ?? ? ? ? 4 2
当 n 为奇数时, ? ? 12、 (珠海一中等六校 2014 届高三第三次联考) 已知数列{an}为等差数列,且满足 an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln 2. ks5u an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n ?1

(Ⅲ)当 0 ? ? ? 1 时,设 bn ? ? (an ? ), cn ? (1 ? ? )an ,数列 ? 求证: Tn ?

1 2

? 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn , ? bn cn ?

9n ? 1 . 4n ? 3
2

解: (Ⅰ)设 an ? kn ? b, k ? R, b ? R, n ? N * ,则 kn ? k ? b ? (kn ? b) ? n(kn ? b) ? 1 , 化简得: (k ? k )n ? (2kb ? k ? b)n ? (b ? 1 ? k ? b) ? 0 对 n ? N * 恒成立,
2 2 2

故有: k ? k ? 0 ①且 2kb ? k ? b ? 0 ②且 b ? 1 ? k ? b ? 0 ③
2 2

由①得 k ? 0, k ? 1. 当 k ? 0 时 b ? 1 ? k ? b ? 0 ③不成立,所以 k ? 0 舍去;
2

当 k ? 1 时可解得 b ? 1; 所以数列{an}的通项公式为 an ? n ? 1, n ? N * ………………4 分 (Ⅱ)方法 1:本题需证 考 虑 到 函 数 f ( x) ?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ln 2. n?2 n?3 n?4 2n ? 2

1 在 区 间 ? n ? 1, 2n ? 2? 上 的 定 积 分 , 将 其 分 割 为 ? n ? 1, n ? 2? , x

? n ? 2, n ? 3? ,? n ? 3, n ? 4? …… ? 2n ? 1, 2n ? 2? 等 n ? 1个小区间,并把这些曲边梯形求和
用底边为 1, 右侧端点的函数值作为高的小矩形面积之和来近似代替, 由于函数 f ( x) ?

1 在 x

区间 ? n ? 1, 2n ? 2? 上为减函数(图像略) ,所以用区间右侧端点的函数值作为高的小矩形面 积之和是小于曲边梯形面积,于是
2n?2 1 1 1 1 1 ? 1? ? 1? ? ? ? 1? ?? dx ? ln x n?2 n?3 n?4 2n ? 2 n?1 x

1?

2n?2 n ?1

? ln(2n ? 2) ? ln(n ? 1) ? ln 2.

所以原不等式成立。…………………………………………………………………………9 分 方法 2:构造函数 g ( x) ? ln( x ? 1) ?

x x ? 0 ,所以函数 , x ? ? 0,1? 求导得 g '( x) ? ( x ? 1) 2 x ?1

g ( x) 在区间 ? 0,1? 上单调递增,由于 0 ?
即 ln(1 ? ) ?

1 1 ? 1 ,故 g ( ) ? g (0) ? 0 , n n

1 1 1 ?0? ? ln(n ? 1) ? ln n, 累加即得 n n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ln(2n ? 2) ? ln(n ? 1) ? ln 2. 故原不等式成立。 ……9 分 n?2 n?3 n?4 2n ? 2
1 2

(Ⅲ)∵ bn ? ? (an ? ) = ∴

? (2n ? 1)
2

, , cn ? (1 ? ? )an =(1-λ) (n+1),

1 4 16 16 16 = ≥ ≥ - , bncn λ(1-λ)(2n+1)(2n+2) (2n+1)(2n+2) 2n+1 2n+2 1 1 ? 1 1? ?1 1? - - + - +…+? Tn≥16? ?3 4? ?5 6? ?2n+1 2n+2? 1 1 1 1 1 1 1 1 =16 + + +…+ + -2?4+6+…+2n+2? 3 4 5 ? ? 2n+1 2n+2 1 1 1 1 1 1 1 =16?n+2+n+3+…+2n+2-2?,设 tn= + +…+ ,倒序相加得 ? ? n+2 n+3 2n+2 1 1 1 1 1 1 2tn=?n+2+2n+2?+( + )+…+( + ) ? ? n+3 2n+1 2n+2 n+2 由于 (n ? 2) ? (2n ? 2) ? 3n ? 4,

1 1 ? ? ? ? 4, ? n ? 2 2n ? 2 ? 1 1 4 4 1 1 4 1 1 + …… ? ? , 同理 ? ? ? , ? n + 3 2 n + 1 n ? 2 2n ? 2 3n ? 4 3n ? 4 2n ? 2 n ? 2 3n ? 4
1 1 由于 (3n+4)?n+2+2n+2?= ? ? 4(n+1) 4 4 4 故 2tn≥ + +…+ = , 3n+4 3n+4 3n+4 3n+4 2(n+1) ?2(n+1)-1?= 8n . ∴tn> ,从而 Tn>16? 2? 3n+4 ? 3n+4 ? 3n+4 9n-1 (5n-4)(n-1) 8n 又∵ - = 3n+4 4n+3 (3n+4)(4n+3) 13、 (东莞市 2014 届高三上学期期末调研测试)已知数列 的前 n 项和为 Sn,且满足

?(n ? 2) ? (2n ? 2)? ? ? ?

(1)求数列

的通项公式;

(2) 若数列 恒成立。 答案: 解 :⑴ 由 Sn ? ?

满足

, 证明: 对于一切正整数 n, 不等式

1 1 an ? ① 2 2 1 1 得 Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( n ? 2 )② 2 2

………2



1 an ?1 ,即 3an ? an?1 ( n ? 2 ). 2 1 1 1 由 S1 ? ? a1 ? ,可得 a1 ? ? , 3 2 2 1 1 所以数列 ?an ? 为以 a1 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, 3 3
由①-②,得 an ? ? an ? 4分

1 2

………

1 1 n ?1 1 ? ?( ) n ? n ? N * ? . 3 3 3 n n n? N* ? , 证明:⑵ 由 bn ? ? ? 1 an ? 1 1 ? 3n
即 an ? ? ? ( ) 得: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

…………6 分 ……7 分

1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? 2 )(1 ? 3 ) ? ? ? (1 ? n ) 3 3 3 3 n! . ? 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? 2 )(1 ? 3 ) ? ? ? (1 ? n ) 3 3 3 3
b1 ? b ? b bn ? 2 ? n ! 2 ?? ? 3
, 只 要 证











1? 1? 1 ? 1 ?? ? ?1 ? ??1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? n ? ? .…8 分 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? 2
下面用数学归纳法先证明

1? 1? 1? ? 1 ?? ? ?1 1 * ?1 ? ??1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? n ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? n ? ? n ? N ? . 3 ? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ?3 3
① 当 n ? 1 ,不等式左边 ? ② 设 n ? k k ? 1,k ? N 即 ?1 ? ??1 ?

……9 分

2 2 ,右边 ? ,∴不等式成立; 3 3

……10 分

?

*

? 时,不等式成立,
1 ? ?1 1 ? ? 1? ? ? 2 ? ?? k 3 ? ?3 3 ? ?, ?

? ?

1 ?? 3 ??

1? 1 ? ?? ? ?1 ? k 2 ? 3 ? ? 3

则当 n ? k ? 1 时, 左 = ?1 ? ?? 1 ? 而 边

? ?

1 ?? 3 ??

1? 1 ?? 1 ? ? ?1 1 1 ? ? ? ? ?1 ? k ??1 ? k ?1 ? ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ? k 2 ? 3 ? 3 ? 3 ?? 3 ? ? ? 3 3

1 ? ?? ? ? ? ?1 ? k ?1 ? ?? ? 3 ?

? ?1 1 1 ?1 ? ? 3 ? 32 ? ? ? 3k ? ?

1 ? 1 ?1 1 1 ?? ? ? ? ? ?1 ? k ?1 ? ? 1 ? k ?1 ? ? ? 2 ? ? ? k 3 3 ?? ? 3 ? ?3 3

1? ? 1 ?1 1 ? ? k ?1 ? ? 2 ? ? ? k ? 3 ? ? 3 ?3 3

1 1 ? ?1 1 ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? k ? k ?1 ? , 3 3 ? ?3 3
即 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综 合 ①② , ?1 ? ??1 ? 立.…12 分

? ?

1 ?? 3 ??

1? 1? 1? ? ?1 1 ?? ? ?1 ? n ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? n ? ? n ? N * ? 成 2 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ?3 3

1? 1? 1? n ? ? 1? 1 1 3? 3 ? 1 ?1 1 又 1? ? ? 2 ?? ? n ? ? 1? ? ? ? , n 1 3 ? 2 2?3 2 ?3 3 1? 3
∴ ?1 ? ?? 1 ?

? ?

1 ?? 3 ??

1? 1? 1 ? ? ? ? ?1 ? n ? ? 成立. 2 ? 3 ? ? 3 ? 2
…………14 分

从而 b1 ? b2 ? b3 ??? bn ? 2 ? n ! 成立.

ks5u


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