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江苏专用2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5课函数的单调性与最值教师用书


第5课
[最新考纲] 内容 函数的单调性 函数的最值

函数的单调性与最值
要求 A B √ √ C

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I? A,如果对于区间 I 内的任 定 义 意两个值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说函数 f(x)在区间 I 上是增 函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数 f(x)在区间 I 上是减函数

(2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在区间 I 上具 有单调性,区间 I 叫作 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M

M 是 y=f(x)的最大值

M 是 y=f(x)的最小值

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
1

(1)对于函数 f(x),x∈D,若对任意 x1,x2∈D,x1≠x2 且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( ) )

1 (2)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(

x

(3)函数 y=|x|是 R 上的增函数.( (4)所有的单调函数都有最值.( )

)

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.(2016·北京高考改编)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是________.(填 序号) 1 ①y= ; 1-x ②y=cos x; ③y=ln(x+1); ④y=2 . ④ 增函数; ②中,y=cos x 在(-1,1)上先增后减; ③中,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上为增函数,故 y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数; 1 1 [①中,y= 在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故 y= 在(-1,1)上为 1-x 1-x
-x

?1?x -x -x ④中,y=2 =? ? 在 R 上为减函数,故 y=2 在(-1,1)上是减函数.] 2 ? ?
3.(教材改编)已知函数 f(x)= 为________. 2 2 5 2 5 [可判断函数 f(x)= 2 在[2,6]上为减函数,所以 f(x)max=f(2)=2,f(x)min= x-1 2

x-1

,x∈[2,6],则 f(x)的最大值为________,最小值

f(6)= .]
4.设函数 f(x)=x -2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),则 g(a)=________.
? ?a -2a,-2<a<1 ? ?-1,a≥1 ?
2 2

[∵f(x)=x -2x=(x-1) -1,∴当 a≥1 时,函数在[-2,1]

2

2

上递减,在[-1,a]上递增,g(a)=-1.当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上递减,∴g(a)=

a2-2a,
? ?a -2a,-2<a<1, 综上可知,g(a)=? ?-1,a≥1. ?
2 2

]

5.(教材改编)已知函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上具有单调性,则实数 a 的取
2

值范围为________. (-∞,1]∪[2,+∞) [∵f(x)=x -2ax-3=(x-a) -a -3, ∴f(x)关于 x=a 对称. 要使 y=f(x)在区间[1,2]上具有单调性, 只需 a≥2 或 a≤1.]
2 2 2

函数单调性的判断 (1)函数 f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间为________. (2)试讨论函数 f(x)=x+ (k>0)的单调性. (1)(-∞,-1) [由 x -1>0 得 x>1 或 x<-1,即函数 f(x)的定义域为(-∞,- 1)∪(1,+∞). 令 t=x -1,因为 y=log2t 在 t∈(0,+∞)上为增函数,
2 2

k x

t=x2-1 在 x∈(-∞,-1)上是减函数,所以函数 f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间
为(-∞,-1).] (2)法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).在(0,+∞)内任取

k? ? k? ? ?1 1? x1,x2,令 0<x1<x2,那么 f(x2)-f(x1)=?x2+ ?-?x1+ ?=(x2-x1)+k? - ?=(x2- x2? ? x1? ? ?x2 x1? x1x2-k x1) . x1x2
因为 0<x1<x2,所以 x2-x1>0,x1x2>0. 故当 x1,x2∈( k,+∞)时,f(x1)<f(x2), 即函数在( k,+∞)上单调递增. 当 x1,x2∈(0, k)时,f(x1)>f(x2), 即函数在(0, k)上单调递减. 考虑到函数 f(x)=x+ (k>0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性, 故在(-∞,- k)上单调递增,在(- k,0)上单调递减. 综上,函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k) 上单调递减. 法二:f′(x)=1- 2. 令 f′(x)>0 得 x >k,即 x∈(-∞,- k)或 x∈( k,+∞),故函数的单调增区间
3
2

k x

k x

为(-∞,- k)和( k,+∞). 令 f′(x)<0 得 x <k, 即 x∈(- k, 0)或 x∈(0, k), 故函数的单调减区间为(- k, 0)和(0, k). 故函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k)上单 调递减. [规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时, 作差后应注意差式的分解变形要 彻底. 2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确. 易错警示:求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如本题(1). [变式训练 1] 讨论函数 f(x)=
2

ax (a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x2-1
【导学号:62172024】

[解] 设-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=

ax1 ax2 - 2 x2 - 1 x 1 2-1

2 ax1x2 2-ax1-ax2x1+ax2 = 2 2 ?x1-1??x2-1?



a?x2-x1??x1x2+1? . 2 2 ?x1-1??x2-1?

∵-1<x1<x2<1,a>0, ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1-1)(x2-1)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故函数 f(x)在(-1,1)上为减函数. 利用函数的单调性求最值 已知 f(x)=
2 2

x2+2x+a ,x∈[1,+∞),且 a≤1. x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. [思路点拨] (1)先判断函数 f(x)在[1, +∞)上的单调性, 再求最小值; (2)根据 f(x)min >0 求 a 的范围,而求 f(x)min 应对 a 分类讨论. 1 1 1 [解] (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,f′(x)=1- 2>0,x∈[1,+∞), 2 2x 2x 1 7 即 f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴f(x)min=f(1)=1+ +2= . 2×1 2

4

(2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). 法一:①当 a≤0 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数.

a x

f(x)min=f(1)=a+3.
要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0, ∴-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数,

f(x)min=f(1)=a+3,
∴a+3>0,a>-3,∴0<a≤1. 综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,1]. 法二:f(x)=x+ +2>0,∵x≥1,∴x +2x+a>0, ∴a>-(x +2x),而-(x +2x)在 x=1 时取得最大值-3,∴-3<a≤1,即 a 的取值 范围为(-3,1]. [规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法,若函数 f(x)在闭区 间[a,b]上是增函数,则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(b),最小值为 f(a). 请思考,若函数 f(x)在闭区间[a,b]上是减函数呢? [变式训练 2] (2016·北京高考)函数 f(x)= 2
2 2

a x

2

x

x-1

(x≥2)的最大值为________.

-1 [法一:∵f′(x)= 2,∴x≥2 时,f′(x)<0 恒成立, ?x-1?

∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为 f(2)=2. 法二:∵f(x)=

x x-1+1 1 = =1+ , x-1 x-1 x-1 x

1 ∴f(x)的图象是将 y= 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位得到的.∵y= 1 在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故 f(x)在[2,+∞)上的最大

x

值为 f(2)=2. 法三:由题意可得 f(x)=1+ ∵x≥2,∴x-1≥1,∴0< ∴1<1+ 1 ≤2,即 1< 1 . x-1 1 ≤1,

x-1

x-1

x ≤2. x-1

故 f(x)在[2,+∞)上的最大值为 2.]
5

函数单调性的应用 ?角度 1 比较大小 设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是________. 【导学号:62172025】

b<a<c [因为函数 y=0.6x 是减函数,0<0.6<1.5,所以 1>0.60.6>0.61.5,即 b<a<1.因为
函数 y=x 在(0,+∞)上是增函数,1<1.5,所以 1.5 >1 =1,即 c>1.综上,b<a<c.]
0.6 0.6 0.6

?角度 2 解不等式 已知函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,

?1? 则不等式 f(2x-1)<f? ?的 x 的解集是________. ?3? ?2x-1≥0, ?1,2? [由题意知? ? ?2 3? 1 ? ? 2x-1< , ? 3 ?
1 2 所以 ≤x< .] 2 3 ?角度 3 求参数的取值范围 (1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是________.
? ??a-2?x-1,x≤1, (2)已知函数 f(x)=? ?logax,x>1, ?

1 ? ?x≥2, 即? 2 ? ?x<3,

若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则

实数 a 的取值范围为________.

? 1 ? (1)?- ,0? (2)(2,3] [(1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递增的, ? 4 ?
故在(-∞,4)上单调递增; 1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=- ,

a

因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增, 1 1 所以 a<0,且- ≥4,解得- ≤a<0. a 4

? 1 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是?- ,0?. ? 4 ?
(2)要使函数 f(x)在 R 上单调递增,

6

a>1, ? ? 则有?a-2>0, ? ?f?1?≤0,
解得 2<a≤3,

a>1, ? ? 即?a>2, ? ?a-2-1≤0,

即实数 a 的取值范围是(2,3].] [规律方法] 1.比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内, 然后利用函数的单调性解决. 2.解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符 号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的 单调区间,与已知单调区间比较求参数. 易错警示:(1)若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单 调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.

[思想与方法] 1.判断函数单调性的四种方法
7

(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时为增函数,不同时为减函数. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观 性判断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法: 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数, 再用相应的方法求最值. [易错与防范] 1.易混淆两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具 备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. 2.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性,还要注意衔接点. 3.函数在两个不同的区间上单调性相同,要分开写,用“,”隔开,不能用“∪”连 结. 课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 1.函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围是________. 【导学号:62172026】

?-∞,-1? [由题意知 2k+1<0,得 k<-1.] ? ? 2? 2 ?
1 x+1 2.给定函数:①y=x ;②y=log (x+1);③y=|x-1|;④y=2 ,其中在区间(0,1) 2 上单调递减的函数序号是________. ②③ 1 [①y=x 在区间(0,1)上单调递增;②y=log (x+1)在区间(0,1)上单调递减; 2 在区间(0,1)上单调递减;④y=2
x+1

? ?x-1,x≥1, ③y=|x-1|=? ?1-x,x<1, ?

在区间(0,1)上单调递

增.] 3.已知函数 f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则 a 的取值范围是________. 【导学号:62172027】
? ?x+a,x≥-a, (-∞,1] [函数 f(x)=? ?-x-a,x<-a, ?

即函数 f(x)在(-∞,-a)上是减函数,

8

在[-a, +∞)上是增函数, 要使函数 f(x)在(-∞, -1)上单调递减, 则-a≥-1, 即 a≤1.] 4.函数 f(x)= 2x 在[1,2]上的最大值和最小值分别是________. x+1

4 2x 2?x+1?-2 2 4 , 1 [f(x)= = =2- 在[1,2]上是增函数, ∴f(x)max=f(2)= , 3 x+1 x+1 x+1 3

f(x)min=f(1)=1.]
1 5.设函数 f(x)=ln(1+|x|)- 2,则使得 f(x)>f(2x-1)成立的 x 的取值范围为 1+x ________.

?1,1? [由已知得函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|), ?3 ? ? ?
由 f(x)>f(2x-1),可得 f(|x|)>f(|2x-1|). 当 x>0 时,f(x)=ln(1+x)- 1 1 2,因为 y=ln(1+x)与 y=- 2在(0,+∞)上都 1+x 1+x

单调递增,所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 由 f(|x|)>f(|2x-1|),可得|x|>|2x-1|, 1 2 2 2 两边平方可得 x >(2x-1) ,整理得 3x -4x+1<0,解得 <x<1. 3

?1 ? 所以符合题意的 x 的取值范围为? ,1?.] ?3 ?
6.函数 f(x)=-(x-3)|x|的递增区间是________.
?-x +3x,x>0, ?0,3? [f(x)=-(x-3)|x|=? ? 2 ? 2? ? ? ?x -3x,x≤0. ?
2

? 3? 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0, ?.] ? 2? ? ?log2x,x≥1, 7.函数 f(x)=? ? ?2x,x<1
(-∞,2)
1

的值域为________.

1 1 [当 x≥1 时,f(x)=log x≤log 1=0. 2 2
x

当 x<1 时,f(x)=2 ∈(0,2), ∴f(x)的值域为(-∞,2).] ?a-2?x,x≥2, ? ? 8 . 已 知 函 数 f(x) = ??1?x ? -1,x<2, ?? ?2? ?

满 足 对 任 意 的 实 数 x1≠x2 , 都 有

f?x1?-f?x2? <0 成立,则实数 a 的取值范围为________. x1-x2
9

?-∞,13? ? 8? ? ?

[ 由

f?x1?-f?x2? <0 可 知 f(x) 在 R 上 是 减 函 数 , 故 x1-x2
13 解得 a≤ .] 8

a-2<0, ? ? ??1?2 ? ? -1≥2?a-2?, ? ??2?

? 1? 9. 已知函数 y=f(x)的图象关于 x=1 对称, 且在(1, +∞)上单调递增, 设 a=f?- ?, ? 2?
b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为________. 【导学号:62172028】 b<a<c [∵y=f(x)的图象关于 x=1 对称,

? 1? ?5? ∴f?- ?=f? ?. ? 2? ?2?
5 又 2< <3,且 f(x)在(1,+∞)上单调递增, 2

?5? ∴f(2)<f? ?<f(3), ?2? ? 1? ∴f(2)<f?- ?<f(3), ? 2?
即 b<a<c.] 10.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,则 不等式 f(x)+f(x-8)≤2 的解集为________. (8,9] [ 因为 2 = 1 + 1 = f(3) + f(3) = f(9) ,由 f(x) + f(x - 8) ≤ 2 可得 f[x(x -

x>0, ? ? 8)]≤f(9), f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数, 所以有?x-8>0, ? ?x?x-8?≤9,
二、解答题 1 1 11.(2017·苏州模拟)已知函数 f(x)= - (a>0,x>0),

解得 8<x≤9.]

a x

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;

?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ,2?上的值域是? ,2?,求 a 的值. ?2 ? ?2 ?
[解] (1)证明:任取 x1>x2>0, 1 1 1 1 x1-x2 则 f(x1) - f(x2) = - - + = ,∵ x1>x2>0 ,∴ x1 - x2>0 , x1x2>0 ,∴ f(x1) -

a

x1

a

x2

x1x2

f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
1 1 1 ?1 ? ?1? 1 (2)由(1)可知 f(x)在? ,2?上为增函数,∴f? ?= -2= ,f(2)= - =2,解得 a= 2 2 2 a 2 ? ? ? ? a
10

2 . 5 12.已知 f(x)=

x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 【导学号:62172029】 [解] (1)证明:设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= = - x1+2 x2+2

x1

x2

2?x1-x2? . ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)f(x)=

x x-a+a a = =1+ , x-a x-a x-a

当 a>0 时,f(x)在(-∞,a),(a,+∞)上是减函数, 又 f(x)在(1,+∞)内单调递减, ∴0<a≤1,故实数 a 的取值范围是(0,1]. B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b ,则函数 f(x)=(1⊕x)x -(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于________. 6 [由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2,
3 2

当 1<x≤2 时,f(x)=x -2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x -2 在定义域内都为增函数, ∴f(x)的最大值为 f(2)=2 -2=6.] 1 2 2.(2017·泰州模拟)已知函数 y=log (x -ax+a)在区间(-∞, 2]上是增函数,则 2 实数 a 的取值范围是________. 1 2 [2 2,2 2+2) [设 y=log t,t=x -ax+a. 2 1 2 因为 y=log t 在(0, +∞)上是单调减函数, 要想满足题意, 则 t=x -ax+a 在(-∞, 2 2]上为单调减函数,且 tmin>0,
3 3

11

a ? ?2≥ 2, 故需? ? ?? 2?2- 2a+a>0,
解得 2 2≤a<2+2 2.] 3.规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算,即 a*b= ab+a+b,a,b 是正实 数,已知 1*k=3,求函数 f(x)=k*x 的值域. [解] 由题意知 1]k)+1+k=3,解得 k=1 或 k=-2(舍去), 1? 2 3 ? 所以 f(x)=k*x=1]x)+x+1=? x+ ? + ,因为 x>0,所以 f(x)>1,即 f(x)的值 2? 4 ? 域是(1,+∞). 4.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时, x

?x1? ? 2?

f(x)<0.
(1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. [解] (1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, 当 x>1 时,f(x)<0,∴f? ?<0, 即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9).

x1 x2

?x1? ?x2?

?x1? ?9? 由 f? ?=f(x1)-f(x2),得 f? ?=f(9)-f(3), x 3 ? 2? ? ?
而 f(3)=-1,∴f(9)=-2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

12



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高考数学一轮复习-基本初等函数知识点与典型例题

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高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6课时...

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