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浙江省五校2014届高三第一次联考数学(文)试题


2013 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
[来源:学科网 ZXXK]

选择题部分(共 50 分)
注意事项:

[来源:学科网 ZXXK]

1.答题前,考生务必将自己的姓名

、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸 规定的位置上。 2. 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦 干净后, 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2
[来源:学|科|网]

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S 2 ? S 2 3

球的体积公式 V=
4 πR3 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
1 3

?

?
[来源:学#科#网]

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积 h 表示台体的高 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 P ? ? y y ? ( ) , x ? 0 ? , Q ? x y ? 1g (2 x ? x ) , 则 P ? Q 为(
x 2

? ?

1 2

? ?

?

?



A. ? 0,1?

B. ?

C. ? 0, 2 ?

D. ?0?

2.已知 a, b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ A.充分不必要 3.函数 y ? 2sin ?

1 1 ? ”的( a b
C.充要

)条件 D.既不充分也不必要 )

B.必要不充分

?? x ? ?? x ? ? ? sin ? ? ? 的一个单调递减区间为( ? 4 2? ? 4 2?
B. ? 0, ? ? C. ?

A. ? ?

? ? ?? , ? 2 2? ?

? ? 3? ? , ?2 2 ? ?

D. ?? , 2? ?

4.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为( A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7

)

D. n ? 8

? x ? y ? 1, ? 5.设变量 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则目标函数 z ? 3x ? y 的最小值 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

6.现有四个函数:① y ? x ? sin x ;② y ? x ? cos x ;③ y ? x? | cos x | ;

④ y ? x ? 2 的图象(部分)如下,但
x

顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序 号安排正确的一组是(



A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③
2

D.③④②① )

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2c cos A.正三角形 B.直角三角形

A ? b ? c , 则 ?ABC 的形状是( 2
D.等腰直角三角形

C.等腰三角形

8.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1a2 a3 ? 15 ,且

15 75 25 ? ? ? 3 ,则 a2 ? ( S1S3 S3 S5 S5 S1
D.



A. 2

B.

1 2

C. 3

1 3

1 1 m?n 9.已知函数 f ( x) ? x3 ? mx 2 ? x 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,点 P( m, n) 表示 3 2 2

的平面区域内存在点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? log a ( x0 ? 4) ,则实数 a 的取值范围是( A. (0, ) ? (1,3)

) D. [3, ??)

1 2

B. (0,1) ? (1,3)

C. ( ,1) ? (1,3]

1 2

1 4 x2 y2 10.对任意的实数 x ? , y ? 1,不等式 2 ? ? 1 恒成立,则实数 a 的最大值是( a ( y ? 1) a 2 (2 x ? 1) 2
A. 2 2 B. 4 C.



14 2

D. 2

非选择题部分 (共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.若复数 z ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i( x ? R, i 为虚数单位)为纯虚数,则 x ? .

12.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户,若首 批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从乙社 区中抽取低收入家庭的户数为 .

13.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中有 一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 是 .

14.已知数列 ? an ? 的各项均为正整数, ?n ? N * ,有

an?1

?5an ? 1, an 为奇数 ? ? ? an ? k (其中k是使an?1为奇数的正整数),an 为偶数 ?2


若 a1 ? 13 ,则 a2013 =

15.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? .

1 1 1 1 15 9 ? ? ? , a2 a3 ? ? ,则 ? a1 a2 a3 a 4 8 8

16.已知 O(0,0) , A(cos ? ,sin ? ) , B(cos ? ,sin ? ) , C (cos ? ,sin ? ) ,若 kOA ? (2 ? k )OB ?OC ? 0 ,

??? ?

??? ??? ? ?

?

(0 ? k ? 2) ,则 cos(? ? ? ) 的最大值是
17 . 已 知 a, b, c, d为 常 数 , 若 不 等 式



b x?d 1 1 ? ? 0 的 解 集 为 (?1, ? ) ? ( ,1) , 则 不 等 式 x?a x?c 3 2

bx dx ? 1 ? ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)

1 ,其中 ? ? 0 , f ( x) 的最小正周期为 4? . 2 (Ⅰ)若函数 y ? g ( x ) 与 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称,求 y ? g ( x ) 图像的对称中心;
已知函数 f ( x) ? ( 3 sin ? x ? cos ? x) cos ? x ? (Ⅱ)若在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 (2 a ? c)cos B ? b ?cos C ,求 f ( A) 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知 A、B 是单位圆上的两点, O 为圆心,且 ?AOB ? 120? , MN 是圆 O 的一条直径,点 C 在圆内, ??? ? ??? ? ??? ? B 且满足 OC ? ? OA ? (1 ? ? )OB (0 ? ? ? 1) .
N

(Ⅰ)求证:点 C 在线段 AB 上; (Ⅱ)求 CM ? CN 的取值范围.

???? ???? ?

O

A M

20. (本小题满分 14 分) 数列 ? an ? 中, a1 ? 4, 前 n 项和 S n 满足: Sn ? an ?1 ? n . (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)令 bn ?

2n ?1 ? 1 5 2 * ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn .求证: ?n ? N , Tn ? . nan 4

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 , g ( x ) ? x ? ax ? 2, x ? R.
2 2

(Ⅰ)若不等式 g ( x) ? 0 的解集是{ x | x ? 2 或 x ? 1},求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 在 (0, 2) 上有两个不同的零点 x1 , x2 ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ?

1 (a ? R ) . x

(Ⅰ) a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若对定义域内的任意实数 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,都有

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1

? 5 ,求实数 a 的取值范围.

2013 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)答案
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的。 1.A 2.D 3. B 4.B 5.C 6. C 7. B 8. C 9.B 10. A

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11. ?1 12. 30 13.

4 5

14.33

15. ?

5 3

16. ?

1 2

17. (?2, ?1) ? (1,3)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ?

1 3 1 ? sin 2? x ? cos 2? x 2 2 2
?? 3 分

? sin(2? x ? ) 6 2? 1 (Ⅰ) ? ? 4? ?? ? , 2? 4

?

x ? f ( x ) ? sin( ? ) 2 6

? y ? g ( x) 与 y ? f ( x ) 关于 x ? ? 对称? g ? x ? ? f ? 2? ? x ? ? sin ?

?x ?? ? ? ?2 6?

?? 6 分

令 2 ? 6 ? k? ? x ? 2k? ? 3 ? g ( x) 的对称中心是 ? 2k? ? 3 , 0 ? k ? Z ? ? (Ⅱ)由正弦定理: (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B ? cos C

x ?

?

?

?

?

?? 8 分

2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? s i n ( ? C )? s i n ( ? A ? s iA ? 0 B ? ) n ? 1 B? ? cos B ? 3 2 1 2? ? A ? ? ? f ( A ) ? ( ,1) ? ? ? ?0 ? A? 2 3 6 2 6 2
19. (Ⅰ) OC ? OB ? ? OA ? OB ? BC ? ? BA

?? 12 分 ?? 14 分

???? ??? ?

?

??? ??? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 0 ? ? ? 1? BC , BA 同向平行,且 BC ? BA ?点 C 在线段 AB 上
(Ⅱ)

?? 6 分

???? ??? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ???? ???? ??? ???? ???? ??? 2 ? ? ? ? ??? 2 ? CM ? CN ? OM ? OC ? ON ? OC ? OM ? ON ? OC ? OM ? ON ? OC ? ?1 ? OC ?? 10 分

?

??

?

?

?

? ???? ? 1 ? ???? ???? 3 ? OC ? ? ,1? ? CM ? CN ? [? , 0) 4 ?2 ?

?? 14 分

20.(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? n ? an ? (n ? 1) . 所以 an?1 ? 2an ? 1, an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ( n ? 2 ) 又 a1 ? S1 ? a2 ? 1, a1 ? 4 ,? a2 ? 3 ? an ? 1 ? (a2 ? 1)2 综上,数列 ? an ? 的通项 an ? ? (2)证明:由于 b1 ? 则当 k ? 2 时,有 bk ?
2
n?2

?? 4 分

,? an ? 2n ?1 ? 1, (n ? 2) ?? 6 分
?? 7 分

? 4, n ?1 ? . n ?1 ? 2 ? 1, n ? 2 ?

1 1 , bn ? (n ? 2) , 2 n

1 1 1 1 ? ? ? , 2 k k ? k ? 1? k ? 1 k

?? 9 分

所以,当 n ? 2 时,有

Tn ?

1 n 2 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? bk ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 4 k ?2 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n ?1 n ??

?? 12 分

1 1 5 ? ? (1 ? ) ? 4 n 4
又 n ? 1 时, T1 ? b1 ?
2

1 5 ? , 4 4

所以,对于任意的 n ? N ,都有 Tn ?
*

5 . 4

?? 14 分 ?? 1 分

21.解: (Ⅰ)由韦达得 ?a ? 1 ? 2 ? a ? ?3 ,

? x ? 1,x ? ?1或x ? 1, ? 于是 g(x)=x2-3x+2. f ( x) ? ? 2 ?1 ? x ,? 1 ? x ? 1, ?
2

当 x≤-1 或 x≥1 时,由 f ( x) ? g ( x) 得 x2-1≤x2-3x+2,解得 x≤1, ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1 或 x=1. 当-1<x<1 时,由 f ( x) ? g ( x) 得 1-x2≤x2-3x+2,解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤
1 . 2

?? 3 分
1 或 x≥1, 2

?? 5 分
1 或 x=1}. 2

综上知,不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为{x|x≤ (Ⅱ)法一: h( x ) ? ?

?? 6 分

?2 x 2 ? ax ? 3,x ? ?1或x ? 1 , ?ax ? 5, ?1 ? x ? 1 ,

?2 x 2 ? 3,x ? ?1或x ? 1, 若 a ? 0 时, h( x) ? ? 显然 h(x)>0 恒成立,不满足条件. ? 1 ? x ? 1. ?5,
若 a ? 0 时,函数 ? (x)= a x+5 在(0,1)上是单调函数, 即 ? (x)在(0,1)上至多一个零点,不妨设 0<x1<x2<2. ①如果 0<x1<1,1≤x2<2 时,则 ? (0)? (1) ? 0 ,且 h(1)h(2) ≤0,即

?a ? 5 ? 0 11 解得 ? ≤ a ? ?5 . ? 2 ?(a ? 5)(2a ? 11) ? 0
经检验 a ? ?

11 3 11 时, h(x) 的零点为 ,2(舍去) ,∴ ? < a ? ?5 . 4 2 2

?? 10 分

②若 1≤x1<x2<2 时

? h(1) ? 1 ? h(2) ? 0 ? ? a ? ?1 ? ? 4 ? 2 ? 2 ? a ? 24 ? 0 ?

?a ? 5 ? 0 ?2a ? 11 ? 0 ? 即? 得:-5≤ a ? ?2 6 . ?8 ? a ? ?4 ? ?a ? ?2 6ora ? 2 6 ?
11 ? a ? ?2 6 . 2

?? 14 分

∴ 综上所述 a 的取值范围为 ?

?? 15 分

? ? ?1 ? x 2 ? ? x 2 ? 4 5 ? ? ? , x ? ? 0,1? ? x2 ? 1 ? x2 ? 4 ? x x ?? 8 分 法二: a ? ?? 2 2 x 3? ? ? ? x ? 1? ? x ? 4 ? ? ? ? 2 x ? ? , x ? ?1, 2 ? ? x x? ? ?
5 x ? ? 0,1? , ? 单调递增,且值域为 ? ??, ?5 ? ; x
?? 10 分

? 6? 11 3? ? x ? ?1, 2 ? , k ? x ? ? ? ? 2 x ? ? 先增后减, k ?1? ? ?5, k ? x ?max ? k ? ? ? ?2 6, k ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 x? ? ? ?
?? 13 分
作出上述函数图像,可得 ?

11 ? a ? ?2 6 2

?? 15 分

22. (Ⅰ) a ? 0 时, f ? x ? ? ln x ?

1 1 1 ? f ?( x) ? ? 2 ? f ?1? ? ?1, f ? ?1? ? 2 , ?? 4 分 x x x ?? 6 分 切线: y ? ? ?1? ? 2 ? x ? 1? ? y ? 2 x ? 3
f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1 ? 5 ,∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1 ?5 ? 0,

(Ⅱ)∵



f ? x2 ? ? 5 x2 ? ? f ? x1 ? ? 5 x1 ? ? ? x2 ? x1

?0,

[来源:学科网 ZXXK]

设 g ? x ? ? f ? x ? ? 5 x ,则 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数

?? 9 分

1 1 5 1 1 1 g ( x) ? ln x ? ax 2 ? ? 5x ? g ?( x) ? ? 2ax ? 2 ? 5 ? 0 ? 2a ? 2 ? 3 ? x x x x x x 1 3 2 2 令 ? t ? 0 , h ? t ? ? t ? t ? 5t ? h? ? t ? ? 3t ? 2t ? 5 ? ? 3t ? 5 ?? t ? 1? x
? t ? ? 0,1? , h? ? 0; t ? ?1, ? ? , h? ? 0 ? h ? t ?min ? h ?1? ? ?3
?? 13 分

? 2a ? ?3 ? a ? ?

3 2

?? 15 分


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