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2015《高数》自学指导书


《高等数学》自学指导书
一、课程性质和目的: 《高等数学》课程是理工科各专业的一门必修的重要基础理论课,是为培养社会主义 建设需要的大专工程技术和工程管理人才服务的。 通过本课程的学习,使学生较系统地掌握高等数学基本知识,领会微积分的辨证思想 和方法。通过各个教学环节,逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学 能力,较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。为学生学习后 续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。 二、学习内容和要求
第一章 (一)函数 (1)理解函数的概念:函数的定义,函数的表示法,分段函数。 (2)理解和掌握函数的简单性质:单调性,奇偶性,有界性,周期性。 (3)了解反函数:反函数的定义,反函数的图像。 (4)掌握函数的四则运算与复合运算。 (5)理解和掌握基本初等函数:幂函数,指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 (6)了解初等函数的概念。 (二)极限 (1)理解数列极限的概念:数列,数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函 数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (2)了解数列极限的性质:唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列,极限存在 定理,掌握极限的四则运算法则。 (3)理解函数极限的概念:函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x 趋于无穷 (x→∞,x→+∞,x→-∞)时函数的极限。 (4)掌握函数极限的四则运算及存在定理。 (5)理解无穷小和无穷大的概念,掌握无穷小的性质 、无穷小量的比较及无穷小与无穷大之间的关系。 (5)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 (1)理解函数连续的概念:函数在一点连续的定义,左连续和右连续,函数在一点连续的充分必要 条件,函数的间断点及其分类。 函数、极限和连续

(2)掌握函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,符合函数的连续性,反函数的连续性, 会求函数的间断点及确定其类型。 (3) 掌握闭区间上连续函数的性质: 有界性定理, 最大值和最小值定理, 介值定理 (包括零点定理) , 会利用介值定理,推证一些简单命题。 (4)理解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限。 习题 1. 用分段函数表示函数 y ? 3? | x ? 1 | .

2. 判别函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? x, x ? 0 的奇偶性. 2 ? x ? x , x ? 0 ?

3.下列函数能否复合为函数 y ? f [ g ( x)] , 若能, 写出其解析式、定义域、值域.
(1) y ? f (u ) ? u , (2) y ? f (u ) ? ln u, u ? g ( x) ? x ? x 2 ; u ? g ( x) ? sin x ? 1.

4.分析函数 y ? 3 arctan cose2 x 的复合结构.

5.判别下列极限是否存在,如果存在,求出其值. (1) lim 2
x?0 1x

;

(2) lim e
x ??

1x

;

(3) lim e
x ?0

?1 x 2

.

6. 若 f ( x) ? 0, 且 lim f ( x) ? A. 问:能否保证有 A ? 0 的结论?试举例说明.

7. 求极限 lim
x ?0

tan x ? sin x . x2 sin x

1

8. 求极限 lim (3 x ? 9 x ) x .
x ? ??

9. 求 lim

2x 2 ? 2x . x ?? ( x ? 1) 2

10. 求极限 lim
? ??

e? ? e ? ? ??

11. 求极限 lim( x ? 2e )
x x ?0

1 x ?1

.

12. 估计方程 x ? 6 x ? 2 ? 0 的根的位置.
3

第二章 导数与微分 (一)导数 (1) 理解导数的概念及其几何意义, 了解可导性与连续性的关系, 会用定义求函数在一点处的导数。 (2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程 。 (3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 (4)掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。会求分段函数的 导数。 (5)理解高阶导数的概念,会求简单函数的 n 阶导数。 (二)微分 (1)理解函数的微分概念, (2)掌握微分法则,了解可微与可导的关系, (3)会求函数的一阶微分。

练习
1. 函数 f ( x) 在某点 x 0 处的导数 f ?( x0 ) 与导函数 f ?( x) 有什么区别与联系?

2. 求曲线 y ? 2x ? x3 上与 x 轴平行的切线方程.

4. 求函数 y ?

2 tan x ? 4 ln x 的导数. 1? x2

5. y ? (1 ? x 2 ) tan x , 求y?.

6. 求函数 y ? cos2 x ln x 的二阶导数.

7. 求函数 y ? x ? x 的微分 dy .

8. 因为一元函数 y ? f ( x) 在 x 0 的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是 微分”,判断这种说法对吗?

第三章 中值定理及导数的应用 (一)中值定理 (1)了解罗尔中值定理, (2)了解拉格朗日中值定理及其几何意义。 (二)导数的应用 (1)熟练掌握洛必达法则求未定式的极限方法。 (2)掌握利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间的方法,会利用函数的增减性证明简单 的不等式。 (3)理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值的方法,并且会解简单的应用问题。 (4)会判断曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。 (5)会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

练习
1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.

2.设 f ( x) 有一阶导数, f (0) ? f ?(0) ? 1, 求 lim
x?0

f (sin x ) ? 1 . ln f ( x )

3.设函数 f ( x) 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f ??( x0 ) ? 0, 其中 x0 ? (a, b) , 则 ( x0 , f ( x0 )) 是否一定为曲线
f ( x) 的拐点?举例说明

4.若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b]上的最大值或最小值, 且 f ?(a ) 存在, 是否一定有 f ?(a) ? 0 ?

5.两坐标轴 x ? 0, y ? 0 是否都是函数 f ( x) ?

sin x 的渐近线? x

6 若函数 f ( x) 有 lim f ( x) ? 0, lim
x ???

x ???

f ( x) ? 1, x

x ???

f ( x) ? 0, lim f ( x) ? ?, 并且当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , 否则 x ?2 x ? f ( x) ? 0 ( x ? 2), 当 x ? (1 / 2,2) 时, f ??( x) ? 0 , 否则 f ??( x) ? 0 ( x ? 0), 则 lim [ f ( x) ? x] ? 2, lim
x ???

(1) (2) (3) (4)

函数 f ( x) 的单调区间(注明增减)是 _______. 函数曲线的凹向和拐点是 _______. 当 x ? _______时, 函数取得极大值 _______. 函数的渐近线有 _______. 第四章 不定积分

(一)不定积分的概念与性质 (1)理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质,了解原函数存在定理。 (2)熟练掌握不定积分的基本公式。 (二)求不定积分的方法 (1)熟练掌握不定积分第一类换元积分法,掌握第二类换元积分法(限于三角 代换及简单的根式代 换)。 (2)熟练掌握不定积分的分部积分法。

练习
1.求下列不定积分

(1)?

1? x dx; 3 x

(2)?

4 ? e x ? 2 ? 32 x dx. 3x

2.求下列不定积分

(1)?

x dx; (1 ? x)3

(2)?

1 dx; 1 ? cos x

(3)

?x

1 x2 ? 1

dx.

3.设 f ?(sin2 x) ? cos2 x , 求 f ( x) .

4.求不定积分

? x sin

2

xdx;

5.求不定积分

?e

?x

sin 2 xdx .

第五章 定积分 (一)定积分的概念与性质

(1)理解定积分的概念与几何定义,了解可积条件。 (2)掌握定积分的基本性质。 (二)定积分的计算 (1)理解变上限积分是变上限的函数,掌握变上限定积分求导数的方法。 (2)掌握牛顿——莱布尼兹公式。 (3)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 (4)理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法。 (5)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积。

练习
1. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式:

?

a

0

a 2 ? x 2 dx ?

?a 2
4

(a ? 0).

2. 证明不等式

?

3

2

x 2 ? x dx ? 2 .

3. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 则 如果存在等于什么?

?

x

a

f (t )dt 与

?

b

x

f (u )du 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数? 它们的导数存在吗?

1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ?. 4. 用定积分定义和性质求极限 lim? n ? ?? n ? 1 n?2 2n ?

5. 计算定积分

?

x2 dx . 0 1 ? x2
1

6.设 f ??( x ) 在[0, 1]上连续, 且 f (0) ? 1, f (2) ? 3, f ?(2) ? 5, 求 7. 判断广义积分

? xf ??(2x)dx.
0

1

? x ? 1 dx 的瑕点.
0

1

ln x

8. 求正弦曲线 y ? sin x, x ? ?0,

3 ? 3? ? 和直线 x ? ? 及 x 轴所围成的平面图形的面积. ? 2 ? 2?

9. 计算曲线 y ?

?

x n 0

n sin x dx 的弧长 (0 ? x ? n? ).

10 一矩形水闸门, 宽 20 米, 高 16 米, 水面与闸门顶齐, 求闸门上所受的总压力.

11.设某产品的总利润为 L(q) ? 4q ?

1 2 q ? 1 (万元), 其中 q (百台)为产量, 2

(1) 求产量等于多少时总利润最大? (2) 从利润最大时, 再生产 200 台, 总利润增加多少?

三、考核方式及评分办法 考试重在考察学生对基础知识和基本技能的掌握。 考核方式:平时考核+期末考试,总成绩为 100 分。平时考核成绩以考勤、平时作业完成情况与完 成质量为依据,占总成绩的 30%。期末考试采用闭卷方式,统一命题,统一评分标准,统一考试时间, 考试时间为 100 分钟,占总成绩的 70%。

参考教材:

《高等数学》自编教材

《高等数学(上)》作业
一、单项选择题: ⒈ 下列极限正确的是( (A) lim
x??

) (B) lim x sin
x ??

sin x ?1 x
1

1 ?1 x

(C) lim ( 1 ? x ) x ? e
x??

(D) lim (1 ?
x ??

1 x ) ?e x

⒉ lim (1 ?
x ??

2 x ) ?( x
(B)e

) (C) e 2 ) ; (B) e (C) e 2 (D) e ? 2 (D) e ? 2

(A)1 ⒊ li m ( 1 ?
x??

2 x ) ?( x

(A) 1

? x ? 1, ? ? ⒋设 f ( x ) ? ? 0 , ? ? x ? 1, ?
(A) lim f ( x ) ? 0
x?0

x?0 x ? 0 ,下列结论中正确的是( x?0
(B) lim f ( x ) ? lim ( x ? 1) ? 1
x?0 x?0



(B) lim f ( x ) ? lim ( x ? 1) ? ? 1
x?0 x?0

(D) lim f ( x ) 不存在
x?0

⒌函数 y ?

x ln ( x ? 1 )

的连续区间为(

) ; (B) ( ? 1 , 0 ) ? ( 0 , ? ? ) (D) ( 0 , ? ? ) ) ; (B) ( 1 , 2 ) ? ( 2 , ? ? ) (D) [ 1 , ? ? ) ) ; (B) ? 2x f ? ( ? x 2 ) d x (D) f ? ( ? 2 x ) d x ) ; (B) x 2 f ? ( x ) d x (D) f ? ( 2 x ) d x ) (B) 3 x ln 3 ? 3x 2 ? cos (D) 3 x ln x ? 3x 2 )

(A) [ ? 1 , 0 ) ? ( 0 , ? ? ) (C) [ 0 , ? ? ) 6.函数 y ?

1 的连续区间为( ln ( x ? 1 )

(A) [ 1 , 2 ) ? ( 2 , ? ? ) (C) ( 1 , ? ? ) 7.设函数 y ? f ( ? x 2 ) ,则 d y ? ( (A) f ? ( ? x 2 ) d x (C) 2x f ? ( ? x 2 ) d x 8.设函数 y ? f ( x 2 ) ,则 d y ? ( (A) f ? ( x 2 ) d x (C) 2x f ? ( x 2 ) d x 9.设 y ? 3x ? x 3 ? sin

? ,则 y? ? ( 3
? 3

(A) 3 x ? 3x 2 ? cos (C) 3 x ln 3 ? 3x 2

? 3

10.函数 f ( x ) ? x 3 ? 2 x 在区间 [ 0 , 1 ] 上满足拉格朗日中值定理的 ? ? ( (A)

3

(B) ?

1 3

(C)

1 3

(D) ?

1 3


11.函数 f ( x ) ? x 3 ? 2 x 在区间 [ ? 1 , 0 ] 上满足拉格朗日中值定理的 ? ? ( (A)

3

(B) ?

1 3

(C)

1 3

(D) ?

1 3

12.

? ? 0 | cos x | d x ? (

) (B) 1 ) (C)2 ) (D) ? (C) 2 (D) ? 2

(A)0 13. ?
? 0

1 ? sin 2 x dx ? (
(B)1

(A)0 14.

?0

?

1 ? cos 2 x d x ? (
(B) 2

(A)0

2

(C) ? 2

2

(D) 2

15.设函数 y ? f (x 2 ) ,则 dy ? ( (A) f ?( x 2 ) dx (B) f ?(2x ) dx

) (C) x 2 f ?(x) dx ) (C) ? sin x ? c ) (D) ? cos x ? c (D) 2x f ?(x 2 ) dx

16.设 [ ? f ( x ) dx ]? ? sin x ,则 f ( x ) ? ( (A) sin x 17. (B) cos x
? 2 ? ? 2

?

1 ? cos 2 x dx ? (

(A)0 18.

(B)1 )

(C)2

(D) ? 2

?

ex dx ? ( 1 ? e2x

(A) ln ( e x ? 1) ? c (C)

(B) arctan e x ? c (D) ln |

1 ?c 1 ? e2x

ex ?1 |?c ex ? 1

二、填空题:

⒈函数 y ? x ? 3 ?

1 的定义域是 ln ( 4 ? x )

⒉ lim

x ?0

sin 5x ? sin 3x
1 1 ? sin x ) ? x x 1 1 ? sin x ) ? x x
; ;

⒊ li m ( x sin
x ?0

⒋ li m ( x sin
x ??

5.若 f ( x ) 在点 x 0 处可导,则 li m

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? ?x ?x ? 0



6.若 f ( x ) 在点 x 0 处可导,则 lim

f ( x 0 ? ?x ) ? f (x 0 ? ?x) ? ?x ? 0 ?x
f ( x 0 ? 2?x ) ? f ( x 0 ) ? ?x ?x ? 0


7.若 f ( x ) 在点 x 0 处可导,则 li m

8.若 f ( x ) 在点 x 0 处可导,则 lim

f (x) ? f (x 0 ) x ? x0

x ? x0

?

9.曲线 y 2 ? 4x 在点 ( 1, 2 ) 处的切线方程是

10.已知函数 y ? ax 2 ? bx ? 1 在 x ? 1 处有极值 ? 1 ,则 a ? 11.曲线 y ? 12.若 13.若 14.

,b ?

x 的垂直渐近线为 4 ( x ? 1)
; ;

2 ? f ( x ) dx ? cos x ? C ,则 f ( x ) ?

? ? f ( x ) d x ?? ? cos x ,则 f ( x ) ?
1

? cos x dx ?
d dx

15.

?

a x
2

e? t d t ?

2

16.

?

?
??

( 1 ? x sin 4 x ) d x ?
4

.

17.

? ? ? x sin

?

x dx ?

.

三、计算题: ⒈ 求极限 li m
x?0

? 0 ( 1 ? cos t ) d t
x3

x





求 lim

1 ? cos 2x . x ? 0 x tan x

⒊求 lim

?0 sin 3t d t
x2

?

x?0

⒋求极限 li m
x?0

x 2 ? 0 ln ( 1 ? t ) d t

x3

⒌设 y ? ln

x 1 ? x2

? x arctan x ,求 y ? ;

6.设 y ? x sin 2 x ,求 y ??.

7.已知 y ? arctan

x ?1 ,求 y ?? x ?1

8.设 y ? ln

2x ? 1 ? x arcsin x ,求 y ? ; x ?1

9.设 y ? 1 ? x e x ? y ,求 y? | x ? 0 ;

10.设 x ? y ? e x y ,求 y? | x ? 0 .

11.设 e x y ? x 2 ? y 3 ,求 y ?

12.设 y ? 1 ? x e y ,求 y? | x ? 0 ;

13.设 ?

? d2y ? x ? a ( t ? sin t ) . ,求 dx 2 ? ? y ? a ( 1 ? cos t )

?t ? d2y ? x ? 3e 14.设 ? ,求 ; t dx 2 ? ? y ? 2e

? d2y ? x ? ln t 15. 已知 ? ,求 2 dx 2 ? ?y?t ?5

2 ? d2y ? x ? ln ( 1 ? t ) 16.设 ? ,求 ; 2 d x ? y ? t ? arctan t ?

17.求

? x ( 1 ? ln

1

2

x)

dx ;

18.

? cos (3x ? 1) dx
2

1

19.

?

3

x 1? 1? x

dx

0

20.

?

? 6

x cos x dx

0

21.求

? x ( 1 ? ln x ) d x ;

1

22.求

?

1 2 2

1? x2 dx . x2

23.求

?

? 2 0

x sin x dx .

24.已知 f ( x ) 的一个原函数为 sin x ,求

?

? 4 0

x f ? ( x ) dx .

25.已知 f ( x ) 的一个原函数为

sin x ,求 x

?

? ? 2

x f ? ( x ) dx .

四、证明题: 1.设 a ? 0 ,证明

?

1 a

1 1 ? x2

dx ?

?

1 a 1

1 1 ? x2

dx .

2.设函数 f ( x ) 连续,证明

?

? 2 0

f ( sin x ) d x ?

?

? 2 0

f ( cos x ) d x .

五、导数的应用: 1.求函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 的增减区间、极值、凹向区间、拐点。 2.求函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 的增减区间、极值、凹向区间、拐点。 3.设 y ? x e x ,填写下表: ⒈ 增区间 ⒉ 减区间 ⒊ 上凹(∪)区间 ⒋ 下凹(∩)区间 ⒌ 极值点和极值 ⒍ 拐点 ⒎ 水平渐近线 4.设 y ?

ln x ,填写下表: x

⒈ 增区间

⒉ 减区间 ⒊ 上凹(∪)区间 ⒋ 下凹(∩)区间 ⒌ 极值点和极值 ⒍ 拐点 ⒎ 水平渐近线 六、应用题: 1.制造容积为 16? m3 的有盖圆柱形容器,问底半径与高各为多少时可使用料最省。 2.某车间靠墙要盖一间长方形小屋,现有的砖只够砌 20 米长的墙,问这间小屋的长 和宽各是多少时,才能使这间小屋的面积最大(靠墙一边不用砌砖)?

3.求由曲线 y ? 1 ? x 2 与 x 轴围成的平面图形的面积 A,并求该图形内接矩形的最 大面积 S.

4.用面积为 S 的一块铁皮做一个有盖的圆柱形水桶,问桶的底面直径和高各为多少时, 桶的容积最大。

七、定积分在几何上的应用: 1.过抛物线 y ? x 2 上一点 P ( 2 , 4 ) 作切线 P T ,求 P T 与抛物线 y ? ? x 2 ? 4x ? 1 所围平面图形的面积。

2.求由 y ? x 2 及 y ? 2 ? x 2 所围成的平面图形的面积及由该平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积。 3.求曲线 y ?

x 及过曲线上点 ( 1 , 1 ) 的切线和 x 轴所围图形的面积。

八、定积分在物理上的应用: 1.有一矩形闸门,宽 6 米,高 4 米,上边与水面齐平,求闸门所受的水压力。

4米 6米

2. 一闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中,两底的长度分别为 4 m 和 6 m ,高为 6

m ,当闸门上底在水面之下 2 m (如图所示)时,求闸门一侧受到的水压力。

3.一个等腰梯形的水闸上底 4 m,下底 3 m,高 2 m,当水面高出上底 1 m 时,求水闸所受到的水压力。

4.一闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中,两底的长度分别为 4 m 和 6 m ,高为 6

m ,当闸门上底正好位于水面(如图所示)时,求闸门一侧受到的水压力。


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