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山西省忻州市第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)


2015-2016 学年度第一学期期末考试试题 高 一 数 学
注意事项: 1.考生务必用 0.5mm 黑色中性笔答题. 2.请把答案做在答题卡上,交卷时只交答题卡,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1

.若集合 M={x?Z|-1≤x≤1},P={y|y=x ,x?M},则集合 M 与 P 的关系是
2

(

)

A.M=P 必修一测标改编 C

?P B.M≠

?M C.P≠

D.M∈P

【命题立意】本题考查了集合表示及集合的运算, 【讲评价值】1.掌握描述法的结构形式.代表元素的特征,范围的限制; 2.掌握集合的运算的表示形式; 3.注意端点值的取舍。 2.已知二次方程 ax +bx+c=0 的根为 2,4 且 a>0,则 ax +bx+c>0 的解集是( A.{x|2<x<4} C.{x|4<x<2} 必修一测标改编 B 3.已知函数 f(x)的定义域为(?1,0),则 f(2x?1)的定义域 A.(?3,? 1) 必修一测标改编 D 4.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x +5x +7x +8x+1,当 x=4 时,需要做乘法和加法的 次数分别是 ( ) A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5 必修三测标改编 D 【命题立意】本题考查了算法案例中秦九韶算法。 【讲评价值】体会秦九韶算法在是如何简化乘法的运算次数。
6 5 4 2 2 2

)

B.{x|x<2 或 x>4} D.{x|x<4 或 x>2}

( 1 D.(0, ) 2

)

B.(?1,0)

C.(?3,?2)

(x>0) 3x ?log ? 1 x ? 2 (x=0),则f{f[f( )]}= 5.已知f(x)=? 3 2 ? ?x ?1 (x<0) A.?1 B.0 C.1 必修一测标改编 A 【命题立意】本题考查了分段函数的计算问题 D.2

(

)

1

【讲评价值】分段函数也是新课程非常重视的内容,在教学中应该引起我们足够的重视。 6.程序框图如图所示:如果输入 x=5,则输出结果为( A.109 B.325 C.973 )B D.295

7.某学校有高一学生 1200 人,高二学生 1000 人,高三学生 800 人.用 分层抽样的方法从中抽取 150 人,则抽取的高三学生、高二学生、高一 学生的人数分别为( A.60、50、40 C.40、50、60 必修三测标改编 C 【命题立意】本题考查了抽样中的分层抽样问题. 【讲评价值】 分层抽样的意义是什么?分层抽样是考试中出现频率比较高的考点, 在教学中 应该重视。 8.已知 x、y 的取值如下表所示: x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 ^ 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 a 的值为 A.2.8 B.2.6 C.3.6 0+1+3+4 2.2+4.3+4.8+6.7 8.B x = =2, y = =4.5, 4 4 a= y -0.95 x =4.5-0.95×2=2.6. 9.若函数 f(x)=x +x ?2x?2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如 下:f(1)= ?2,f(1.5)=0.625 ; f(1.25)= ?0.984,f(1.375)= ?0.260; f(1.438)=0.165,f(1.4065)= ?0.052. 3 2 那么方程 x +x ?2x?2=0 的一个近似根可以为(精确度为 0.1) ( ) A. 1.2 B. 1.35 C. 1.43 D. 1.5
3 2

) C B.50、60、40 D.60、40、50

D.3.2

必修一课本 90 页例 2 改编 考点:二分法求方程的近似解. 专题:函数的性质及应用. 分析:由根的存在性定理得出 f(x)在(1.4065,1.438)内有零点,再由题意求出符合条 件的方程 f(x)=0 的近似根. 解答: 解:∵f(1.438)=0.165>0, f(1.4065)= ?0.052<0, ∴函数 f(x)在(1.4065,1.438)内存在零点, 又 1.438﹣1.406 5<0.1, 结合选项知 1.43 为方程 f(x)=0 的一个近似根. 故选:C. 点评:本题考查了函数零点的应用问题,也考查了求方程近似根的应用问题,是基础题目.

2

10.有 5 个大小、质地都相同的小球,标号分别为 1,3,5,7,9,从中任取三个小球,其 标号之和能够被 3 整除的概率是 ( ) 1 A. 5 必修三测标改编 B 1 11.已知不等式 x 2 ? log a x ? 0 ,当 x ∈ (0, )时恒成立,则实数 a 的取值范围是( 2 A.[1,+∞) 1 B.[ ,1) 4 1 C.( ,1) 16 1 D.[ ,1)D 16 ) 2 B. 5 3 C. 10 1 D. 2

【命题立意】本题考查了不等式的恒成立问题。 【讲评价值】 不等式的恒成立问题在考试中也是一个经常考试考察的内容, 主要应用的策略 是:小于最小值或者大于最大值来解决。 12. 已知 f(x)=|x|?1, 关于 x 的方程 f (x)?|f(x)|+k=0, 则下列四个结论错误 的是 .. .. (
2

)

A.存在实数 k ,使方程恰有 2 个不同的实根; B.存在实数 k ,使方程恰有 3 个不同的实根; C.存在实数 k ,使方程恰有 5 个不同的实根; D.存在实数 k ,使方程恰有 8 个不同的实根. 必修一测标改编 B 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.把 2016 转化为二进制数为 .必修三课本例题改编 11111100000(2) 14.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数),则 .?3 f (?1) ?
x

15 . 分 别 在 区 间 [1,6], [1,4], 内 各 任 取 一 个 实 数 依 次 为 m , n 则 m > n 的 概 率 是 . 必修三测标改编题 解:如图,则在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数, 依次记为 m 和 n,则(m,n)表示的图形面积为 3×5=15 其中满足 m>n,即在直线 m=n 右侧的点表示的图形面积为:

1 21 ×(2+5)×3= , 2 2

21 7 故 m>n 的概率 P= 2 = =0.7, 15 10 x2 ?1 16.关于函数 f ( x) ? lg ( x ? 0) ,有下列结论: | x| ①其图象关于 y 轴对称;② f ( x ) 的最小值是 lg 2 ; ③当 x ? 0 时, f ( x ) 是增函数;当 x ? 0 时, f ( x ) 是减函数; ④ f ( x) 在区间 (?1,0) 、 (2,??) 上是增函数;
⑤ f ( x ) 无最大值,也无最小值.其中正确的序号是 .①②④

三.解答题:共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答
3

写在答题卡的相应位置上. 17 . (本题满分 12 分)已知全集 U ? R ,集合 A ? x 1 ? x ? 5 , B ? x 2 ? x ? 8 ,

?

?

?

?

C ? ? x ?a ? x ? a ? 3?
(1)求 A ? B , (CU A) ? B ; (2)若 C ? A ? C ,求 a 的取值范围. 17.解: (1) A ? B ? x 1 ? x ? 8

?(CU A) ? B ? ?x | 5 ? x ? 8? (2) ? C ? A ? C ? C ? A ① 当 C ? ? 时,满足 C ? A 3 此时 ? a ? a ? 3 ,得 a ? ? 2 ② 当 C ? ? 时,要使 C ? A

CU A ? ?x ? 1或x ? 5?

?

?

????????5 分

??a ? a ? 3 3 ? 则 ? ?a ? 1 ,解得 ? ? a ? ?1 ,综上所述: a ? ?1 2 ? a?3?5 ?

????10 分

必修一简案改编题 18.(本小题满分 12 分) 将一枚骰子先后抛掷两次,观察向上的点数: (1)求点数之和是 5 的概率; (2)设 a,b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数,求等式 2
a ?b

? 1 成立的概率.

18.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次的基本事件总数为 N ? 6 ? 6 ? 36 个. (Ⅰ) 因为事件 “x+y=5” 包含(1,4)、 (2,3)、 (3,2)、 (4,1)四个基本事件, 所以事件 “x+y=5” 的概率为 P 1 ?

4 1 ? ; 36 9
a ?b

(Ⅱ)因为事件“ 2

? 1 ,即 a=b” 包含 (1,1) 、 (2 , 2) 、 (3 , 3) 、 (4 , 4) 、 (5 , 5) 、 (6 , 6)
a ?b

共 6 个基本事件,所以事件“ 2

? 1 ”的概率为 P2 ?

6 1 ? . 36 6

19.(本小题满分 12 分)2015 年“五一”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区 从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶 员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段:

[60, 65), [65, 70), [70, 75), [75,80), [80,85), [85,90) 后得到如图的频率分布直方图.
(Ⅰ)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (Ⅱ)若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆, 求车速在

[65, 70) 的车辆恰有一辆的概率.

4

19.解: (Ⅰ)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为: 2分

0.01? 5 ? 0.02 ?5 ? 0.04 ?5 ? 0.06 ?( x ?75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 6分

(Ⅱ)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆), 车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) 8分

设车速在 [60, 65) 的车辆设为 a,b, 车速在 [65, 70) 的车辆设为 c,d,e,f, 则所有基本事件有: (a,b) (a,c) (a,d) (a,e) (a,f);(b,c) (b,d) (b,e) (a,f);(c,d) (c,e) (c,f);(d,e) (d,f) (e,f) 共 15 种 其中车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的事件有: 10 分

(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ) 共 8 种
所以,车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的概率为 P ? 20.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的单调函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时, f ? x ? ? (1)求 f(?1)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)若对任意的 t?R, 不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

8 . 15

12 分

x ? 2x . 3

20.解: (1)? 定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数 ,所以 f ? ?1? ? ? f (1) ? ?( ? 2) ? (2)? 定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数? f ? 0 ? ? 0 当 x ? 0 时, ? x ? 0
? f ??x? ?

1 3

5 3

?x ? 2? x 3
? f ? x? ?

又? 函数 f(x)是奇函数? f ? ? x ? ? ? f ? x ?
?x x ? 3 ?2 综上所述 ? f ? x? ? ? 0 ?x ? ? 2? x ?3

x ? 2? x 3

? x ? 0? ? x ? 0? ? x ? 0?

5

(3)? f ?1? ? ?

5 ? f ? 0 ? ? 0 且 f(x)在 R 上单调,∴f(x)在 R 上单调递减 3
2 2

由 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 得 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ∵f(x)是奇函数 又? f ( x) 是减函数

? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 )
? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2

即 3t 2 ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立

?? ? 4 ? 12k ? 0 得 k ? ? 即为所求.
21.(本小题满分 12 分) 若 f ( x) ? x2 ? x ? b ,且 f (log2 a) ? b, log2 f (a) ? 2(a ? 0且a ? 1) , (1)求 f (log2 x) 的最小值及相应 x 的值; (2)若 f (log2 x) ? f (1)且 log2 f ( x) ? f (1) ,求 x 的取值范围. 21.解:(1)∵f (x)=x -x+b,∴f (log2a)= (log2a) -log2a+b=b, ∴log2a=1∴a=2. 2 2 又∵log2f(a)=2,f(a)=4.∴a -a+b=4,∴b=2.∴f (x)=x -x+2 1 2 7 2 ∴f (log2x)= (log2x) -log2x+2= (log2x- ) + , 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f (log2x)有最小值 . 2 4
?(log2x) -log2x +2>2 (2)由题意知? 2 ? log2(x -x+2)<2
2 2 2

1 3

??2 分 ??4 分

??6 分 ??8 分 ??10 分 ??12 分

∴?

?log2x<0或log2x>1 ? 0<x -x+2<4
2

?0<x<1或x>2 ∴? ?-1<x<2

∴ 0<x<1
?2 m 2 ? m ? 3

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) = x

(m?Z)为偶函数,且 f(3)<f(5).

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 g(x)= loga[f(x)?ax](a>0 且 a?1)在区间[2,3]上为增函数,求实数 a 的取值范围. 2 22.解:(1)? f(x)为偶函数,? ?2m +m+3 为偶数, 又 f(3)<f(5), ? 3 ? ?2m +m+3>0,
2 2

?2 m 2 ? m ? 3

<5

?2 m 2 ? m ? 3

, 即有: ( )

3 5

? 2m 2 ? m ?3

<1,

? ?1<m <

3 , 又 m?Z, ?m=0 或 m=1. 2

当 m=0 时,?2m +m+3=3 为奇数(舍去) , 2 2 当 m=1 时,?2m +m+3=2 为偶数,符合题意. ?m=1,f(x)= x 2 (2)由(1)知: g(x)= loga[f(x)?ax]= loga (x ?ax) (a>0 且 a?1)在区间[2,3]上为增函数. 2 令 u(x)= x ?ax , y = logau ;
6

? 当 a>1 时,y = logau 为增函数,只需 u(x)= x ?ax 在区间[2,3]上为增函数.
2

?a ? ?2 即: ? 2 ? 1<a<2 ? ?u (2) ? 4 ? 2a ? 0
?当 0<a<1 时, y = logau 为减函数,只需 u(x)= x ?ax 在区间[2,3]上为减函数.
2

即: ? 2

?a ? ?3 ? ?u (3) ? 9 ? 3a ? 0

? a ?? ,综上可知:a 的取值范围为: (1, 2).

附加题(每小题 5 分,共 15 分) 1.设 f ( x) ? lg ?

? 2 ? ? a ? 是奇函数,则使不等式 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 ? 1? x ?

(?1, 0) .
【解析】由题意知

? 2 ? ? 2 ? ? 2 f ( x)? f (? x) ? l? g ?a g ?a ,? ? ? l? ? ? 0? 1? x ? 1? x ? ?1 ? x ? ?

?? 2 ?a? ? 1? x ??

? ?a ? ,? 1 ?

(2 ? a)2 ? a2 x2 ? 1 ? x2 恒成立,所以 a ? ?1 ,
所以 f ( x) ? lg(

2 2 ? 1) ? 0,? 0 ? ? 1 ? 1,??1 ? x ? 0 ,所以 x 的取值范围为(-1,0). 1? x 1? x

2.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x) ? 2. 【解析】 试题分析:函数 f ( x) ?

a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点个数为



a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点即方程 a 2 ? x 2 ? x ? 2 ? 0 的根,即

a 2 ? x 2 ? ? x ? 2 的根,设 g ? x ? ? a 2 ? x 2 , h ? x ? ? ? x ? 2 ,作出两函数图像,由图
像观察可知有 4 个交点,即函数 f ( x) ?

a 2 ? x 2 ? x ? 2 有 4 个零点

3.对于任意 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [1.1] ? 1,[?2.1] ? ?3 . 定义 R 上的函数

f ( x) ? [2 x] ? [4 x] ? [8 x] ,若 A ? ? y y ? f ( x ),0 ? x ? 1? ,则 A 中所有元的和为
58

1 1 2 2 3 时,y ? 0 ? 0 ? 0 ? 0; 当 ? x ? 时,y ? 0 ? 0 ? 1 ? 1; 当 ? x ? 8 8 8 8 8 3 4 4 5 时, y ? 0 ? 1 ? 2 ? 3; 当 ? x ? , y ? 0 ? 1 ? 3 ? 4; 当 ? x ? 时,y ? 1 ? 2 ? 4 ? 7; 当 8 8 8 8
3. 【解析】 当0 ? x ?

7

7 5 6 6 7 ? x ?1 时, ? x ? 时 , y ? 1 ? 2 ? 5 ? 8当 ? x ? 时 , y ? 1 ? 3 ? 6 ? 1 0当 ; ; 8 8 8 8 8
当 x ? 1 时, y ? 2 ? 4 ? 8 ? 12; 所以 y ? 1 ? 3 ? 7 ? 1 1;

y ? 1 ? 3 ? 4 ? 7 ? 8 ? 10 ? 11 ? 14 ? 58.

8


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