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河南省南阳市第一中学2016届高三数学第三次模拟考试试题理(新)


2016 年春期南阳市一中高三第三次模拟考试 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2 1.如果集合 A ? x mx ? 4 x ? 2 ? 0? 中只有一个元素,则实数 m 的值为( )

?

A. 0 2.若复数

/>B. 1 C. 2

D. 0 或 2

m 1? i 是实数,则实数 m ? ( ) ? 1? i 2 1 3 A. B.1 C. 2 2

D.2

3.利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 000 ,001,002,?,499 的产品进行抽样检验,抽取一个容 量为 10 的样本,若选定从第 12 行第 4 列的数开始向右读数, (下面摘取了随机数表中的第 11 行至第 15 行) ,根据下图,读出的第 3 个数是( )

A.584

B.114 C.311D.146 双曲线上一

4.已知双曲线 x2 ? y 2 ? 1 ,点 F1 , F2 为其两个焦点,点 P 为 点.若 PF1 ? PF2 ,则 | PF1 | ? | PF2 | 的值为( )

A.2 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 5 5.执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断框 件是( ) 137 3 11 25 ? A. S ? ? B. S ? ? C. S ? ? D. S ? 120 4 12 24 6.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB, AED,△EBF,△FCD 分别沿 DE,EF,FD 折起,使 A,B,C 三 A′,若四面体 A′EFD 的四个顶点在同一个球面上, 则该球的
A D A D E

内可填入的条

BC 的 中 点 △ 点重合于点 半径为

A. 2

5 11 B. C. 2 2

6 D. 2

E

7. 等比数列 ?an ? 各项为正, a3 , a5 ,-a4 列. Sn 为 ?an ?的前 n 项和,则

B

F

C

F

成 等 差 数

S6 = S3

A.2

B.

9 7 5 C. D. 8 8 4
)
1

8. (3x ? y)( x ? 2 y)5 的展开式中, x 4 y 2 的系数为(

A.110

B.120

C.130

D.150

9.已知椭 圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF,

若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( A. B. C. D.



10.某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为 A.12B.18C.24D.30 11.已知定义的 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 是增函数,不等式 f (ax ? 2) ? f ( x ? 1) 对任意 x ? [ ,1] 恒 的取值范围是( ) A. [?3, ?1] B. [?2, 0] C. [?5, ?1] D. [?2,1] 12.(高考题改编)N 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的一个动点,平面 M ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? 1 且 ?OMN ? 300 (O 为坐标原点),则动点 M 运动的区 域面积为( A.

(

)

且 在 [1,?? )上 成立,则实数 a

1 2

内动点 )

8? ?2 3 3

B.

4? ? 3 3

C.

2? ? 3 3

D.

4? ? 3 3


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若向量 a,b 满足:a ? ( ? 3,1) ,(a+2b)⊥a ,(a+b)⊥b,则|b| ? 14.已知 ? 2 sin(x ? ? )dx ?
0

?

7 ,则 sin2? ? 4
n

. .

15. (高考题改编)数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? ?1? an ? 2n ? 1 ,则 ?an ? 的 80 项和为

n?4 16. (周训练改编题)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ? p ,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 3 ,设

?an an ? bn Cn ? ? , 在数列 ?cn ? 中, cn ? c4 ? n ? N ? ? ,则实数 p 的取值范围是 ?bn an ? bn
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

?x? 已知函数 f ( x) ? 2 sin(2

?
6

)(其中 0 ? ? ? 1 ) ,若

点 (?

?
6

, 0)

是函数 f ( x ) 图象的一个对称中心. (1)试求 ? 的值,并求出函数的单调增区间。 (2)先列表,再作出函数 f ( x ) 在区间 x ?[?? , ? ] 上的

图象.

18. (本小题满分 12 分) 某公司招收大学毕业生,经过综合测试录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎 叶图所示(单位:分) .公司规定:成绩在 180 分以上者到甲部门工作,在 180 分以下者到乙部门工作, 另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任助理 工作. (Ⅰ)现用分层抽样的方法从甲、乙两部 门中选取 8 人.若从这 8 人中再选 3 人,求至少有一人来 自甲部门的概
2

率; (Ⅱ)若从甲部门中随机选取 3 人,用 X 表示所选人员中能担任助理工作的人数,求 X 的分布列及数 学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD中,SD⊥底面 ABCD,AB∥DC, AB ? AD ? 1 , DC ? SD ? 2 ,E 为棱 SB 上的一点,平面 (Ⅰ)证明: SE ? 2EB ; (Ⅱ)求二面角 A ? DE ? C 的大小.

AD⊥DC, EDC⊥平面 SBC.

20. (本小题满分 12 分)
x2 右焦点 F 的直线 l ? y 2 ? 1 的两个顶点,过其 2 与椭圆交于 C,D 两点,与 y 轴交于 P 点(异于 A,B 两点) ,直线 AC 与直线 BD 交于 Q 点.

已知 A( 0,1) , B (0,?1) 是椭圆

(Ⅰ)当 | CD |?

3 2 时,求直线 l 的方程; 2

(Ⅱ)求证: OP ? OQ 为定值.

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:当 x ? [0, 1] 时, (Ⅱ)若不等式 ax ? x 2 ?
2 x ? sinx ? x ; 2

x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 对 x ? [0, 1] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延长交 ⊙O 于点 E,已知 AC ? BD ? 3 . (Ⅰ)求 AB ? AD 的值; (Ⅱ)求线段 AE 的长.

? 3 x?? t, ? ? 2 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?5 ? 1 t ? 2 ?

(t 为参数) .以原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它表示什么曲线; (Ⅱ)若 P 是直线 l 上的一点,Q 是曲线 C 上的一点,当 | PQ | 取得最小值时,求 P 的直角坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 ,函数 f ( x ) ?| x ? a | ? | x ? b | 的最小值为 2.
3

(Ⅰ)求 a ? b 的值; (Ⅱ)证明: a 2 ? a ? 2 与 b2 ? b ? 2 不可能同时成立.

答案:1-5 DB C C B 13.
2

2016 年春期南阳市一中第三次模拟考试 理数答案 6-10 DCABC 11-12 BA
9 16

14.

15.

3240

16.

(4,7)

? k? , k ? Z , 3 6 1 2? ? 1 ∴ ? ? ?3k ? ,∵ 0 ? ? ? 1 ,∴ k ? 0 , ? ? .增区间为 (2k? ? , 2 k? ? ) k ? Z 2 3 3 2
17.解: (1)∵点 ( ?

?

6

, 0) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心,∴ ?

??

?

?

(2)由(1)知, f ( x) ? 2sin( x ?

?

x?
X

?
6

?

??

5? 6

?

?

6

) , x ? [?? , ? ] ,列表如下:
0

2 2? ? 3

?

?
6

? 2 ? 3

?
5? 6
0

?

7? 6

y -1 -2 0 2 则函数 f ( x ) 在区间 x ? [?? , ? ] 上的如图所示.所以
3 ? ? 区间 [? , ] 上的最大值为 1 ? ,最小值为 0 . 2 4 4 18.解: (Ⅰ)根据茎叶图可知,甲、乙两部门各有

-1
f ( x) 在

10 人, 用 = 4

2 分层抽样的方法, 应从甲、 乙两部门中各选取 10? 5 人.记“至少有一人来自甲部门”为事件 A,则 P(A) C 13 = . C 14 13 故至少有一人来自甲部门的概率为 .?5 分 14 (Ⅱ)由题 意可知,X 的可能取值为 0,1,2,3. C6C4 1 C6C4 3 C6C4 1 C6C4 1 ,P(X=1)= 3 = ,P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = .∴X 的分布列为 3 = C10 30 C10 10 C10 2 C10 6
0 3 1 2 2 1 3 0 3 4 3 8

=1-

P(X=0)=

X P

0 1 30

1 3 10

2 1 2

3 1 6

1 3 1 1 9 ∴E(X)=0? +1? +2? +3? = .??????????12 分 30 10 2 6 5 19.解: (Ⅰ)以 D 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2, → → → 0),S(0,0,2),∴SC=(0,2,-2),BC=(-1,1,0),DC=(0,2,0).设平面 SBC 的法向 量为 m=(a,b,c),

4

→ ? ?m?SC=0, → → 由 m⊥SC,m⊥BC,得? ?m?→ BC=0, ?
?2b-2c=0, ? ∴? ?-a+b=0. ?

取 m=(1,1,1).

λ λ 2 → → 又设SE=λ EB (λ >0) , 则 E( , , ), 1+λ 1+λ 1+λ λ λ 2 → ∴DE=( , , ). 1+λ 1+λ 1+λ 设平面 EDC 的法向量 n=(x,y,z), → ? ?n?DE=0, → → 由 n⊥DE,n⊥DC,得? → ? ?n?DC=0, λ x λ y 2z ? ? + + =0, ∴?1+λ 1+λ 1+λ ? ?2y=0.

n=(2,0,-λ ).

由平面 EDC⊥平面 SBC,得 m⊥n,∴m?n=0,∴2-λ =0,即 λ =2.SE=2EB.6 分 2 2 2 2 2 2 → 2 4 2 → (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 E( , , ),∴DE=( , , ),EC=(- , ,- ), 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 → → → 2 ∴EC?DE=0,∴EC⊥DE.取 DE 的中点 F,则 F( , , ),∴FA=( ,- ,- ), 3 3 3 3 3 3 → → → → ∴FA?DE=0,∴FA⊥DE.∴向量FA与EC的夹角等于二面角 A-DE-C 的平面角. → → FA?EC 1 → → 而 cos<FA,EC>= =- ,故二面角 A-DE-C 的大小为 120°.?12 分 → → 2 |FA||EC| 20.解: (Ⅰ)由题设条件可知,直线 l 的斜率一定存在,F(1,0), 设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0 且 k≠±1) .

y=k(x-1), ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?2

消去 y 并整理,得(1+2k )x -4k x+2k -2= 0.

2

2

2

2

4k 2k - 2 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k ∴|CD|= 1+k ? (x1+x2) -4x1x2= 1+k ?
2 2 2 2

2

2

4k 2k -2 2 2(1+k ) 2 ( . 2) -4? 2= 2 1+2k 1+2k 1+2k

2

2

2

2 2(1+k ) 3 2 2 2 2 由已知,得 = ,解得 k=± .故直线 l 的方程为 y= (x-1)或 y=- (x-1),即 x 2 1+2k 2 2 2 2 - 2y-1=0 或 x+ 2y-1=0.?????????5 分 (Ⅱ)由 C(x1,y1),D(x2,y2),A(0,1),B(0,-1),得 直线 AC 的方程为 y=

y1-1 y2+1 x+1,直线 BD 的方程为 y= x-1, x1 x2 y-1 x2(y1-1) x1y2+x2y1+x1-x2 = ,∴yQ= . y+1 x1(y2+1) x1y2-x2y1+x1+x2
2 2

联立两条直线方程并消去 x,得

4k 2k -2 由(Ⅰ) ,知 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k
5

∴x1y2+x2y1+x1-x2=kx1(x2-1)+kx2(x1-1)+x1-x2 2k -2 4k 4k =2kx1x2-k(x1+x2)+x1-x2=2k? 2-k? 2+x1-x2=- 2+x1-x2, 1+2k 1+2k 1+2k
2 2

x1y2-x2y1+x1+x2=kx1(x2-1)-kx2(x1-1)+x1+x2 2 4k 4k 1 1 =k(x2-x1)+x1+x2=k(x2-x1)+ 2=-k(- 2+x1-x2),∴yQ=- ,∴Q(xQ,- ).又 P(0,- 1+2k 1+2k k k k),∴OP?OQ=(0,-k)?(xQ,- )=1.故OP?OQ为定值 .?12 分 k
21.解: (Ⅰ)记 F(x)=sinx- 2 2 x,则 F′(x)=cosx- . 2 2 → → 1 → →

π π π π 当 x∈(0, )时,F′(x)>0,F(x)在[0, ]上是增函数;当 x∈( ,1)时,F′(x)<0,F(x)在[ , 4 4 4 4 1]上是减函数.∵F(0)=0,F(1)>0,∴当 x∈[0,1]时,F(x)≥0,即 sinx≥ 记 H(x)=sinx-x,则当 x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0, ∴H(x)在[0,1]上是减函数,∴H(x)≤H(0)=0,即 sinx≤x.综上,
2

2 x. 2

2 x≤sinx≤x,x∈[0,1].?4 分 2
2

(Ⅱ)∵当 x∈[0,1]时,ax+x + +2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x + -4(x+2)sin ≤(a+2)x+x 2 2 2

x3

x3

2

x

2

x 2 2 + -4(x+2)( x) =(a+2)x. 2 4
∴当 a≤-2 时,不等式 ax+x + +2(x+2)cosx≤4 对 x∈[0,1]恒成立. 2 下面证明:当 a>-2 时,不等式 ax+x + +2(x+2)cosx≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2
2 2

3

x3

x3

x3 x3 x ax+x2+ +2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+ -4(x+2)sin2
2 2 2

x x 2 x 3 2 3 2 2 2 ≥(a+2)x+x + -4(x+2)( ) =(a+2)x-x - ≥(a+2)x- x =- x[x- (a+2)]. 2 2 2 2 2 3
∴存在 x0∈(0,1)(例如 x0 取
2

3

3

a+2 1
3

和 中的较小者)满足 ax0+x + +2(x0+2)cosx0-4>0, 即当 a>- 2 2

2 0

x3 0

2 时,不等式 ax+x + +2(x+2)cosx-4≤0 对 x∈[0,1]不恒成立. 2 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2].???????12 分 22.解: (Ⅰ)∵AC 切⊙O′于 A,∴∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB,∴△ACB∽△DAB,∴ = ,即 AC?BD=AB?AD. ∵AC=BD=3,∴AB?AD=9.???5 分 (Ⅱ)∵A D 切⊙O 于 A,∴∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,∴△EAD∽△ABD, ∴

x3

AC AB AD BD

AE AD = ,即 AE?BD=AB?AD.由(Ⅰ)可知,AC?BD=AB?AD,∴AE=AC=3. AB BD
2 2 2

23.解: (Ⅰ)由 ρ =2 3cosθ ,得 ρ =2 3ρ cosθ ,从而有 x +y =2 3x, 2 2 ∴(x- 3) +y =3.∴曲线 C 是圆心为( 3,0),半径为 3的圆.??5 分 (Ⅱ)由题设条件知,|PQ|+|QC|≥|PC|,当且仅当 P,Q,C 三点共线时,等号成立,即 |PQ|≥|PC|- 3, ∴|PQ|min=|PC|min- 3.设 P(- 3 1 t,-5+ t),又 C( 3,0), 2 2
6

则|PC|=

(-

3 1 t- 3)2+(-5+ t)2= t2-2t+28= (t-1)2+27.当 t=1 时,|PC|取得最小值, 2 2 3 9 ,- ). 2 2

从而|PQ|也取得最小值,此时,点 P 的直角坐标为(-

24.解: (Ⅰ)∵a>0,b>0, ∴f(x)=|x-a|+|x+b|≥|(x-a)-(x+b)|=|-a-b|=|a+b|=a+b, ∴f(x)min=a+b.由题设条件知 f(x)min=2,∴a+b=2.??5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及基本不等式,得 2 ab≤a+b=2,∴ab≤1. 2 2 2 假设 a +a>2 与 b +b>2 同时成立,则由 a +a>2 及 a>0,得 a>1.同理 b>1,∴ab>1,这与 ab≤1 2 2 矛盾.故 a +a>2 与 b +b>2 不可能同时成立.10 分

7


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