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【优秀教案】高中数学第二册上



教学目的:

题:2.4 双曲线的简单几何性质

1.使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义
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3.并使学生能利用上述知识进行相关

的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简 单的实际问题
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教学重点:双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点:渐近线几何意义的证明 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教
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具:多媒体、实物投影仪

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教学过程: 一、复习引入: 名 称 双 曲 线

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1F2 )的动点的轨迹叫 定 义 双曲线。即 MF1 ? MF 2 ? 2a 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在

标 准 方 程

x2 y2 y2 x2 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b a b
y

O

x

注:是根据项的正负来判断焦点所在的位置 常 数

c 2 ? a 2 ? b 2 (符合勾股定理的结构) c ? a ? 0

a, b, c 的 c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b
关 系

二、讲解新课:
1.范围、对称性 由标准方程

x2 y2 ? ? 1 可得 x 2 ? a 2 ,当 x ? a 时,y 才有实数值;对于 y 的任 a2 b2
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何值,x 都有实数值 这说明从横的方向来看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,从纵的 方向来看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展, 不像椭圆那样是封闭曲线
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双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心 2.顶点 顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0?

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特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b?
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实轴: A1 A2 长为 2a, a 叫做半实轴长 讲述:结合图形,讲解顶点和 轴的概念,在双曲线方程

虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长

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y Q B2 A1 O B1

N M A2 x

x2 y2 ? ? 1 中 , 令 y=0 得 a2 b2

x ? ? a ,故它与 x 轴有两个交点 A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,且 x 轴为双曲线

x2 y2 ? ?1的 a2 b2

对称轴,所以 A1 (a,0), A2 ?? a,0? 与其对称轴的交点,称为双曲线的顶点(一般而言,曲 线的顶点均指与其对称轴的交点),而对称轴上位于两顶点间的线段 A1 A2 叫做双曲线

x2 y2 ? ? 1 的实轴长,它的长是 2a. a2 b2
在方程

x2 y2 ? 2 ? 1 中令 x=0 得 y 2 ? ?b 2 ,这个方程没有实数根,说明双曲线和 2 a b

Y 轴没有交点。但 Y 轴上的两个特殊点 B1 (0, b), B2 ?0,?b? ,这两个点在双曲线中也有非 常重要的作用
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把线段 B1 B2 叫做双曲线的虚轴,它的长是 2b 要特别注意不要把虚轴
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与椭圆的短轴混淆

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双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 3.渐近线 过双曲线

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x2 y2 ? ? 1 的两顶点 A1 , A2 , a2 b2

作 Y 轴的平行线 x ? ? a ,经过 B1 , B2 作 X 轴的平行线 y ? ?b ,四条直线围 成一个矩形
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矩形的两条对角线所在

直线方程是 y ? ?

b x y x( ? ? 0) , a a b
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这两条直线就是双曲线的渐近线 分析:要证明直线 y ? ?

b x y x( ? ? 0) a a b

是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线,即要证明 a2 b2

随着 X 的增大,直线和曲线越来越靠拢

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也即要证曲线上的点到直线的距离|MQ| 越来越短,因此把问题转化为计算|MQ| 但因|MQ|不好直接求得,因此又把问题 转化为求|MN|
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最后强调,对圆锥曲线
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而言,渐近线是双曲线具有的性质

| MQ |?| MN |?

b b x? x2 ? a2 a a b 2 2 = (x ? x ? a ) a

?

ab x ? x2 ? a2
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( | MQ | ?x ? ?? 0 ) ?? 4.等轴双曲线

a=b 即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线
2 2 2

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结合图形说明: a=b 时,双曲线方程变成 x ? y ? a ( 或 b ) ,它的实轴和都等于
2

2a(2b),这时直线围成正方形,渐近线方程为 y ? ? x 的实轴和虚轴所成的角
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它们互相垂直且平分双曲线

5.共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b kb x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲线方程 a ka
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就一定是:

x2 y2 x2 y2 ? ?? 或写成 ? ? ? 1 ( k ? 0 ) a2 b2 (ka) 2 (kb) 2

6.双曲线的草图 利用双曲线的渐近线,可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定双曲 线的顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两
F1 A 1
O
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y

A2

F2

x

点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部 分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 焦点在 y 轴的情况同学们自己研究 7.离心率 概念:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 范围: e ? 1 双曲线形状与 e 的关系:
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2c c ? ,叫做双曲线的离心率 2a a

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b c2 ? a2 c2 k? ? ? ?1 ? e2 ?1 , 2 a a a
因此 e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变 得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约
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利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系,能让学生对此 变化规律先形成直观理解;然后再用代数方法边板书边推导,这样就可化难为易,使 学生对此规律有更深刻清晰的理解 8.离心率相同的双曲线 (1)计算双曲线
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这样做将有助于实在本节的这个难点

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x2 y2 ? ? 1 的离心率 e0 ; 4 9
如果存在很多的话, 它们

x2 y2 ? ? 1 吗?举例说明 (2)离心离为 e0 的双曲线一定是 4 9
能否用一个特有的形式表示呢? (3)离心率为

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13 的双曲线有多少条? 2

c a2 ? b2 b kb 分析:e ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 的关系式,并从中发现只要实现 a a a ka
半轴和虚半轴各与 a=2,b=3 有相同的比 k:1(k>0)的双曲线,其离心率 e 都是

13 2

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9.共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原 双曲线的共轭双曲线

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x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 ? ?1 如 16 9 9 16
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注意的区别:三量 a,b,c 中 a,b 不同(互换)c 相同 通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 1) 2) 3) 性质:共用一对渐近线
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此即为共轭之意

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双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
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确定双曲线的共轭双曲线的方法:将 1 变为-1

共 用 同 一 对 渐 近 线 y ? ?kx 的 双 曲 线 的 方 程 具 有 什 么 样 的 特 征 : 可 设 为

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上 1 k2

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三、讲解范例:
例 1. 求双曲线 9 y ? 16x ? 144 的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标,离心率.
2 2

y2 x2 ? 2 ?1 2 3 解: 把方程化为标准方程得, 4

可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=3 半焦距: 焦点坐标: (0,-5),(0,5) 离心率:

c ? 4 ?3 ? 5

e ?

c 5 ? a 2 24

例二.求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率 (1) x ? 8 y ? 32
2 2

(2) x ? y ? ?4
2 2

(3)

x2 y2 ? ? ?1 49 25

例 2.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点 F(5,0),且离心率 e 可以使方程 x ? 2(e ? 1) x ?
2

1 ? 0 有相等的实根,求满足条件的双曲线方程 4
两焦点分别 F1 , F2 , 且

例 3.已知双曲线虚轴的一个端点为 M,

?F1 MF2 ? 120? ,
A. 3 B.

则双曲线的离心率 为(B )

6 6 3 C. D. 2 3 3

(参考例题) 例 1 求双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的顶点坐标、焦点坐标,实半轴长、 虚半轴长和渐近线方程, 4

并作出草图

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分析:只要紧扣有关概念和方法,就易解答 解:把方程化为标准方程

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x2 y2 ? ?1 12 2 2

由此可知,实半轴长 a=1,虚半轴长 b=2. 顶点坐标是(-1,0) , (1,0)

c ? a 2 ? b 2 ? 12 ? 22 ? 5
渐近线方程为

焦点的坐标是(- 5 ,0),( 5 ,0).
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x y ? ? 0 ,即 y ? ?2 x 1 2

例 2 求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A(3 3,?3) 的双曲线的方程 16 9

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分析:因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线,故可先设出双曲线系,再把已知点代 入,求得 K 的值即可
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解:设与

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A(3 3,?3) 的 4 2 32 x2 y2 ? ?? 4 2 32

双曲线的方程为

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11 (3 3 ) 2 (?3) 2 ? 2 ? ? ,从而有 ? ? 2 16 4 3

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x 2 16 y 2 ? ?1 所求双曲线的方程为 11 99

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例 3 求双曲线 9 y 2 ? 16x 2 ? 144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线 方程. 解:把方程化为标准方程

y2 x2 ? ?1 4 2 32

y

由此可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3.

c ? a 2 ? b 2 ? 42 ? 32 ? 5
焦点的坐标是(0,-5),(0,5). 离心率 e ?

O

x

c 5 ? a 4 3 4 y ,即 y ? ? x 4 3
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渐近线方程为 x ? ? 例 4

双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它

的最小半径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径为 25 m,高 55m.选择适当的坐标系, 求出此双曲线的方程(精确到 1m).

y
C' A' O 13 12 C A

x
B

B'

25

分析:本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆:上口、下 口、最小的一个截口。显然,最小截口圆的圆心是双曲线的中心,直径是双曲线的实 轴,所以以最小截口直径所在直线为 X 轴,圆心为原点建立坐标系,则双曲线的方程 具有最简单的形式。 解: 如图所示, 建立直角坐标系 xOy, 使小圆的直径 AA′在 x 轴上, 圆心与原点重合. 这 时,上、下口的直径 CC′、BB′平行于 x 轴,且|CC′|=13×2(m),|BB′|=25×2(m). 设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2

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令点 C 的坐标为(13,y),则点 B 的坐标为(25,y-55).因为点 B、C 在双曲线上,所 以

252 ( y ? 55) 2 ? ?1 122 b2
解方程组,得





132 y 2 ? ?1 122 b 2



y?

5b (负值舍去) 12

5b ( ? 55) 2 252 代入方程①,得 2 ? 12 2 ?1 12 b
化简得 19b +275b-18150=0 解方程③(使用计算器计算),得 b≈25(m).
2

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所以所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 144 625

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点评: 这是一个有实际意义的题目.解这类题目时,首先要解决以下两个问题: (1) 选择适当的坐标系;(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 四、课堂练习: 1.下列方程中,以 x±2y=0 为渐近线的双曲线方程是

x2 y2 ( A) ? ?1 16 4
案:A 2

x2 y2 ( B) ? ?1 4 16

x2 (C ) ? y2 ? 1 2

y2 ( D) x ? ?1 答 2
2

.过点(3,0)的直线 l 与双曲线 4x -9y =36 只有一个公共点,则直线 l 共有 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

2

2

(A)1 条 答案:C

x2 y2 ? 3 .若方程 =1 表示双曲线, 其中 a 为负常数, 则 k 的取值范围是( 3k ? a 4k ? a
(A)(

)

a a a a ,- ) (B)( ,- ) 3 4 4 3

(C)(-

a a , ) 3 4

(D)(-∞,

a a )∪(- ,+∞) 4 3

答案:B 4 (A) .中心在原点,一个焦点为(3,0),一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程是

13x 2 13 y 2 ? ?1 81 36

(B)

13x 2 13y 2 ? ?1 36 81

5x 2 5y 2 ? ?1 (C) 36 54
答案:A 5 .与双曲线

5x 2 5y 2 ? ?1 (D) 54 36

x2 y2 ? ? ? 有共同的渐近线, 且一顶点为(0, 9)的双曲线的方程是 ( ) 9 16

(A)

x2 y2 ? ?1 144 81

(B) ?

x2 y2 ? ?1 144 81

x2 y2 ? ?1 (C) 16 9
答案:D 6

x2 y2 (D) ? ? ?1 (27 / 4) 81

.一双曲线焦点的坐标、离心率分别为( ? 5,0)、

3 ,则它的共轭双曲线的焦点坐 2

标、离心率分别是 ( ) (A)(0, ? 5), 答案:A 7 .双曲线 2kx -ky =1 的一焦点是 F(0,4),则 k 等于 (A)-3/32 答案:A 五、小结 :双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐 近线方程、 等轴双曲线; 双曲线草图的画法; 双曲线 但反过来此渐近线对应的双曲线则是 (B)3/32 (C)-3/16
2 2

3 5

(B)(0, ?5) ,

3 3 3 (C)(0, ? 5 ) , (D)(0, ? 5 ) , 2 2 5

(

) (D)3/16
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b x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线是 y ? ? x , 2 a a b

x2 y2 x2 y2 ? ?? 或写成 ? ? ? 1 ( k ? 0 ) a2 b2 (ka) 2 (kb) 2
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六、课后作业:

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七、板书设计(略) 八、课后记:
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《双曲线的简单几何性质》教学反思
高二数学组:孙永明

圆锥曲线是高考的热点和高考试题的压轴题,主要是对 圆锥曲线几何性质的考查,因此,课堂教学时应重视对圆锥曲 线几何性质的归纳和运用. 有效教学要在学生已有认知基础上,寻找学生最近发展区 促进学生更深层面上思维和理解。本节课学习活动是以学生对 椭圆几何性质的认知基础上进行的,利用方程讨论曲线的性质 的这种方法,学生在学习讨论椭圆的性质时已经尝试探讨过, 所以这节课主要是对照椭圆几何性质,让学生通过类比的思想 方法得出双曲线的几何性质.充分调动学生学习的积极性,使 学生更清楚地区分两者曲线,找出“共性”和“个性”. 有效教学要使学生建立良好的知识网络体系。良好知识结 构应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法、知 识间的内在联系、结论的推导证明线索融合成一个有机整体, 也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆,才能够在需要时 被自如调用。本课突出展现了双曲线几何性质的获得过程. 当然在课堂教学的实际活动中,有一些不尽人意,一是与 椭圆的类比不到位,二是知识网络的形成欠缺,三是由于应用

多媒体,客课容量是增加了,但个别知识容易造成一带而过, 引不起足够重视,四是时间分配上存在误差,练习时间减少。 在教学活动中,学生的思维活动主要是在问题的驱动下进 行的。能有效促进学生数学思维发生的问题应具备如下特点: (1)从学生知识可接受性的实际出发,确定合理的难度和适 当的思维强度,即,问题使学生处于似会非会、似能解决又不 能解决的感觉。 (2)问题要有利于引起学生的认知冲突和学习 心向,激发学生学习兴趣,促进学生积极参与。 (3)问题的序 列设置要使数学内容的呈现合理、自然,有情理之中的感觉, 要有利于学生领悟数学的本质,提炼数学思想方法,灵活运用 所学。 (4)从数学方法论的角度出发,问题要具有启发性,如: 你认为该问题可能涉及哪些知识?解决该问题需要什么条 件?我们还疏漏了什么没有?…….促进学生自己提出问题、 发现问题,对数学有所感悟,实现学生思维深度参与的自动发 生机制。 (5)问题要有利于引领、促进学生有效反思自己的学 习行为,及时整理、内省自己的思维过程,提升对知识、方法 的认识。如:问题是怎样得到解决的?使用了哪些思维方法? 该问题的解决方法有推广价值吗?可推广到哪些方 面?……..

这在实际教学活动确实有所体现,但是还有一定的欠缺, 这需要在教学实践中不断的去摸索经验,此外在教学设计中还 应更加细致,预先设置的更细致些,会有更好的效果。

高二数学组:孙永明 2014.12.1

《双曲线的简单几何性质》说课稿
高二数学组:孙永明

本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后,反过来利用双 曲线的方程研究双曲线的几何性质 它是教学大纲要求学生必须
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掌握的内容,也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题,是
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数学中一个很大的课题,它包含了圆锥曲线知识的众多方面,这 里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一 个重要部分
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坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一
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章,是学生应重点掌握的基本数学方法

运动变化和对立统一的

思想观点在第 8 章知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好 这部分教材进行教学
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利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的 关键;渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学 习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键; 要突破第二定义得出过程这个难点
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本节内容类似于 “椭圆的简单的几何性质” , 教学中也可以与 其类比讲解,主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说,
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渐近线是双曲线特有的性质,我们常利用它作出双曲线的草图, 为说明这一点,教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双
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曲线的渐近线后, 要注意说明: 反过来以 ? 线方程则是
x2 y2 ? ?? a2 b2

x a

y ? 1 为渐近线的双曲 b

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对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线 的张口大小,而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同
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椭圆一样,双曲线有两种定义,教材上以例 3 的教学来引出它, 我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关 系,突出考虑学生认知心理的变化规律
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本节分三个课时:第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、 顶点、渐近线等几何性质,并补充一道变式例题;第二课时主要 内容为离心率、教材中的例 1、例 2 及一道变式例题;第三课时 主要讲解教材中的例 3、双曲线另一个定义、准线概念
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《双曲线的简单几何性质》教案

高二数学组 孙永明


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