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题型-数列求和之裂相消法


数列求和之裂项相消法 裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消 法求和.常用裂项形式有: 1 1 ② ?1? 1 ; ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ?

; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k ① 1、求数列 1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和. 2、在数列{an}中, an ? 的和. 1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1 3、求和: 1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7 ? 1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1) ; 4、在数列 {an } 中, a n ? 1 n ? n ?1 ,且 Sn=9,则 n=_____ ; 5、 (2014-福建模拟)等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan 1 5、 (2014-湛江一模) 已知正数数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , 前 n 项和为 Sn , 对任意 n ? N ,lg Sn 、 * lg n 、 lg 1 成等差数列。(1) 求 an 和 Sn ; an (2) 求 bn ? Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 n! 6、 (2014-广州三校联考)已知数列 ?an ? 前 n 项和为 S n , 首项为a1 , 且 ,an , S n 成等差数 列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)数列满足 bn ? (log 2 a2 n ?1 1 2 ) ? (log 2 a2 n ? 3 ) ,求证: 1 1 1 ? ? ? b1 b2 b3 ? 1 1 ? bn 2 2 7、 (2014-佛山质检) 数列 ?an ? 、?bn ? 的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、bn 、an ?1 成等差数列, bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列, n ? 1, 2,3, (1)求 a 2 、 b2 的值; (2)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有 . 1 1 1 ? ? ? a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 ? 1 2 ? . an ? 1 7 8、 (2014-东莞二模)已知函数 f ( x) ? 1 2 3 x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 (n, Sn )(n ? N ?)均在函数 2 2 y ? f ( x) 的图象上。 (1)求数列 {an } 的通项公式 a n ; (2)令 cn ? an an ?1 1 ? , 证明: 2n ? c1 ? c2 ? …+cn ? 2n ? . 2 an ?1 an 3 9、 (2015-梅州一模)数列{ an }中, a1 ? 8, a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , n ? N *

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