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1.1.1集合的含义和概念


集合的含义和概念 在生活中,我们常常把具有相似性质的对象放在一起分析研究,例如,班上所有参加运动会的同学;图书馆中所有 的工具书;网袋完好的篮球架。 在数学学习中,我们也接触过一些这样的处理方式,例如:对 100 进行因数分解,需要列举 1-10 所有的素数;到 定点距离相等的点组成的图形是圆;介于 1 和 3 的实数,在数轴上是一条两个单位长的线段。 我们称被研究的个体对象,

例如一个同学, 2, 圆上的一个点, 为元素; 这些元素组成的整体, 例如运动会名单, {2,3,5,7}, 圆,为集合 显然 4 不是 1 到 10 的素数,圆外的点也不属于圆这个集合 集合中的元素应当是确定的,不能模棱两可。 含混不清的描述会导致在处理一些对象时不知所措,这种抽象便失去了意义。 1.下列每组对象能否构成一个集合: (1)我们班的所有高个子同学; (2)不超过 20 的非负数; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; (4) 3的近似值的全体.

2.下列所给的对象能构成集合的是________. (1)所有正三角形; (2)必修 1 课本上的所有难题; (3)比较接近 1 的正整数全体; (4)某校高一年级的 16 岁以下的学生.

元素和集合的关系 也就是说给定一个集合,那么任意一个元素,要么在这个集合中,要么不在,不可能出现既在,又不在的情况,这 也是集合的确定性的一种表述。 关系 属于 概念 如果 a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于 集合 A 如果 a 不是集合 A 中的元素, 就说 a 不属于集合 A 记法 读法

a∈A

a 属于
集合 A
[来源:学科网 ZXXK]

不属于

a?A

a 不属于
集合 A

常用数集及表示符号 名称 符号 自然数集 N 正整数集 N 或 N+
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集
科。网 Z。X。X。K]

[来源:学。

R

3.设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合,则深圳________A;广州________A(填∈或?). 答案 ? ∈

4.所给下列关系正确的个数是(

)

1 * * ①- ∈R;② 2?Q;③0∈N ;④|-3|?N . 2 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

5.已知集合 A 含有三个元素 2,4,6,且当 a∈A,有 6-a∈A,则 a 为 2 或 4 6 集合 A 中的元素 x 满足 ∈N,x∈N,则集合 A 中元素有__________. 3-x 答案 0,1,2 6.若 x∈N,则满足 2x-5<0 的元素组成的集合中 所有元素之和为________. 5 解析 由 2x-5<0,得 x< ,又 x∈N, 2 ∴x=0,1,2,故所有元素之和为 3. 7.已知集合 P 中元素 x 满足:x∈N,且 2<x<a,又集合 P 中恰有三个元素,则 a 的取值范围是________. 5 ? a ? 7 3

8.集合 A 由方程 x ?
2

10 x ? 1 ? 0 的解组成,求 A 中所有元素之和________. 3

10 3

9.已知圆 O,圆 O 上所有的点构成的集合为集合 A,圆内所有点构成的集合为集合 B,圆外所有点构成的集合为集合 C, 又已知三点 P,R,Q,其中 P 到圆心的距离等于圆的半径,R 到圆心的距离小于圆的半径,Q 到圆心的距离大于圆 的半径,写出元素 P,R,Q 和集合 A,B,C 的关系

互异性(唯一性) 讲解:还是以运动会为例,肯定有同学报了 2 个,甚至更多项目,但在简单统计与会人员时,并不会重复对其进行 登记,也就是说在抽象的过程中,重复的元素被省略掉,集合中的元素不会重复出现,既然如此,一个集合中的元 素自然也是互不相同的。 3 1 10.1,0.5, , 组成的集合含有____个元素 2 2

3个 )

11.若一个集合中的三个元素 a,b,c 是△ABC 的三边长,则此三角形一定不是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D 12.已知 1∈{a ,a},则 a=________
2 2

-1

13.已知集合 A 中只含有 1,a 两个元素,则实数 a 不能取的值为___ _____.

答案 ±1 14.由 a, ? a,| a |, a ,
2

1 1 a ? | a |, 0 组成的集合,最多有几个元素,最少有几个元素 2 2

最多 3 个,最少 0 个

集合性质综合问题 2 15.已知集合 A 是由 0,m,m -3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 的值为 16.已知集合 A 是由 a-2,2a + 5a,12 三个元素组成的,且-3∈A,求实数 a.
2

3 3 2

a=- .

17.设 a, b∈R, 集合 A 中有三个元素 1, a+b, a, 集合 B 中含有三个元素 0, , b, 且 A=B, 则 a+b=________

b a

0

18.已知集合 M 中含有三个元素 2,a,b,集合 N 中含有三个元素 2a,2,b ,且 M=N.求 a,b 的值 19.由 ?4, 2a ? 1, a 2 可以构成一个有三个元素的集合 A ,则 a 不能取哪些值 20.由 9, a ? 5,1 ? a 可以构成一个有三个元素的集合 B ,则 a 不能取哪些值 21.已知 9 ? A ,试求满足满足条件的所有 a 5 要排除 3 要排除 -3 可以留下

2

1 22.设 A 为实数集,且满足条件:若 a∈A,则 ∈A(a≠1). 1-a 求证:(1)若 2∈A,则 A 中必还有另外两个元素; (2)集合 A 不可能只有一个元素 集合的笛卡尔积 23. 定义集合间的运算A ? B ? {( x, y) | x ? A, y ? B} , 已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {1, 2,3} ,用列举法表示 A ? B 已知集合 A 中有 10 个元素,集合 B 中有 20 个元素,则 A ? B 中有____个元素 如果认为数轴上的点是 R 中的元素,那么 R ? R 中的元素是_____ 中的点 24.运算的封闭 如果某种二元运算,对于集合 S ,任取集合 S 中的两个元素进行该运算得到的结果仍然是集合 S 的元素,则称这种 运算在集合 S 上是封闭的。例如加法在正整数集上是封闭的,任意两个正整数之和仍然是正整数,而减法对于正整 数集就不是封闭的。 试判断下列运算在给定集合上是否是封闭的 (1).加法 (3).除法

S ? {x | x ? 2k ? 1, k ? Z }
Z
(4).除法

(2).乘法

S ? { x | x? 2 k? 1 , k? Z }

Q

类似的,如果某种一元运算,对于集合 S ,任取集合 S 中的一个元素进行该运算得到的结果仍然是集合 S 的元素, 则称这种运算在集合 S 上是封闭的

试判断下列运算在给定集合上是否是封闭的 (1)平方

N

(2)开平方取正平方根

S ? {x | x ? k 2 , k ? Z}

(3)开平方取正平方根

N?

(4)开平方取正平方根

Q

25.对于平面上的点集 Ω ,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω ,则称 Ω 为平面上的凸集。给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界),其中为凸集的是( )(写出所有凸集相应图形的序号)

悖论: 26.罗素悖论:在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我 将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎 不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地 抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢? 27.谎话悖论:假设世界上只有假话和真话,我说:现在我说的这句话是谎话,那么这句话是谎话还是真话呢?


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