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高三一轮复习第一单元质检过关(B卷)


第一单元质检过关(B 卷)
测试内容:集合与常用逻辑用语 时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.(2015· 山东莱芜期中)已知全集为 R,集合 A={x|x2-x-2≥0},则?RA=( A.{x|x<-1

,或 x>2} B.{x|x<-1,或 x≥2} C.{x|-1<x<2} )

D.{x|-1≤x≤2} )

1 2.(2015· 河南开封 22 校联考)已知集合 A={x|2x> },B={x|log2x<1},则 A∩B=( 2 A.(-1,2) B.(1,2) C.(0,2) D.(-1,1) )

3.(2015· 娄底市名校联考)“p 且 q 是真命题”是“非 p 为假命题”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2015· 福建清流一中期中)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0,q:“x>1”是“x>2”的充 分不必要条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.(? p)∧(? q) C.(? p)∧q ) D.p∧(? q) )

5. (2015· 福建宁化一中段测)下列说法不正确 的是( ... 3 7 A.“cosα= ”是“cos2α=- ”的充分不必要条件 5 25

B.命题 p:?x∈R,使得 x2+x-1<0,则? p:?x∈R,使得 x2+x-1≥0 C.命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆否命题是真命题 D.若 p∧q 为真命题,则 p∨q 为假命题 6.(2015· 山东滕州一中单元检测)设全集 U=R,A={x|-x2-3x>0}, B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为( A.{x|x>0} B.{x|-3<x<-1} C.{x|-3<x<0} ) D.{x|x<-1}

7. (2015· 山西大学附中月考)设 x∈R, 则“x=1”是“复数 z=(x2-1)+(x+1)i 为纯虚数” 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2015· 宝安中学、南海中学、普宁一中等七校联考)设集合 A={x|x2-3x+2=0},则满足 A∪B={0,1,2}的集合 B 的个数是( A.1 B.3 C .4 ) D.6 )

9. (2014· 韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是(

A.“a>1”是“f(x)=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件 B.命题“?x∈R 使得 x2+2x+3<0”的否定是“?x∈R,x2+2x+3>0” C.“x=-1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件
·1·

D.命题 p:“?x∈R,sinx+cosx≤ 2”,则? p 是真命题 x+a 10.(2015· 长春外国语学校期中)“a=0”是“f(x)= 为奇函数”的( |x|-1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 11. (2014· 抚顺二中期中)下列说法正确 的是( .. ) )

D.既不充分也不必要条件

A.命题“?x∈R,ex>0”的否定是“?x∈R,ex>0” B.命题“已知 x、y∈R,若 x+y≠3,则 x≠2 或 y≠1”是真命题 C.“x2+2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”?“(x2+2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立” D.命题“若 a=-1,则函数 f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点”的逆命题为真命题 12.(2015· 潮阳一中、中山一中、仲元中学联考)对于集合 A,如果定义了一种运算“⊕”, 使得集合 A 中的元素间满足下列 4 个条件: (ⅰ)?a,b∈A,都有 a⊕b∈A; (ⅱ)?e∈A,使得对?a∈A,都有 e⊕a=a⊕e=a; (ⅲ)?a∈A,?a′∈A,使得 a⊕a′=a′⊕a=e; (ⅳ)?a,b,c∈A,都有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c), 则称集合 A 对于运算“⊕”构成“对称集”.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”: ①A={整数},运算“⊕”为普通加法; ②A={复数},运算“⊕”为普通减法; ③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法.其中可以构成“对称集”的有( A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上. 13.(2015· 庐江二中、巢湖四中联考)已知集合 A={0,2,4},则 A 的子集中含有元素 2 的子集 共有________个. 14.(2014· 合肥八中联考)给出下列四个命题: ①?α,β∈R,α>β,使得 tanα<tanβ; π π ②若 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ∈( , ),则 4 2 f(sinθ)>f(cosθ); π 1 ③在△ABC 中,“A> ”是“sinA> ”的充要条件; 6 2 1 ④若函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f ′(1)=3, 2 其中所有正确命题的序号是________. 15.(2015· 呼和浩特市期中)已知函数 f(x)=a2x-2a+1,若命题“?x∈(0,1),f(x)≠0”是假

·2·

命题,则实数 a 的取值范围是________. 16.(2015· 安徽省示范高中联考)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对任意 P1(x1,y1)∈M,均 不存在 P2(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 为“好集合”,给出下列 五个集合: 1 ①M={(x,y)|y= }; x ②M={(x,y)|y=lnx}; 1 ③M={(x,y)|y= x2+1}; 4

④M={(x,y)|(x-2)2+y2=1};

⑤M={(x,y)|x2-2y2=1}.

其中所有“好集合”的序号是________.(写出所有正确答案的序号) 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2015· 重庆南开中学月考,12 分)已知集合 A={x|x2-5x+4≤0},集合 B={x|2x2-9x+ k≤0}.(1)求集合 A.(2)若 B?A,求实数 k 的取值范围.

18.(2015· 重庆南开中学月考,12 分)已知命题 p:关于 x 的方程 x2-mx-2=0 在 x∈[0,1] 1 有解;命题 q:f(x)=log2(x2-2mx+ )在 x∈[1,+∞)单调递增;若? p 为真命题,p∨q 2 是真命题,求实数 m 的取值范围.

19.(2015· 沈阳市东北育才中学一模,12 分)已知幂函数 f(x)=(m-1)2xm2-4m+2 在(0,+ ∞)上单调递增,函数 g(x)=2x-k.(1)求 m 的值;(2)当 x∈[1,2]时,记 f(x),g(x)的值域分别 为集合 A,B,若 A∪B=A,求实数 k 的取值范围.

·3·

20.(2015· 东北育才中学一模,12 分)已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],设命题 p: “f(x)的定义域为 R”;命题 q:“f(x)的值域为 R”.(1)分别求命题 p、q 为真时实数 a 的取值范围;(2)? p 是 q 的什么条件?请说明理由.

a 21.(2015· 大庆实验中学期中,12 分)设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为 R; 16 命题 q:3x-9x<a 对一切实数 x 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取 值范围.

22.(2015· 湖北教学合作联考,12 分)已知集合 U=R,集合 A={x|(x-2)(x-3)<0},函数 y =lg x-?a2+2? 1 的定义域为集合 B.(1)若 a= ,求集合 A∩(?UB);(2)命题 p:x∈A,命题 q: 2 a-x

x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

·4·

第一单元质检过关(B 卷)参考答案
1.[答案] C[解析] 由 x2-x-2≥0 得,x≤-1 或 x≥2,∴A={x|x≤-1 或 x≥2}, ∴?RA={x|-1<x<2}. 1 2.[答案] C[解析] 由 2x> 得 x>-1, ∴A={x|x>-1}; 由 log2x<1 得 0<x<2, ∴B={x|0<x<2}, 2 ∴A∩B={x|0<x<2},选 C. 3.[答案] A[解析] ∵“p∧q”是真命题,∴p 与 q 都是真命题,∴?p 为假命题;由?p 为 假命题可知 p 为真命题,但 q 的真假性不知道,∴p∧q 的真假无法判断,故选 A. 4.[答案] D[解析] 由指数函数的性质知 p 为真命题,1.5>1,但 1.5>2 不成立,∴q 为假命 题,∴p∧(?q)为真命题. 3 3 7 3 5.[答案] D[解析] cosα= 时,cos2α=2cos2α-1=2×( )2-1=- ,但 cosα=- 时,也 5 5 25 5 7 有 cos2α=- ,∴A 为真命题;由存在性命题的否定为全称命题,“<”的否定为“≥”,知 25 B 为真命题;在△ABC 中,A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB,故 C 为真命题;当 p∧ q 为假命题时,p 假或 q 假,因此 p、q 中可能一真一假,从而 p∨q 可能为真,故 D 不正确. 6.[答案]B[解析] 由-x2-3x>0 得-3<x<0,阴影部分表示 A∩B={x|-3<x<-1},故选 B. 7.[答案] C[解析] x=1 时,y=2i 为纯虚数,z 为纯虚数时,x=1,故选 C. 8.[答案] C[解析] 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 2,∴A={1,2},∵A∪B={0,1,2},∴一定 有 0∈B,由元素 1、2 与 B 的关系知满足条件的集合 B 有 22=4 个. 9.[答案] A[解析] a>1 时,f(x)=logax 为增函数,f(x)=logax(a>0 且 a≠1)为增函数时, a>1,∴A 正确;“<”的否定为“≥”,故 B 错误;x=-1 时,x2+2x+3≠0,x2+2x+3=0 π 时,x 无解,故 C 错误;∵sinx+cosx= 2sin(x+ )≤ 2恒成立,∴p 为真命题,从而?p 为 4 假命题,∴D 错误. x 10.[答案] C[解析] a=0 时,f(x)= 为奇函数;f(x)为奇函数时,由于 f(x)的定义域为 |x|-1 {x|x≠± 1},∴f(0)=0,∴a=0,故选 C. 11.[答案] B[解析] A 显然错误;若 x=2 且 y=1,则 x +y=3,∴B 正确;如图,在 x∈[1,2]时,y=x2+2x 的图 象总在 y=ax 的图象的上方,但 y=x2+2x(1≤x≤2)的最 小值不大于 y=ax(1≤x≤2)的最大值,故 C 错;若 f(x)= ax2+2x-1 只有一个零点,则 a=0 或 a=-1,故原命题 的逆命题为假命题,∴D 错误. 12.[答案] B[解析] ①A={整数},运算“⊕”为普通加 法,根据加法运算可知满足 4 个条件,其中 e=0,a、a′互为相反数;
·5·

②A={复数},运算“⊕”为普通减法,不满足 4 个条件,例如 a=3+i,b=2-i, c=1,(a-b)-c=2i,a-(b-c)=2+2i,不满足条件(ⅳ). ③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法,根据乘法运算可知满足 4 个条件,其中 e=1, a、a′互为倒数. 13.[答案] 4[解析] 含有元素 2 的子集有{2},{2,0},{2,4},{2,0,4},共 4 个. 3π π 14.[答案] ①④[解析] ①当 α= ,β= 时,tanα<0<tanβ,∴①为真命题; 4 3 ∵f(x)是[-1,1]上的偶函数,在[-1,0]上单调递增, π π 2 ∴在[0,1]上单调递减,又 θ∈( , ),∴1>sinθ>cosθ> ,从而 f(sinθ)<f(cosθ), 4 2 2 ∴②为假命题; 5π π 1 ③当 A= 时,A> 成立,但 sinA= ,∴③为假命题; 6 6 2 1 1 5 ④由条件知 f ′(1)= ,f(1)= ×1+2= , 2 2 2 ∴f(1)+f ′(1)=3,∴④为真命题. 1 15.[答案] ( ,1)∪(1,+∞)[解析] ∵命题“?x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,∴命题的否 2 定:“存在实数 x∈(0,1),使 f(x)=0”是真命题,∴f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0, 1 1 ∴(a-1)2(2a-1)>0,解得 a> ,且 a≠1.∴实数 a 的取值范围是( ,1)∪(1,+∞). 2 2 → → → → 16.[答案] ①④⑤[解析] x1x2+y1y2=0?OP1· OP2=0?OP1⊥OP2(O 为坐标原点),即 OP1 ⊥OP2.若集合 M 里存在两个元素 P1,P2,使得 OP1⊥OP2,则集合 M 不是“好集合”,否 1 则是.①曲线 y= 上任意两点与原点连线夹角小于 x 90° (同一支上)或大于 90° (两支上),集合 M 里不存 在两个元素 P1,P2,使得 OP1⊥OP2,则集合 M 是 “好集合”; ②如图,函数 y=lnx 的图象上存在两点 A,B, 使得 OA⊥OB.所以 M 不是“好集合”; 1 ③过原点的切线方程为 y=± x,两条切线的夹 2 角大于 90° ,集合 M 里存在两个元素 P1,P2, 使得 OP1⊥OP2,则集合 M 不是“好集合”; 3 ④切线方程为 y=± x,夹角为 60° ,集合 M 里不存在两个元素 P1,P2,使得 3 OP1⊥OP2,则集合 M 是“好集合”;

·6·

2 ⑤双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为 y=± x, 两条渐近线的夹角小于 90° ,集合 M 里 2 不存在两个元素 P1,P2,使得 OP1⊥OP2,则集合 M 是“好集合”. 17.[解析] (1)∵x2-5x+4≤0,∴1≤x≤4,∴A=[1,4]. 81 (2)当 B=?时,Δ=81-8k<0,求得 k> . 8 ∴当 B≠?时,2x2-9x+k=0 的两根均在[1,4]内, 81-8k≥0, ? ? 设 f(x)=2x -9x+k,则?f?1?≥0, ? ?f?4?≥0,
2

81 解得 7≤k≤ . 8

综上,k 的取值范围为[7,+∞). 18.[解析] 设 f(x)=x2-mx-2, ∵关于 x 的方程 x2-mx-2=0 在 x∈[0,1]有解, f(0)=-2<0, 1 ∴f(1)≥0,解得 m≤-1,由命题 q 得 x2-2mx+ >0,在区间[1,+∞)上恒成立,且函数 y 2 1 1 =x2-2mx+ ,在区间[1,+∞)上单调递增,根据 x2-2mx+ >0,在区间[1,+∞)上恒成 2 2 3 1 立,得 m< ,由函数 y=x2-2mx+ >0,在区间[1,+∞)上单调递增,得 m≤1,∴由命 4 2 3 3 题 q 得:m< ,∵?p 为真命题,p∨q 是真命题,得到 p 假 q 真,∴m∈(-1, ).∴实数 m 4 4 3 的取值范围是(-1, ). 4 19.[解析] (1)依题意得:(m-1)2=1,∴m=0 或 m=2, 当 m=2 时,f(x)=x
-2

在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0.

(2)由(1)知 f(x)=x2,当 x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,∴A=[1,4],B=[2-k,4-k],
?2-k≥1, ? ∵A∪B=A,∴B?A,∴? ∴0≤k≤1. ? ?4-k≤4,

20.[解析] (1)命题 p 为真,即 f(x)的定义域是 R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 恒成立,
2 ? ?a -1>0, 等价于 a=-1 或? 2 2 ?Δ=?a+1? -4?a -1?<0. ?

5 5 解得 a≤-1 或 a> ,∴实数 a 的取值范围为(-∞,-1]∪( ,+∞). 3 3 命题 q 为真,即 f(x)的值域是 R,等价于 u=(a2-1)x2+(a+1)x+1 的值域?(0,+∞),
?a2-1>0, ? 等价于 a=1 或? 2 2 ?Δ=?a+1? -4?a -1?≥0. ?

5 5 解得 1≤a≤ .∴实数 a 的取值范围为[1, ]. 3 3

·7·

5 5 5 5 (2)由(1)知,?p:a∈(-1, ];q:a∈[1, ],而(-1, ]?[1, ], 3 3 3 3 ∴?p 是 q 的必要而不充分的条件. a 21.[解析] 命题 p:对于任意的 x∈R,ax2-x+ >0 恒成立, 16 a>0, ? ? 则需满足? ?a>2, a2 Δ = 1 - <0 ? 4 ? 1 1 1 1 q:g(x)=3x-9x=-(3x- )2+ ≤ 恒成立?a> . 2 4 4 4 因为“p 且 q”为假命题,所以 p,q 至少一假. 1 (1)若 p 真 q 假,则 a>2 且 a≤ ,a 不存在; 4 1 1 (2)若 p 假 q 真,则 a≤2 且 a> ,∴ <a≤2; 4 4 1 1 (3)若 p 假 q 假,则 a≤2 且 a≤ ,∴a≤ . 4 4 综上知,a≤2. 1 22.[解析] (1)集合 A={x|2<x<3},因为 a= . 2 9 9 x- x- 4 4 x-?a +2? 所以函数 y=lg =lg ,由 >0, 1 1 a-x -x -x 2 2
2

1 9 可得集合 B={x| <x< }. 2 4 1 9 ?UB={x|x≤ 或 x≥ }, 2 4 9 故 A∩(?UB)={x| ≤x<3}. 4 (2)因为 q 是 p 的必要条件等价于 p 是 q 的充分条件,即 A?B, x-?a2+2? 由 A={x|2<x<3},而集合 B 应满足 >0, a-x 1 7 因为 a2+2-a=(a- )2+ >0, 2 4 故 B={x|a<x<a2+2},
?a≤2 ? 依题意就有:? 2 , ?a +2≥3 ?

即 a≤-1 或 1≤a≤2, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,2].

·8·


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