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高考专题训练9 等差数列、等比数列


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高考专题训练(九)

等差数列、等比数列

A 级——基础巩固组 一、选择题 1.(2014· 山东青岛二模)数列{an}为等差数列,a1,a2,a3 成等比数列, a5=1,则 a10=( A.5 C.0 解析 ) B.-1 D.1

r />2 ? ? ??a1+d? =a1?a1+2d?, ?a1=1, ? 设公差为 d, 由已知得 解得? 所 ? ? ?a1+4d=1, ?d=0,

以 a10=a1+9d=1,故选 D 新 答案 D

课 标 第 一 网

2.(2014· 河北邯郸二模)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13) =24,则该数列前 13 项的和是( A.13 C.52 ) B.26 D.156

解析 ∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, ∴6a4+6a10=24,即 a4+a10=4, ∴S13=
新*课*标*第*一*网 ]

13?a1+a13? 13?a4+a10? = =26. 2 2

答案 B 3.(2014· 河北唐山一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3 5 5 Sn =2,a2+a4=4,则a =(
n

) B.4n-1 D.2n-1

A.4n-1 C.2n-1
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解析

5 ? ?a1+a3=2, ∵? 5 ? a 2+a4= , ? 4

5 2 ? a + a q = 1 1 ? 2,① ∴? 5 3 ? a 1q+a1q = ,② ? 4 1+q2 1 由①除以②可得 3=2,解得 q= , 2 q+q 代入①得 a1=2,
?1? 4 ∴an=2×?2?n-1=2n, ? ? ? ?1? ? 2×?1-?2?n? 1? ? ? ? ?? ?1- n?, ∴Sn= = 4 2? 1 ? 1-2

1? ? 4?1-2n? Sn ? ? ∴a = 4 =2n-1,选 D.
n

2n

答案 D 4.(2014· 福建福州一模)记等比数列{an}的前 n 项积为Ⅱn,若 a4· a5=2, 则Ⅱ8=( A.256 C.16 ) B.81 D.1

解析 由题意可知 a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2, 则Ⅱ8=a1a2a3a4a5a6a7a8=(a4a5)4=24=16. 答案 C 5.(2014· 辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数
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列,则( A.d<0

) B.d>0 D.a1d>0

C.a1d<0

解析 依题意得 2a1an>2a1an+1,即(2a1)an+1-an<1,从而 2a1d<1,所以 a1d<0,故选 C. 答案 C 6.(2014· 四川七中二模)正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在 1 4 2 am,an,使得 aman=16a1 ,则m+n的最小值为( 25 A. 6 7 C.3 解析 由 a3=a2+2a1, 得 q2=q+2,∴q=2(q=-1 舍去),
2 由 aman=16a1 得 2m-12n-1=16,
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)

13 B. 4 3 D.2

∵m+n-2=4,m+n=6, 1 4 m+n? 1 4? 所以m+n= 6 ?m+n? ? ? n 4m? 1? =6?1+4+m+ n ? ? ? 1? ≥6?5+2 ? 答案 D 二、填空题 7.(2014· 安徽卷)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公 比为 q 的等比数列,则 q=________. 解析 设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,
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n 4m? 3 ?= . m·n ? 2

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∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1. ∴q= a3+3 a1-2+3 = =1. a1+1 a1+1

答案 1 8.(2014· 河北衡水中学二模)在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10= 15 9 1 1 1 1 , a a 8· 9=- ,则 + + + 8 8 a7 a8 a9 a10=________. 1 1 a7+a10 1 1 a8+a9 解析 ∵a +a = a a ,a +a = a a , 7 10 7 10 8 9 8 9 而 a8a9=a7a10, 15 1 1 1 1 a7+a8+a9+a10 8 5 ∴a +a +a +a = = =- a7a10 9 3. 7 8 9 10 -8 5 答案 -3
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1 9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则 Sn=a1+a2+?+an 的取值 范围是________. 解析 因为{an}是等比数列, 所以可设 an=a1qn-1. 1 因为 a2=2,a5=4,
w w w .x k b 1.c o m

?a1q=2, 所以? 4 1 ?a1q =4,

?a1=4, 解得? 1 ?q=2.

? ?1? ? 4?1-?2?n? ?1?n ? ? ?? ? ?. 所以 Sn=a1+a2+?+an= = 8 - 8 × 1 ?2? 1-2

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? ?

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?1? 1 因为 0<?2?n≤2,所以 4≤Sn<8.

答案 [4,8) 三、解答题 10.(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0, anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 解 (1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1. 两式相减得 an+1(an+2-an)= λan+1. 由于 an+1≠0 ,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4. 故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n -1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 11.(2014· 山东菏泽一模)已知数列{an},a1=-5,a2=-2,记 A(n)= a1+a2+?+an,B(n)=a2+a3+?+an+1,C(n)=a3+a4+?+an+2(n∈N*), 若对于任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)根据题意 A(n),B(n),C(n)成等差数列, ∴A(n)+C(n)=2B(n),
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整理得 an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3. ∴数列{an}是首项为-5,公差为 3 的等差数列, ∴an=-5+3(n-1)=3n-8.
?-3n+8,n≤2, ? (2)|an|=? ? ?3n-8,n≥3,
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记数列{|an|}的前 n 项和为 S n. n?5+8-3n? 3n2 13 当 n≤2 时,Sn= =- 2 + 2 n; 2 ?n-2??1+3n-8? 3n2 13 当 n≥3 时,Sn=7+ = 2 - 2 n+14; 2 3 2 13 ? - ? 2n + 2 n,n≤2, 综上,Sn=? 3 2 13 ? ?2n - 2 n+14,n≥3. B 级——能力提高组

?a11 1. (2014· 九江市七校联考)已知数阵?a21 ?a31
和为( ) B.18 D.8

a12 a13? a22 a23?中, 每行的 3 个数依 a32 a33?

次成等差数列,每列的 3 个数也依次成等差数列,若 a22=2,则这 9 个数的

A.16 C.9 解析

?a11 已知数阵?a21 ?a31

a12 a13? a22 a23?中,每行的 3 个数依次成等差数列,每 a32 a33?

列的 3 个数也依次成等差数列,若 a22=2,由等差数列的性质得:a11+a12 +a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=9 a22=18. 答案 B
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4 1 2.(2014· 江苏南京一模)已知等比数列{an}的首 项为 3,公比为-3,其 1 前 n 项和为 Sn,若 A≤Sn-S ≤B 对 n∈N*恒成立,则 B-A 的最小值为
n

________. 4? ? 1? ?8 ? ? 1 ?8 4? 解析 易得 Sn=1-?-3?n∈?9,1?∪?1,3?,而 y=S n-S 在?9,3?上单
? ? ? ? ? ?
n

?

?

? 17 7 ? 7 ? 17? 调递增,所以 y∈?-72,12??[A,B],因此 B-A 的最小值为12-?-72?= ? ? ? ?

59 72. 59 答案 72
2 3. (2014· 山东淄博一模)若数列{An}满足 An+1=An , 则称数列{An}为“平

方递推 数列”.已知数列{an}中,a1=9,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明数列{an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(an+1)}为等比数 列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn,即 Tn=(a1+1)(a2+ 1)?(an+1),求 lgTn; lgTn (3)在(2)的条件下,记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn,并求 lg?an+1? 使 Sn>4 026 的 n 的最小值. 解 (1)由题意得:an+1=a2 n+2an, 即 an+1+1=(an+1)2, 则{an+1}是“平方递推数列”. 对 an+1+1=(an+1)2 两边取对数得 lg(an+1+1)=2lg(an +1),
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所以数列{lg(an+1)}是以 lg(a1+1)为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 lg(an+1)=lg(a1+1)· 2n-1=2n-1
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lgTn= lg(a1 + 1)(a2+ 1)?(an+ 1)= lg(a1+ 1)+ lg(a2+ 1)+ ?+ lg(an+ 1) 1· ?1-2n? n = =2 -1 1-2 2n-1 ?1? lgTn (3)bn= = n-1 =2-?2?n-1 ? ? lg?an+1? 2 1 1-2n 1-2 1 2
n-1

Sn=2n-

1 =2n-2+

又 Sn>4 026,即 2n-2+

2

n-1>4

1

1 026,n+2n>2 014

1 又 0<2n<1,所以 nmin=2 014.
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