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江苏省涟水县第一中学2014-2015学年高二下学期数学(理)期末模拟试题2


2014-2015 学年高二下学期期末数学(理)复习 2
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.(2014· 常州质检)已知复数 z=-1+i(i 为虚数单位),则

z?z =________. z?z

解析:因为 z·z =(-1+i)(-1-i)=2,z-

z =-1 +i-(-1-i)=2i, 所以

z?z 2 1 = = =-i. z ? z 2i i

2.定义:若 z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单 位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根据定 义,则复数-3+4i 的平方根是________.
2 2 ? ? ? ?x -y =-3, ?x=1, ?x=-1, 解析:设(x+yi) =-3+4i,则? 解得? 或? ?xy=2, ? ? ? ?y=2 ?y=-2. 2

3. 从 1, 2,3,4,5,6 六个数字中, 选出一个偶数和两个奇数, 组成一个没有重复数字的三位数, 这样的三位数共有___ _个.54 4.有 5 件不同的产品排成一排,其中 A、B 两件产品排在一起的不同排法有______种.48 5.(2014· 昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验, 要求 2 艘攻击型核潜艇 一前一后,3 艘驱逐舰和 3 艘护卫舰分列左右,每侧 3 艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分 配方案的方法数为________.
6 解析:核潜艇排列数为 A2 2,6 艘舰艇任意排列的排列数为 A6,同侧均是同种舰艇的排列数为 3 3 6 3 3 A3 A3×2,则舰艇分配方案的方法数为 A2 2(A6-A3A3×2)=1 296. 6.(2013· 石家庄模拟)有 4 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有 1 人参加,

每名同学只参加一项比赛,另外甲同学不能参加跳舞比赛,则不同的参赛方案的种 数为 ________(用数字作答).
2 2 解析:依题意,当甲 1 人一组时,共有 C1 2C3A2=12 种不同参赛方式; 当甲和另 1 人一组时, 1 2 共有 C1 3A2A2=12 种不同参赛方式,所以共有 24 种不同参赛方式.

??? ? 7.(2013· 长春模拟)已知点 B 是点 A(3,7,-4)在 xOz 平面上的射影,则 OB 2 等于________.
25 8.已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点 P 的坐标是(x,0,y), 若 PA⊥平面 ABC,则点 P 的坐标是________. ??? ? ??? ? ???? 解析: PA =(-x,1,-y), AB =(-1,-1,-1), AC =(2,0,1),∵PA⊥平面 ABC, ??? ? ??? ? ??? ? ???? ∴ PA ⊥ AB , PA ⊥ AC , ??? ? ??? ? ??? ? ???? 即 PA ·AB =x+y-1=0, PA ·AC =2x+y=0, ∴x=-1,y=2,故 P 点的坐标是(-1,0,2).

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PB =b, PC =c, 9. 在三棱锥 PABC 中, G 为△ABC 的重心, 设 PA =a, 则 PG =________(用

a,b,c 表示). 解析:如图,取 BC 的中点 D, ∵G 为△ABC 的重心,

? ???? ???? 2 ???? 1 ??? 则在△ABC 中, AG = AD = ( AB + AC ). 3 3
? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ∴ PG - PA = ( PB - PA + PC - PA ) 3 ? 1 ??? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? ? ∴ PG = PA + PB + PC 3 3 3
1 = (a+b+c). 3 10. ( x ? 1) 的二项展开式中 x3 的系数为_________.
5

1 2

5 4

11. 已知某一随机变量 X 的概率分布表如右图, 且 E(X)=3,则 V(X)= . 4 .2 12.已知某一随机变量 ξ 的概率分布如下, 且 E(ξ)=6.3,则 a 的值为 .7

X 0 P ξ P 0.3 4 0.5

a 0.6 a 0.1

6 b 9 b

13.从1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 中得出的一般性结论

2

2

2


2 *

.

n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1) (n∈N ) n 14. 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=2 · 1· 3?(2n+1)(n∈N*), 从“k 到 k+1”左端需乘的代数式是________. 左端需乘的代数式是 ?2k+1??2k+2? =2(2k+1). k+1

二.解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解 答应写出必要的文字说明.证明过 程或演算步骤)
15. 设复数 z ? a ? bi(a, b ? R , a ? 0 , i 是虚数单位),且复数 z 满足 | z |? 10 , 复数 (1 ? 2i ) z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数 z ; (2)若 z ?

m?i 为纯虚数(其中 m ? R, z ? a ? bi ), 求实数 m 的值. 1? i
①?2 分

2 2 解:(1)设 z ? a ? bi(a, b ? R , a ? 0 ),由 | z |? 10 得: a ? b ? 10

又复数 (1 ? 2i ) z = (a ? 2b) ? (2a ? b)i 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上, 则 a ? 2b ? 2a ? b 即 a ? ?3b ②????4 分

由①②联立的方程组得 a ? 3, b ? ?1; a ? ?3, b ? 1.

? a ? 0,? a ? 3, b ? ?1.
则z ? 3?i; (2) Z ?

????6 分 ????8 分;

m?i (m ? i )(1 ? i ) m ? 5 1 ? m ? 3?i ? ? ? i, ????11 分; 1? i 2 2 2

?m ? 5 ?0 ? m?i ? 2 为纯虚数,? ? ?Z ? , ????13 分; 1? i 1 ? m ? ?0 ? ? 2
解得 m ? ?5 . ??? 14 分

16.(15 江苏)已知 x, y ? R ,向量 ? ? ?

? x 1? ?1? 是矩阵 A ? ? ? ? 的属性特征值 ? 2 的一个特 ?? 1? ? y 0?

征向量,求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 【答案】 ? ? ? 【解析】 试题分析:由矩阵特征值与特征向量可列出关于 x,y 的方程组,再根据特征多项式求出矩阵 另一个特征值 试题解析:由已知,得 ?? ? ?2? ,即 ?

??1 1? ? ,另一个特征值为 1 . ? 2 0?

?

?

? x 1? ? 1 ? ? x ? 1? ? ?2? ?? ? ? ? ??? ?, ? y 0? ??1? ? y ? ? 2 ?

则?

? x ? 1 ? ?2 ? x ? ?1 ??1 1? ,即 ? ,所以矩阵 ? ? ? ?. ?y ? 2 ?y ? 2 ? 2 0?

从而矩阵 ? 的特征多项式 f

?? ? ? ?? ? 2??? ?1? ,所以矩阵 ? 的另一个特征值为1 .

考点:矩阵运算,特征值与特征向量

? 2 1 ? 17.(1)求 ? x ? 2 x ? 的展开式中的常数项; ? ? a? ? 3 (2)若 ? x ? x ? 的展开式中 x 的系数是-84,求 a 的 值; ? ?
n ?1

9

9

(3)求证: 9

? 8n ? 9 能被 64 整除(n∈N*)。

解 (1)设第 r ? 1 项为常数项,则 Tr ?1 ? C 9 ( x )
r

2 9? r

(?

1 r 1 ) ? (? ) r C9r x18?3r 2x 2

1?6 6 21 令 18 ? 3r ? 0 ,得 r ? 6 ,即第 7 项为常数项.T7=? ?-2? C9=16. 21 ∴常数项为 . 16

a (? ) r ? (?a) r C9r x 9? 2 r ,令 9 ? 2r ? 3 ,得 r ? 3 , x 3 r ∵ x 的系数是-84,∴ (?a) r C9 ? ?84 ,∴a3=1,∴a=1.
(2) Tr ?1 ? C 9 ( x)
r 9? r

(3)证明 ∵ 9

n ?1

? 8n ? 9 ? 9· 9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9
- - - -

n 1 n 1 1 =9(C0 +…+Cn 8+Cn 1)-8n-9 n8 +Cn8 n · n· n 1 2 2 =9(8n+C1 +…+Cn 8n+9-8n-9 n8 n 8 )+9· 2 =9× 82(8n 2+C1 8n 3+…+Cn n· n )+64n
- - -

=64, 显然括号内是正整数,∴原式能被 64 整除. 18.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形 AB∥DC, ?DAB ? 90?,

PA ? 底面 ABCD, 且 PA ? AD ? DC ? 1, AB ? 2, M 是 PB 的中点.
(1)求 AC与PB 所成角的余弦值; (2)求二面角 A ? MC ? B 的平面角 ? 余弦值大小. 解:以 A 为坐标原点, AD, AB, AP 所在直线 分别为 x 轴、 y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则各点坐标为 A(0,0,0) B(0,2,0) , C (1,1,0) ,

1 D(1,0,0) , P(0,0,1) , M (0,1, ) ??3 分 2
(1)因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1) ,故 | AC |? 所以 cos ? AC , PB ??

2, | PB |? 5 , AC ? PB ? 2 ,??6 分

AC ? PB | AC || PB |

?
1 2

10 10 ,即 AC与PB 所成角的余弦值是 .?8 分 5 5

(2)由 AM ? (0,1, ), MC ? (1,0,? ), BC ? (1,?1,0) ,设平面 AMC 与平面 BMC 的法向量分别为 n1 ? ( x, y, z) , n2 ? (r, s, t ) ,???10 分 则 n1 ? AM ? 0 , n1 ? MC ? 0 ,

1 2

z ? y? ?0 ? ? 2 ,令 z ? 2 ,则 x ? 1, y ? ?1 ,解得 n1 ? (1,?1,2) ,????12 分 ? ?x ? z ? 0 ? 2 ?

同理 n2 ? (1,1,2) , cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 || n2 |

?

2 ,由题意可知,二面角的平面角为钝角, 3
2 .???14 分 3

所以二面角 A ? MC ? B 的平面角 ? 余弦值大小为 ? 19.(本题满分 16 分)

一个口袋装有 5 个红球,3 个白球,这些球除颜色外完全相同,某人一次从中摸出 3 个球, 其中红球的个数为 X . ⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率; ⑵求 X 的分布列及 X 的数学期望. ( E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn ) 解:(1)记“摸出的三个球中既有红球又有白球”为事件 A ,由题意知,

P( A) ?

1 2 1 C5 C3 ? C52 C3 45 , ? 3 56 C8

∴摸出的三个球中既有红球又有白球的概率 (2) X 的可能取值是 0,1,2,3

45 56

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?

0 3 1 2 C5 C3 1 C5 C3 15 , ? P ( X ? 1 ) ? ? , 3 3 C8 56 56 C8 1 3 0 C52 C3 C5 C3 10 30 , ? P ( X ? 3 ) ? ? 3 3 56 56 C8 C8

∴ X 的分布列是

X
P

0

1

2

3

1 56

15 56

30 56

10 56

∴ X 的数学期望是 E ( X ) ? 0 ?

1 15 30 10 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 56 56 56 56 8

20. 已知 f (n) ? 1 ?

1 1 1 1 3 1 ? 3 ? 3 ? ? 3 , g (n) ? ? 2 , n ? N* . 3 2 3 4 n 2 2n

(1)当 n ? 1, 2 , 3 时,试比较 f ( n) 与 g (n) 的大小关系; (2)猜想 f ( n) 与 g (n) 的大小关系,并给出证明. 解:(1) 当 n ? 1 时, f (1) ? 1 , g (1) ? 1 ,所以 f (1) ? g (1) ;

9 11 , g (2) ? ,所以 f (2) ? g (2) ; 8 8 251 312 当 n ? 3 时, f (3) ? , g (3) ? ,所以 f (3) ? g (3) .???3 分 216 216
当 n ? 2 时, f (2) ?

(2) 由(1),猜想 f (n) ? g (n) ,下面用数学归纳法给 出证明: ①当 n ? 1, 2,3 时,不等式显然成立. ②假设当 n ? k (k ? 3) 时不等式成立,即 1 ?

1 1 1 1 3 1 ? 3 ? 3 ?? 3 ? ? 2 , 3 2 3 4 k 2 2k

那么,当 n ? k ? 1 时, f (k ? 1) ? f (k ) ?

1 3 1 1 , ? ? 2? 3 (k ? 1) 2 2k (k ? 1)3

因为

1 1 1 k ?3 1 ?3k ? 1 ?( 2 ? )? ? 2 ? ? 0, 2 3 3 2(k ? 1) 2k (k ? 1) 2(k ? 1) 2k 2(k ? 1)3 k 2 3 1 ? ? g (k ? 1) . 2 2(k ? 1)2
*

所以 f (k ? 1) ?

由①、②可知,对一切 n ? N ,都有 f (n) ? g (n) 成立.??????10 分


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