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二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准


二 00 九年高中数学联赛四川赛区初赛试题 详细参考答案及评分标准 详细参考答案及评分标准
说明: 说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的评阅,请严格按照评 分两档;其它各题的评阅, 、评阅试卷时,请依据评分标准. 分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次.

2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参考本评分标准适当划分 、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确, 档次评分, 分一个档次,不要再增加其它中间档次. 档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档次. 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、下列函数中,以

π
2

为最小正周期的偶函数是( B、 y = sin 2 x cos 2 x



A、 y = sin 2 x + cos 2 x C、 y = sin 2 x + cos 2 x 解:在 A 中,取 x = 在 B 中, y =

D、 y = sin 2 2 x ? cos 2 2 x

π
4

,则 y = 1 ;取 x = ?

π
4

,则 y = ?1 ,从而 y 不是偶函数;

1 sin 4 x ,它不是偶函数; 2 1 + cos 2 x 在 C 中, y = ,它的最小正周期为 π ; 2
在 D 中, y = ? cos 4 x ,符合条件.故答案选 D.

2、甲、乙两人之间进行一场打完 7 局的比赛(每局无平局) ,则比赛结果出现甲比乙 为 4:3 的概率是 A、

35 128

B、

5 16

C、

4 7

D、

5 8

解:符合条件的概率为

C 74 35 = .故答案选 A. 7 128 2

3、 函数 y = x 2 的图象 F1 与它按向量 a = (m,1) 平移后的函数图象 F2 在 x = 1 处的切线互相垂直, 则实数 m 的 值为( )

5 A、 ? 4

B、 ?

3 4

C、

3 4

D、

5 4

2 解:因为 y ′(1) = 2 ,故 F2 的函数为 y = x ? m) ? 1 ,其在 x = 1 处的切线的斜率为 k 2 = 2 1 ? m) ( ( ,由

2 × 2 1 ? m)= ?1 知 m = (

5 .故答案选 D. 4

4、设数列 {a n } 满足: a1 = 2 , a n +1 = 1 ? 则 P2009 的值为( )

1 ,记数列 {a n } 的前 n 项之积为 Pn , an

A、 ?

1 2

B、 ? 1

C、

1 2

D、1

解:因为 a n + 2 = 1 ?

1 a n +1

= 1?

1 1? 1 an

=

?1 , an ? 1

于是 a n + 3 = 1 ?

1 a n+2

= 1?

1 = a n ,故 {a n } 是以 3 为周期的周期数列 ?1 an ? 1

又 a1 = 2 , a 2 =

1 , a 3 = ?1 ,从而 P3 = ?1 2
669

( ) P2 = ?1 .故答案选 B. 所以, P2009 = ? 1

5、已知关于 x, y 的方程组 ?

? x 2 + y 2 = 2k 2 仅有一组实数解,则符合条件的实数 k 的个数是( ?kx ? y = 2k



A、1 B、2 C、3 D、4 解:若 k = 0 ,显然方程组仅有一组解(0,0) ,故 k = 0 符合条件; 若 k ≠ 0 , x 2 + y 2 = 2k 2 的图象是一个以 (0, 0) 为圆心, r = 则 以 表示直线. 由题设条件知

2 | k | 为半径的圆, kx ? y = 2k 而

| 2k | k 2 +1

= 2 | k | ,即

4k 2 = 2k 2 ,解得 k = ±1 . 2 1+ k

综上所述,符合条件的实数 k 共有 3 个.故答案选 C. 6、已知 a, b, c 均为大于 0 的实数, 设命题 P:以 a, b, c 为长度的线段可以构成三角形的三边 命题 Q: a 2 + b 2 + c 2 < 2( ab + bc + ca ) 则 P 是 Q 的( ) A、充分但不必要条件 C、充要条件

B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件
2

解:一方面,若 P 成立,则 b + c > a ,故 a (b + c) > a 2 ,即 ab + ac > a 同理: ba + bc > b , ca + cb > c
2 2

所以, a 2 + b 2 + c 2 < 2( ab + bc + ca ) ,即 Q 成立. 另一方面,若 Q 成立,取 b = c = 1, a = 2 ,这时以 a, b, c 为长度的线段不能构成 三角形的三边,即 P 不成立. 综上所述,P 是 Q 的充分但不必要条件.故选 A.

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、若实数 x 满足 log 2 x = 1 + cos θ ,其中 θ ∈ [ ? 则函数 f ( x ) =| x ? 1 | +2 | x ? 3 | 的最大值等于 解:由条件知 1 + cos θ ∈ [1,2] ,则 2 ≤ x ≤ 4 , 从而 f ( x ) = x ? 1 + 2 | x ? 3 | 当 2 ≤ x ≤ 3 时, f ( x ) = x ? 1 + 2 | x ? 3 |= 5 ? x ,此时最大值为 3; 当 3 ≤ x ≤ 4 时, f ( x) = x ? 1 + 2 | x ? 3 |= 3 x ? 7 ,此时最大值为 5. 综上所述, f (x ) 在 x = 4 时取到最大值 5.

π
2

,] , 0


8、设二项式 3 x ? 1) (

2n

= a 2 n x 2 n + a 2 n ?1 x 2 n ?1 + ? + a 2 x 2 + a1 x + a 0

记 Tn = a 0 + a 2 + ? + a 2 n , Rn = a1 + a3 + ? + a 2 n ?1 ,则 lim
2n 2n

Tn = n → +∞ R n



解:取 x = 1 ,得 2

2n

= ∑ ai ;取 x = ?1 ,得 4 2 n = ∑ (?1) i a i
i =0 i =0

2 2n + 4 2n 2 2n ? 4 2n , Rn = 从而 Tn = 2 2
于是 lim

Tn 2 2n + 4 2n = lim 2 n = ?1 .故答案填 ? 1 . n → +∞ R n → +∞ 2 ? 4 2n n

9、已知 ?ABC 的三边长分别为 3、4、5,点 P 为 ?ABC 内部(不含边界)一动点, 则点 P 到三边距离之积的最大值等于 . 解:设 a = 3,b = 4,c = 5 ,则 ?ABC 为直角三角形,其面积为 S ?ABC = 6 . 记点 P 到三边 a,b,c 的距离分别为 ha,hb,hc , 则 aha + bhb + chc = 2 S ?ABC = 12 故 ha hb hc =

aha ? bhb ? chc 1 aha + bhb + chc 3 4 3 16 ≤ ( ) = = abc abc 3 60 15

等号当且仅当 ?

?aha = bhb = chc ,即 S ?PAB = S ?PBC = S ?PCA , ?aha + bhb + chc = 12

亦即 P 为 ?ABC 的重心时取得.故答案填

16 . 15
2 ,点 P 是线段 BC1 上

10、在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱 AB = 6 , BC = BB1 = 的一动点,则 AP + PB1 的最小值是 .

解:如图, 将 ?BB1C1 沿 BC1 为轴旋转至与平面 ABC1 共面,得 ?BB2 C1 , 则 ∠ABB2 = 135 ,故 AP + PB1 = AP + PB2
2 ≥ AB2 = 6 2 + 2) ? 2 × 6 × 2 cos135 = 5 2 . (

D1 B1 D P A B

C1

A1

B2 C

等号当且仅当 P 为 AB2 与 BC1 的交点时取得. 故答案填 5 2 .

11、集合 A = {x |

1 1 ≤ 2 x ≤ , x ∈ R} , B = {x | x 2 ? 2tx + 1 ≤ 0} , 4 2 若 A ∩ B = A ,则实数 t 的取值范围是 ..
解:因为 A = {x | ?2 ≤ x ≤ ?1} , A ? B 故 x ? 2tx + 1 ≤ 0 在 x ∈ [ ?2, ? 1] 上恒成立.
2

1 1 5 ≥ 2t ,而 x ∈ [?2, ? 1] 时 x + ∈ [? ,?2] x x 2 5 5 所以 ? ≥ 2t ,即 t ≤ ? . 2 4 5 5 所以,实数 t 的取值范围是 (?∞,? ] .故答案填 (?∞,? ] . 4 4
又x+ 12、直线 l1 与直线 l 2 平行, l1 上有 5 个不同的点, l 2 上有 10 个不同的点,将 l1 上的点与

l 2 上的点连线段,若没有三条线段交于同一点,则这些线段之间的交点共有
(用具体的数字作答)

个.

解:经过任何一个交点的两条线段的 4 个端点,两个在 l1 上,两个在 l 2 上,以它们为顶点,构成一个四边形, 这个交点就是四边形对角线的交点.所以,任何一个交点与两个顶点在 l1 上,两个顶点在 l 2 上的四边形一一对 应.所以,所求的交点个数共有 C 5 C10 = 450 .故答案填 450.
2 2

三、解答题 13、已知奇函数 f (x ) 在定义域 [?3, 3] 内是减函数,且 f ( x 2 ? 2 x ) + f ( x ? 2) < 0 , 求实数 x 的取值范围.

?? 3 ≤ x 2 ? 2 x ≤ 3 解:由 f (x ) 的定义域知 ? ?? 3 ≤ x ? 2 ≤ 3
解 ? 3 ≤ x ? 2x ≤ 3 得 ? 1 ≤ x ≤ 3
2

解 ? 3 ≤ x ? 2 ≤ 3 得 ?1 ≤ x ≤ 5 所以有 ? 1 ≤ x ≤ 3 ① 因为 f (x ) 是奇函数,得 f ( x 2 ? 2 x) < ? f ( x ? 2) = f ( 2 ? x) 又因为 f (x) 在定义域内单减,故 x ? 2 x > 2 ? x
2

……5 分 ……10 分

解得 x < ?1 或 x > 2



……15 分 ……20 分

由①、②得 2 < x ≤ 3 ,即实数 x 的取值范围为 (2, 3] .

14、如图,已知 PA,PB 是⊙ O 的两条切线, PCD 是⊙ O 的一条割线, E 是 AB 与 PD 的交点. 证 明:

PC CE = . PD DE 证法一:连结 AC,AD,BC 和 BD ,


A _

PC S ?PAC S ?PBC = = PD S ?PAD S ?PBD

……5 分
P _ O _ C _ E _ B _
2

∵ ?PAC ∽ ?PDA , ?PBC ∽ ?PDB ∴

D _

S ?PAC S AC BC = , ?PBC = 2 S ?PAD AD S ?PBD BD 2 AC BC = AD BD PC AC 2 AC BC = = ? PD AD 2 AD BD AC AE = DB DE
① ……10 分

2





又∵ ?ACE ∽ ?DBE , ?BCE ∽ ?DAE ∴

BC CE = DA AE PC CE 故由①、②、③得 = PD DE
②,



……15 分 ……20 分

证法二: (同证法一前) ∴

PC AC 2 AC BC = = ? PD AD 2 AD BD



又∵

CE S ?ACE S ?BCE S ?ACE + S ?BCE S ?ACB = = = = DE S ?DAE S ?BDE S ?DAE + S ?BDE S ?ADB

……15 分

而 ∠ACB + ∠ADB = 180 ,∴ sin ∠ACB = sin ∠ADB



CE AC ? CB ? sin ∠ACB AC ? CB = = DE DA ? DB ? sin ∠ADB DA ? DB PC CE = . 由①、②知 PD DE

② ……20 分

15、如图,双曲线的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l 2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1 的 直线分别交 l1,l 2 于 A,B 两点.又已知该双曲线的离心率 e = (I) 求证: OA | 、 AB | 、OB | 依次成等差数列; | | |

5 . 2

y
(II)若 F( 5, 0 ,求直线 AB 在双曲线上所 ) 长度.
l1 B D

截 得 的 弦 CD 的

5 c2 5 解: (I)如图,由已知 e = ,即 2 = , 4 4 a
2

F

O

C A

x

故a =
2

4 2 c 5


l2

c
从而 b = c ? a =
2 2 2

1 2 c 5

②, 故

b 1 = 5 = a 2c 2 5

设 ∠AOF = ∠BOF = θ ,则 tan θ = 故 tan ∠AOB = tan 2θ =

1 2

……5 分

2 tan θ 4 | AB | 4 = ,即 = 2 1 ? tan θ 3 | OA | 3

令 | OA |= 3m(m > 0) ,则 | AB |= 4m , | OB |= 5m ,满足 | OA | + | OB |= 2 | AB | , 所以, | OA | 、 AB | 、OB | 依次成等差数列 | | ……10 分

(II)由已知 c = 5 ,代入①,②得 a 2 = 4, b 2 = 1 ,
2

于是双曲线的方程为

x2 ? y2 = 1 4

设直线 AB 的斜率为 k ,则 k = tan ∠BFX = tan ∠AFO = cot θ = 2 于是直线 AB 的方程为: y = 2( x ? 5 ) ……15 分

联立 ? x 2

? y = 2( x ? 5 ) ? 2 ,消 y 得 15 x ? 32 5 x + 84 = 0 2 ? 4 ? y =1 ?

(?32 5 ) 2 ? 4 × 15 × 84 4 ? 故弦 CD 的长度 | CD |= 1 + k ? = 5× = ……20 分 15 15 3
2

16、设正实数 a, b, c ,满足 a ≤ b ≤ c ,且 a + b + c = 9 .证明: abc + 1 > 3a .
2 2 2

证法一:由条件知 9 = a + b + c ≥ 3a ,故 a ≤
2 2 2 2

3.
2 2

……5 分 ……10 分

又由 c ? a )(b ? a ) ≥ 0 知 bc ≥ a b + c ? a = a 9 ? 2a (
2 2 2 2

2

2

只须证 a

2

9 ? 2a 2 > 3a ? 1
1 时,结论显然成立; 3

(1)当 3a ? 1 < 0 ,即 0 < a < (2)当 3a ? 1 ≥ 0 ,即

1 3 ≤a≤ 时,只须证 a 4 (9 ? 2a 2 ) ≥ (3a ? 1) 2 3 3

即证

2 a 6 ? 9a 4 + 9 a 2 ? 6a + 1 < 0
6 4 2 6 4 2

因为 2a ? 9a + 9a ? 6a + 1 < 2a ? 9a + 9a ? 5

= (2a 2 ? 1)(a 2 ? 1)(a 2 ? 3) ? (a 2 + 2)


……15 分

1 3 ≤a≤ 时,有 2a 2 ? 1 < 0, a 2 ? 1 < 0, a 2 ? 3 < 0, a 2 + 2 > 0 3 3
6 4 2

所以, 2a ? 9a + 9a ? 6a + 1 < 0

……20 分

证法二:由条件知 9 = a + b + c ≥ 3a ,故 a ≤
2 2 2 2 2 2

3.
2 2

……5 分 ……10 分

又由 c 2 ? a 2 )(b 2 ? a 2 ) ≥ 0 知 bc ≥ a b + c ? a = a 9 ? 2a ( 只须证 a
2

9 ? 2a 2 > 3a ? 1
1 时,结论显然成立; 3

(1)当 3a ? 1 < 0 ,即 0 < a < (2)当 3a ? 1 ≥ 0 ,即

1 3 ≤a≤ 时,只须证 a 4 (9 ? 2a 2 ) > (3a ? 1) 2 3 3

即须证

2 a 6 ? 9a 4 + 9 a 2 ? 6a + 1 < 0

记 f ( a ) = 2 a 6 ? 9a 4 + 9 a 2 ? 6a + 1
5 3 3 2 因为 f ′( a ) = 12a ? 36a + 18a ? 6 = 12a ( a ? 3) + 6( a ? 3)



1 3 ≤a≤ 时,有 a 2 ? 3 < 0, 3 3

a?3< 0

故当

1 3 时 f ′( a ) < 0 , ≤a≤ 3 3
1 3 ≤a≤ 时单调递减 , 3 3
……15 分 ……20 分

因此 f (a ) 在

所以, f ( a ) ≤ f ( ) =

1 3

2 9 9 6 ? 4 + 2 ? + 1 < 0 ,即(*)成立 6 3 3 3 3
2 2 2

16、设正实数 a, b, c ,满足 a ≤ b ≤ c ,且 a + b + c = 9 . 证明: abc + 1 > 3a . 证明:由条件知 9 = a + b + c ≥ 3a ,故 a ≤
2 2 2 2

3.
2 2

……5 分 ……10 分

( 又由 c 2 ? a 2 )(b 2 ? a 2 ) ≥ 0 知 bc ≥ a b + c ? a = a 9 ? 2a
2 2

只须证 a

2

9 ? 2a 2 + 1 > 3a
2

(1)若 0 < a ≤ 1 ,则 9 ? 2a ≥

7>

9 2 2 2 ,从而 4a 9 ? 2a > 9a 4

于是 ( a 2 9 ? 2a 2 + 1) 2 ≥ 4a 2 9 ? 2a 2 > 9a 2 所以, a
2

9 ? 2a 2 + 1 > 3a .
3 ,则只须证 a 2 9 ? 2a 2 > 3a ? 1

……15 分

(2)若 1 < a ≤ 即证

2 a 6 ? 9a 4 + 9 a 2 ? 6a + 1 < 0
6 4 2 6 4 2

又因为 2a ? 9a + 9a ? 6a + 1 < 2a ? 9a + 9a ? 5

= (2a 2 ? 1)(a 2 ? 1)(a 2 ? 3) ? (a 2 + 2) < 0 ,结论成立.

……20 分


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