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2014年大庆实验中学高三文科数学得分训练试题(三)


大庆实验中学一部 2014 年高考得分训练(三) 文科数学
出题人:刘 仁 审题人:滕文秀 本试卷分为第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 2 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡 和试卷规定的位置上. 2.第 l 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3、第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修 正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.

x1 ? x2 ? x3

B. x2 ? x1 ? x3

C. x3 ? x2 ? x1

D. x2 ? x3 ? x1

8. 假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机,若这两条短信进人手机 的时间之差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为 ( ) A.

4 25

B.

8 25

C.

16 25
B. 2+

D. (

24 25
)

9. 某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为 A. 2+

1+ 5 ? 2

C. 2+ 1+ 5 ?

?

?

1+2 5 ? 2 2+ 5 D. 2+ ? 2
π 8

10. 动点 P 在函数 y ? sin 2 x 的图象上移动,动点 Q( x, y) 满足 PQ ? ( , 0) ,则动点 Q 的轨迹方程为 ( )

第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的。

2i 的共轭复数的虚部为 ?1 ? 2i 2 2 2 A. B. ? C. i 5 5 5 2. 已知 ?an ? 是以 1 为首项的等比数列,若 a7 a11 ? 100 ,则 a9 的值是 A.-10 B.10 C. ?10 0.1 0.1 3. 设 a ? 4 , b ? log3 0.1, c ? 0.5 ,则 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b
1. 在复平面内,复数 z ?

( D. ?

)

π? π? π? π? ? ? ? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? C. y ? sin ? 2 x ? ? D. y ? sin ? 2 x ? ? 8? 8? 4? 4? ? ? ? 11. 已知直线 l 与双曲线 C 一支交于 A , B 两点, F1 , F2 为双曲线的两个焦点,则 F1 , F2 在 ( A.以 A , B 为焦点的椭圆上或线段 AB 的垂直平分线上 B.以 A , B 为焦点的双曲线上或线段 AB 的垂直平分线上 C.以 AB 为直径的圆上或线段 AB 的垂直平分线上
A. y ? sin ? 2 x ? D.以上说法均不正确 12. 已 知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2 ln x( a ? R) , g ( x) ? ?

? ?



2 i 5
( ) ) )

1 x

a , 若至少 存在 一个 x0 ? ?1, e? , 使得 x
( D. ? 0, ??? )

D.不确定 (

A. ?1, ?? ?

f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则实数 a 的范围为
B. ?1, ?? ?

C. ?0, ???

D. b ? c ? a a?b 4. 若 a ? b ? 0, 集合 M ? {x | b ? x ? 则集合 M N 等于 ( }, N ? {x | ab ? x ? a}, 2 a?b a?b A. {x | b ? x ? ab} B. {x | b ? x ? a} C. {x | ab ? x ? D. {x | } ? x ? a} 2 2 5. 下列命题正确的个数是 ( ①“在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题;②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件;③回归分析中,回归方程可以是非线性方程. ④函数

第 II 卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应的位置。



? y?x ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? ay ? 4 ,若 z ? 3x ? y 的最大值为 16, 则 a ? ________ . ? y ?1 ?
14. 执行如右图所示的程序框图,输出 i 的值为_____.

y ? tan x 的对称中心是 (k? , 0) ⑤“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ” ;
A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图, AB 是半圆 O 的直径,C , D 是弧 AB 的三等分点,M , N 是线段 AB 的三等分点, 若 OA ? 6 , 则 MD ? NC 的值是 A. 2 B. 10 7. 已知函数 f ( x) ? x ? 为 x1 , x2 , x3 ,则

?a x , x ? 3, 15. 已 知 实 数 a ? 0 且 a ? 1 , 函 数 f ( x ) ? ? ? ax ? b , x ? 3.
an ? f (n) (n ? N* ) ,且 {an } 是等差数列,则 a ? ___, b ? ____.

若 数 列 {an } 满 足

uuu r uuu r

( C. 26
x

)

D. 28 ( )

x ? 1, g ( x) ? x ? 2 , h( x) ? x ? ln x 的零点分别

16. 已知点 E , F 分别是正方体 ABCD ? A 1 的中点,点 M , N 1B 1C 1D 1 的棱 AB, AA 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有 条。
D1

C1 A1

B1

F C D A E B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

1 2 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? ) ? cos x ? . 6 2 (I)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值 x 时的取值集合; 1 (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ? , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2
18. (本小题满分 12 分)今年春节黄金周,记者通过随机询问某景区 110 名游客对景区的服务是否满 意,得到如下的列联表:性别与对景区的服务是否满意(单位:名). 男 满意 不满意 总计 50 10 60 女 30 20 50 总计 80 30 110

?

(Ⅲ)在(II)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ON 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? (I) 求 f ( x ) 的单调增区间与单调减区间; (II)若 f ( x ) 存在极值且有唯一零点 x0 ,求 k 的取值范围及不超过

x2 ? kx ,其中常数 k ? R . 2
x0 的最大整数 m . k

请考生在第 22 题、23 题、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分。答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑。
22. (本小题满分 10 分) 《选修 4——1:几何证明选讲》 已知, 在 ?ABC 中,D 是 AB 上一点, ?ACD 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 BE . (I)求证: BC ? 2 BD ; (II)若 CD 平分 ?ACB ,且 AC ? 2 , EC ? 1 ,求 BD 的长.
A

D E B

C

(I)从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本,问样 本中满意与不满意的女游客各有多少名? (II)从(1)中的 5 名女游客样本中随机选取两名作深度访谈,求选到满意与不满意的女游客各一 名的概率; (Ⅲ)根据以上列联表,在犯错误不超过多少的情况下认为“游客性别与对景区的服务满意”有关
P( K 2 ? k0 )

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4——4:坐标系与参数方程》 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原 点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线 l 的参数方程为 ? 数) ,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 1 。 (I)求直线 l 与圆 C 的公共点个数;

?x ? 2 ? t ? (t 为参 ? ?y ? t

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

n(ad ? bc) 2 K2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 中,平面 A?BC ? 侧面 A?ABB ? . (I)求证: AB ? BC ; (II) 设点 M 是线段 A?C ? 中点, 点 N 是线段 A?C 中点, 若 AB ? BC ? AA? ? 2 , 求四棱锥 C ? MNBB ? 的体积。
A' M B' N C'

(II)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换 ?
2 2

?x ' ? x 得到曲线 C ' ,设 M (x, y ) 为曲线 C ' 上一点, ?y ' ? 2y

求 4 x ? xy ? y 的最大值,并求相应点 M 的坐标. 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4——5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (I)解不等式 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? 2 ; (II)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ? f ( x) .

1 x y 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b
以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切。 (I)求椭圆 C 的方程;
A

2

2

C B

(II) 设 P(4,0) ,A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点, 连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E , 证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;

大庆实验中学一部 2014 年高考得分训练(三) 文科数学参考答案
一、选择题: 1——5 ABCCC 6——10 CDCAD 11——12 BD 二、填空题: 13. 0 14. 5 15. 2,0 16. 1 17.解:(I) f ( x ) ? sin x ?

根据题目中列联表得: K ?
2

110 ? (50 ? 20 ? 30 ? 10) 2 539 ? ? 7.486 . ??????????10 分 80 ? 30 ? 60 ? 50 72

? 3 ? 1 1 3 1 cos x ? sin x ? ? cos2 x ? ? sin x cos x ? cos2 x 2 2 2 2 ? 2 ?

?

? 1 1 ? 1? 3 1 ?? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? .?????????????????2 分 ? 2? 2 2 6? 4 ? 4 2 ?

3 ? .当 f ( x) 取最大值时 sin(2 x ? ) ? 1, ?????????????4 分 4 6 ? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,解得 x ? k? ? , k ? Z . 6 2 6 ? ? ? 故 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? .??????????????????????6 分 6 ? ? ? 1 1 ? ?? 1 1 (II)由题意 f ( A) ? sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2 ? 5? ? ? ? 13? ) , ∴ 2A ? ? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , , ∴ A ? . ???????????8 分 3 6 6 6 6 6 ? 2 2 2 2 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos ? (b ? c) ? 3bc . 3 2 9 ?b?c? 9 2 由 b ? c ? 3 ,知 bc ? ? ? ? ,即 a ? 4 . ???????????????????10 分 ? 2 ? 4 3 3 ∴当 b ? c ? 时, a 取最小值 . ?????????????????????????12 分 2 2 5 5 ? 30 ? 3 名,不满意的女游客为 ? 20 ? 2 名.3 分 18. 解: (I)由题意,样本中满意的女游客为 50 50 (II)记样本中对景区的服务满意的 3 名女游客分别为 a1 , a2 , a3 ,对景区的服务不满意的 2 名女游
∴函数 f ( x) 的最大值为 客 分 别 为 b1 , b2 。 从 5 名 女 游 客 中 随 机 选 取 两 名 , 共 有 10 个 基 本 事 件 , 分 别 为 :

由 P( K 2 ? 6.635) ? 0.010 ??????????????????????????????11 分 可知:在犯错误不超过 0.010 的前提下,认为:该景区游客性别与对景区的服务满意有关。??12 分 19. (I)证:如图,作 A 在 A?B 上的射影 D .∵平面 ABC ⊥侧面 A?ABB ? ,且平面 A?BC 侧面 A?ABB ? ? A?B ,∴ AD ? 平面 A?BC 。??????????????????????1 分 BC ? 平面 A?BC , ∴ AD ? BC , ?????????????????????? 2 分 ∵三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 是直三棱柱,∴ AA? ⊥底面 ABC ,∴ AA? ? BC . ??????4 分 又 AA? AD ? A ,∴ BC ? 侧面 A?ABB ? , ????????????????? 5 分 AB ? 侧面 A?ABB ? ,故 AB ? BC . ?????????????????????? 6 分 (II)解:延长 MN 交 AC 于点 G , MN 为 ?AC ?C 的中位线. ? MN / / CC ? CC ? ? 面 ABC ? MN ? 面 ABC ?????????????????????????????? 6 分 AC ? 面 ABC ,? MN ? AC , ??????????????????????? 7 分 AB ? BC , G 为中点,? BG ? AC . ???????????????????? 8 分 BG MN ? G ? AC ? 面 BGN ,即 CG 为四棱锥 C ? MNBB ? 的高。??????? 9 分

1 1 2 AC ? 2 ? 22 ? 2 ???????????????????? 10 分 2 2 1 3 1 3 ? S梯形MNBB? ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 2 , V四棱锥C-MNBB? ? ? 2? 2 ?1 ?????12 分 2 2 3 2 x2 y2 ? ? 1 ???????????????????????????????2 分 20.解: (I) 4 3 (II)由题意可知 k BP 存在且不为 0. ? y ? k ( x ? 4) 2 2 2 2 消 y 得 (3 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 , ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 令 B( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ), 则 A( x1 ,? y1 ) ,?????????????????????4 分 y ? y1 所以 l AE : y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) x2 ? x1 令 y ? 0 ,由韦达定理化简得 x ? 1 , 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1,0) . ???????????????????7 分 CG ?
(Ⅲ) 1 当 M ,N 为椭圆长轴的两个顶点时, OM ON ? ?4 ????????????8 分
o

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ), (a1 , b2 ) , (a2 , a3 ), (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ), (a3 , b1 ) , ???????????????????????????5 分 (a3 , b2 ), (b1 , b2 ) .
其中事件 A:选到满意与不满意的女游客各一名包含了 6 个基本事件,分别为: (a1 , b1 ), (a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) (a2 , b2 ), (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , 所 以 所 求 概 率

? x ? my ? 1 2 2 20 ? 2 消 x 得: (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 2 ?3 x ? 4 y ? 12 令 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .
则 OM ON ? x1 y1 ? x2 y2 ? 所以 OM ON ? ?4, ? ? 4

P( A) ?

6 3 ? . 10 5

?????????????????????????????8 分
2

?12m2 ? 5 ? 5? ? ? ?4, ? ? 2 4? 3m ? 4 ?

??????????11 分

(Ⅲ)假设 H 0 :该景区游客性别与对景区的服务满意无关,则 K 应该很小.

? ?

5? ?

????????????????????????12 分

21.解:(I) f ?( x) ?

1 x 2 ? kx ? 1 ? x?k ? ( x ? 0). ??????????????????1 分 x x

① 当 k ? 2 时, f ?( x) ?

1 1 ? x?k ? 2 ?x ?k ? 2?k ? 0 , x x

22.选修 4—1:几何证明选讲 (I)连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形, 所以 ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,

函数 f ( x ) 为增函数. ????????????????????????????? 2 分 ②当 k ? 2 时, f ?( x) ?

x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下表:

( x ? x1 )( x ? x2 ) k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 ,其中 0 ? x1 ? ? x2 ? . x 2 2

3分

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )

x1
0
极大值

( x1 , x2 )
?
单调递减

x2
0
极小值

( x2 , ??)

?
单调递增

?
单调递增 ??????????5 分

BE BD ? , AB BC 又 AB ? 2 BE ,所以 BC ? 2 BD ???????????????????5 分 BE ED ? (II)由(I) ?DBE ∽ ?CBA ,知 , AB AC C ?2 D E , ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分线∴ DA ? 1 , 又 AB ? 2 BE , ∴A 设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC 1 ?1 ? 即 x ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ,解得 x ? 1 ,即 BD ? 1 ???????????10 分 2 ?2 ?
所以 ?DBE ∽ ?CBA ,即有 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 (I)直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 圆心到直线的距离为 d ? 圆 C 的方程是 x ? y ? 1
2 2

综合①②知当 k ? 2 时, f ( x ) 的增区间为 (0, ??) ,无减区间;

? k ? k2 ? 4 ? ?k ? k2 ? 4 ? , ?? ? , 当 k ? 2 时, f ( x ) 的增区间为 ? 0, ? 与? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 ? , 减区间为 ? ? . ?????????????6 分 2 2 ? ? ? ? (II)由(I)知当 k ? 2 时, f ( x ) 无极值; ????????????????????7 分

? 1 ,等于圆半径, 12 ? 12 ∴直线 l 与圆 C 的公共点个数为 1 ; ???????????????????????5 分 ? x ? cos ? ? x ? cos ? (II)圆 C 的参数方程方程是 ? ? 0 ? ? ? 2? ? ∴曲线 C ? 的参数方程是 ? ? y ? sin ? ? y ? 2sin ?

0?0? 2

k ? k2 ? 4 2 ? ? 1知 2 k ? k2 ? 4 x f ( x) 的极大值 f ( x1 ) ? ln x1 ? x1 ( 1 ? k ) ? 0 , f ( x) 的极小值 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 2 故 f ( x ) 在 ? 0, x2 ? 上无零点. ???????????????????????????8 分
当 k ? 2 时, 0 ? x1 ?

+xy ? y 2 ? 4cos 2 ? ? cos ? ? 2sin ? ? 4sin 2 ? ? 4 ? sin 2? ? 5? 2 2 当? ? 或? ? 时, 4 x +xy ? y 取得最大值 5
∴ 4x
2

4 ? 2 ? ? ? 2 此时 M 的坐标为 ? ? 2 , 2? ? 或? ?? 2 ,? 2 ? ? ? ? ? ? 4
24.选修 4-5:不等式选讲 (I)∵ f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? x ? 2 ? x . 因此只须解不等式 x ? 2 ? x ? 2 .

??????????????????10 分

4k k ? k ?4 ? 2k 2 ? ln(2k ) ? 0 ,又 1 ? x2 ? ?k, 2 2 故函数 f ( x ) 有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? x2 , 2k ? .???????????????????9 分 f (2k ) ? ln(2k ) ?
2

2

k k k ? k 2 ? ln k ? ,记 g (k ) ? ln k ? (k ? 2) , 2 2 2 1 1? k 2 22 g ?(k ) ? ? k ? ? 0, 则 g (k ) ? g (2) ? ln 2 ? ? ln 2 ? 2 ? 0 , k k 2 x 从而 f (k ) ? 0 , k ? x0 ? 2k , 1 ? 0 ? 2. ????????????????????11 分 k x0 故 k 的取值范围是 (2, ??), 不超过 的最大整数 m ? 1. ??????????????12 分 k
又 f (k ) ? ln k ?

2

2

2

当 x ? 0 时,原不式等价于 2 ? x ? x ? 2 ,即 x ? 0 . 当 0 ? x ? 2 时,原不式等价于 2 ? 2 ,即 0 ? x ? 2 . 当 x ? 2 时,原不式等价于 x ? 2+x ? 2 ,即 x =2 . (II)∵ f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1

综上,原不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 2? . ???????????????????5 分 又 a ? 0 时, ax ?1 ? a x ?1 ? ax ?1 ? ?ax ? a ? ax ?1? ax ? a ? a ? 1 ? f (a ) ∴ a ? 0 时, f (ax) ? af ( x) ? f (a ) . ??????????????????10 分 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.


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