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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学9


2013 年高考模拟试卷数学卷 数学(理科)试题卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题 卷上填写学校、班级、考号、姓名; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页, 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 果事件 A,B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A)

? P ( B ) . 球的表面积公式 S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式 V ?

4 3 ?R ,其中 R 表示球的半径.柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 3

表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.

第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) (1)已知集合 A ? {x x ? 1 , B ? {x ? 1 ? x ? 2} ,则 A ? B = } (A) {x ? 1 ? x ? 2} } (B) {x x ? ?1 (C) {x ? 1 ? x ? 1 (D) {x 1 ? x ? 2} } } (2)已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? (A) ?1 ? 2i (C) 1 ? 2i (A) 10 (C) 100 (B) (D)

?1 ? 2i 1 ? 2i
(B) 12 (D) 102


开始

(3)某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是

S=0 i =1

? 2 x ? y ? 0, ? (4)已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0, ?3 x ? y ? 5 ? 0, ?
则 2 x ? y 的最大值是 (A) 0
a b

i > 100 否 输出 S S=S+2 i =2i+1

结束

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(第 3 题)

(5)“ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的

(A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (6)若 ( x ?

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

1 7 ) 展开式中含 x 的项的系数为 280,则 a = ax 1 1 (A) ? 2 (B) 2 (C) ? (D) 2 2 (7)设 m, n 为两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列结论成立的是
(A)

m // n 且 m // ? ,则 n // ?

(B) m ? n 且 m ? ? ,则 n // ? (D) m // n 且 m ? ? ,则 n ? ?

(C) m ? n 且 m // ? ,则 n ? ?

(8)设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子, 现将这 5 个球随机放入这 5 个盒子内,要求每个盒子内放一个球,记“恰有 两个球的编号与盒子的编号相同”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为 (A)

1 6

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

(9)离心率为 e1 的椭圆与离心率为 e2 的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端 点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则

e12 ? 1 ? 2 e2 ? 1
(A) ? e1

(丽水 2013 届高考第一次模拟第 8 题改编)

(B) ? e2

(C) ?

1 e1

(D) ?

1 e2

(10)定义在 (0,??) 上的函数 f (x) 满足: f (2 x) ? 2 f ( x) ,且当 x ? (1,2] 时,

f ( x) ? 2 ? x ,
若 x1 , x2 是方程 f (x) ? a(0 ? a ? 1) 的两个实数根, x1 ? x2 不可能是 则 ... (丽水 2013 届高考第一次模拟第 10 题改编)

(A)24

(B)72

(C)96

(D)120

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
2 2 2 1.5 3

6 ? (11)已知 sin 2? ? sin ? , ? ? (0, ) ,则 5 2 tan ? ? .
(12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体
正视图

1.5
侧视图

2
2 2 俯视图

(第 12 题)

的体积为

.

? x 2 ? x, x ? 0, ? (13)若函数 f ( x) ? ? 2 是奇函数, ?ax ? x, x ? 0, ?
则a ? .

(14)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,其前 n 项和

S n ? n 2 ? an (n ? N *) ,则 a9 ?

.

(15)有甲、乙、丙三位同学,投篮命中的概率如下表: 同学 概率 甲 0.5 乙 丙

a

a
7 ,则 6

现请三位同学各投篮一次,设 ? 表示命中的次数,若 E ? =

a=

.
2 2

(16)若正数 a,b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? ab 的最大值为 (17) 如图, 已知圆 M :( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 , 四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E 为边 AB 的中点,当正方形
y

.

C D F M B A O E x

ABCD 绕圆心 M 转动,同时点 F 在边 AD 上运动时,

ME ? OF 的最大值是

.

(第 17 题) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.) 18、(本题满分 14 分) 已知 m ? cos ? x ? sin ? x, 3 cos ? x , n ? ? cos ? x ? sin ? x,2sin ? x ? ,其中

?

?

? ? 0 ,若函数 f ( x) ? m ? n ,且 f ( x) 的对称中心到 f ( x) 对称轴的最近距离不
小于

? 4

(Ⅰ)求 ? 的取值范围;(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且

a ? 1, b ? c ? 2 ,当 ? 取最大值时, f ( A) ? 1,求 ?ABC 的面积. (重庆模拟一
16 改编)

19、(本题满分 14 分)QQ 先生的鱼缸中有 7 条鱼,其中 6 条青鱼和 1 条黑鱼,计 划从当天开始,每天中午从该鱼缸中抓出 1 条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并

吃掉.若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉 1 条青鱼(规定青鱼不吃鱼). (1)求这 7 条鱼中至少有 6 条被 QQ 先生吃掉的概率; (2)以 ? 表示这 7 条鱼中被 QQ 先生吃掉的鱼的条数,求 ? 的分布列及其数学期 望 E? .(重庆模拟三 17 改编)

20、(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小. (成都七中高三第二次模拟18题改编)

21、(本小题满分 15 分) 已知 A? , 0 , B , 0) 为椭圆 C 的左、右顶点, F 为其右焦点, P 是椭 (2 ) (2 圆 C 上异于 A , B 的动点,且 ? P 面积的最大值为 2 3 . AB (Ⅰ)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D ,当直线 AP 绕点 A 转动时, 试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明.(慈溪 2012 高考 模拟 21 题改编)

22、(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x, g ( x) ? xe
1? x

.(a ? R, e为自然对数的底数)

时 (I)当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间;
(II)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; (III)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e? , 在? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1,2) , 使得 f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 求a 的取值范围。

1 2

2013 年高考模拟试卷数学卷 数学(理科)答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) (11) (12) (14) (17) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.) 18、(本题满分 14 分) (15)

(13) (16)

19、(本题满分 14 分)

20、(本小题满分 14 分)

21、(本小题满分 15 分)

22、(本小题满分 15 分)

2013 年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准 数学(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1-5: DABCB 6-10: CDAAB 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

4 3 1 (15) 3
(11)

(12) 108 ? 3? (16)

(13) ? 1 (17) 8

(14)

1 45

17 16

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.) 18、(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) ? m ? n ? cos ? x ? sin ? x ? 2 3 sin ? x ? cos ? x
2 2

?? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?
?? ? 0 ,? 函数 f (x) 的周期 T ?

??3 分

T ? 2? ? 1 ? ,由题意知 ? ,即 ? 1 , 4 4 2? ? ? 又 ? ? 0 ,?0 ? ?? 1 .故 ? 的取值范围是 ?? 0 ? ? ? 1? ??6 分

(Ⅱ)由(I)知 ? 的最大值为 1,? f (x) ? 2sin(2x ? ) .? f (A) ? 1 ,
? 1 ? ? 13 ? 5 ? sin(2A ? ) ? .而 ? 2A ? ? ? ,? 2A ? ? ? , 6 2 6 6 6 6 6 ? ? A ? . ??10 分 3 b2 ? c2 ? a 2 1 由余弦定理可知: cos A ? ? ,? b 2 ? c 2 ? bc ? 1 ,又 b ? c ? 2. 2bc 2 ?b ? 1 ?b ? 1 1 3 联立解得: ? 或? .?S?ABC ? bc ? sin A ? . ??14 分 c ? 1 ?c ? 1 2 4 ?

? 6

19、(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设 QQ 先生能吃到的鱼的条数为 ?

QQ 先生要想吃到 7 条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼, P ?? ? 7 ? ?

1 7

??2 分

QQ 先 生 要 想 吃 到 6 条 鱼 就 必 须 在 第 二 天 吃 掉 黑 鱼 ,
6 1 6 P ?? ? 6 ? ? ? ? 7 5 35
故 ??4 分 至 少 吃 掉 6 条 鱼 的 概 率 是

QQ





P ?? ? 6 ? ? P ?? ? 6 ? ? P ?? ? 7 ? ?

11 35

??6 分

QQ 先生能吃到的鱼的条数 ? 可取 4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到 4 条鱼: (Ⅱ)
前 3 天各吃掉 1 条青鱼,其余 3 条青鱼被黑鱼吃掉,第 4 天 QQ 先生吃掉黑鱼,其概 率为

6 4 2 16 P(? ? 4) ? ? ? ? ??8 分 7 5 3 35

6 4 1 8 P ?? ? 5 ? ? ? ? ? ??10 分 7 5 3 35

所以 ? 的分布列为(必须写出分布列, 否则扣 2 分)

?
P

4

5

6

7

16 35

8 35

6 35
??12 分

1 7

故 E? ?

4 ?16 5 ? 8 6 ? 6 7 ? 5 ? ? ? ? 5 ,所求期望值为 5. 35 35 35 35

??14 分

20、(本小题满分 14 分) 解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1,0,0) .??1 分 ??? ? ???? (Ⅰ)证明:∵ PB ? (2,0, ?2) , EH ? (1,0, ?1) , ??? ? ???? ∴ PB ? 2EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH .??5 分 ??? ? ???? ??? ? (Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1,0,0) , AF ? (0,1,1) , ??? ??? ? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0. ? PD ? AF , PD ? AH , 又? AF ? AH ? A , ? PD ? 平面 AHF .??9 分
(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) , EH ? (1,0, ?1) ,

??? ?

????

? ??? ? ?n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). n ? EH ? x ? z ? 0, ? ?

?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ? , ??12 分 2 | m || n | 2 ?1 2 ?? ? ? ?? m, n ?? 45? , ? 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .??14 分

又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0),

21、(本小题满分 15 分)

x2 y 2 解:(Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a b 1 y ? ? 2a ? b ? 2 3, 2 ? P 由题意知 ? 解得 b ? 3 , c ? 1 . a ? 2, ? 2 ? a ? b2 ? c2 .
1 x2 y 2 ? ? 1 ,离心率为 .??6 分 故椭圆 C 的方程为 2 4 3 (Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) . ? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4 16k 2 ? 12 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? . 3 ? 4k 2 12k 6 ? 8k 2 所以 x0 ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . ??10 分 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 因为点 F 坐标为 (1, 0) , 1 3 当 k ? ? 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2 2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 与直线 PF 相
切.
A O F

D

E B x

1 y0 4k 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . ? 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2 4k ( x ? 1) . 所以直线 PF 的方程为 y ? 1 ? 4k 2 2k ? 8k 3 8k 4k ? 2k ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 点 E 到直线 PF 的距离 d ? ? ? 2 | k |. 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 |1 ? 4k 2 | (1 ? 4k 2 ) 2
当k ? ? 又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

1 | BD | . 2

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. ?? 15 分 22、(本题满分 15 分) 解:(I)当 a ? 1时, f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, 则f ?( x) ? 1 ? 由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2.

2 , x

??1 分

故 f ( x)的单调减区间为? 0,2?, 单调增区间为?2, ???. (II)因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能,

??3 分

1 2

故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点,只要对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成 立,

1 2

1 2

1 2 ln x 恒成立。 2 x ?1 2 ln x 1 , x ? (0, ), 令 l ( x) ? 2 ? x ?1 2
即对 x ? (0, ), a ? 2 ?

??4 分

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 x ? , 则 l ( x) ? ? x 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2
2 1 ? 2, x ? (0, ), x 2 2 2 ?2(1 ? x) 则m ?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x x x2 再令m( x) ? 2 ln x ?

??5 分

1 1 故m( x)在(0, )上为减函数, 于是m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 2 1 从而,l ( x) ? 0, 于是l ( x)在(0, )上为增函数, 2 1 所以l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 ln x 故要使a ? 2 ? 恒成立, 只要a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? , x ?1
综上,若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 则a的最小值为2 ? 4ln 2. ??7 分 (III) g ?( x) ? e
1? x

1 2

? xe1? x ? (1 ? x)e1? x ,

当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0, 函数g ( x)单调递增; 当x ? ?1, e ?时, g ?( x) ? 0, 函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e1?e ? 0,
所以,函数 g ( x)在? 0, e? 上的值域为? 0,1?. ??8 分

当a ? 2时, 不合题意;

2 (2 ? a ) x ? 2 当a ? 2时, f ?( x) ? 2 ? a ? ? ? x x 2 当x ? 时, f ?( x) ? 0. 2?a 由题意得, f ( x)在 ? 0, e ? 上不单调,

(2 ? a )( x ? x

2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e

?

故0 ?

2 2 ? e,即a ? 2 ? 2?a e



??10 分

此时,当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

(0,

2 ) 2?a


2 2?a
0

? 2 ? , e? ? ?2?a ?
+

f ?( x)

f ( x) ↘ 最小值 ↗ 又因为,当x ? 0时, f ( x) ? ??, 2 2 f( ) ? a ? 2ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2, 2?a 2?a 所以,对任意给定的x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2),

使得f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 当且仅当a满足下列条件 :

2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2ln ? 0, ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1. ? ?
令h(a ) ? a ? 2 ln

② ③

2 2 , a ? ( ??, 2 ? ), 2?a e 2 a 则h ?(a ) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? , 令h ?( a) ? 0, 2?a a?2 得a ? 0或a ? 2, 故当a ? (??, 0)时, h ?( a) ? 0, 函数h( a)单调递增; 2 当a ? (0, 2 ? )时, h ?(a ) ? 0, 函数h( a)单调递减. e 2 所以, 对任意a ? (??, 2 ? ), 有h( a) ? h(0) ? 0, e 2 即②对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立。 e

??10 分

由③式解得: a ? 2 ?

3 . e ?1



综合①④可知,当 a ? ? ??, 2 ?

? ?

3 ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e? , e ? 1? ?

在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1,2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立。??15 分


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