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2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学试题及解答(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类)
本试题卷他选择题和非选择题(包括填空题和解答题)两部分.选择题部分 1 至 2 页.非选择 题部分 3 至 5 页.时量 120 分钟.满分 150 分. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么

P ( AB ) ? P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

球的体积公式 V ?

4 3

? R ,球的表面积公式 S ? 4 ? R ,其中 R 表示球的半径
3
2

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.函数 y ? A.(0,1)
log
2

x 的定义域是

B.(0,+∞)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a ? ( 2 , t ), b ? (1, 2 ), 若 t ? t 1 时, a ∥ b ; t ? t 2 时, a ? b ,则

A. t 1 ? ? 4 ,t 2 ? ? 1
5

B. t 1 ? ? 4 ,t 2 ? 1
3

C. t 1 ? 4 , t 2 ? ? 1

D. t 1 ? 4 , t 2 ? 1

3.若 ( ax ? 1) 的展开式中 x 的系数是 80,则实数 a 的值是 A.-2 B. 2 2 C. 3 4 D.2

4.过半径为 12 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60°则该截 面的面积是 A.π B.2π C. 3π D. 2
3?

5. “a=1”是“函数

f (x) ? x ? a

在区间[1,+∞)上为增函数”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在数字 1,2,3 与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列 个数是 A.6 B.12 C.18 D.24 7.圆 x 2
? y
2

? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0

上的点到直线 x ?

y ? 14 ? 0

的最大距离与最小距离的差是

A.36

B.18

C. 6
f ( x ) ? sin ? x

2

D. 5

2

8.设点 P 是函数 的最小值 A.2π
?
4

的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离

,则

f ( x ) 的最小正周期是

B.π
? y h
2 2

C.

?
2

D.

?
4

9.过双曲线 M: x 2

? 1 的左顶点

A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分

别相交于点 B、C,且 A.
5 2

AB ? BC

,则双曲线 M 的离心率是
5

B.

10 3

C.

D.

10

10.如图 1:OM∥AB,点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且
OP ? x OA ? y OB

B

,则实数对(x,y)可以是
M

A. ( C. ( ?

1 4 1 4

,

3 4

)

B. ( ? D. ( ?
1 5

2 3 ,

, 7 5

2 3 )

)

O

A 图1

,

3 4

)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题4分,共 20 分,把答案填在答题上部 对应题号的横 上. 11.若数列 ?a n ? 满足: a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n .n ? 1 ,2,3?.则 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? . 12.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有 40 人,乙班 50 人.现分析两个班的一次 考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分,则该校数学建模兴趣班 的平均成绩是 分.
?x ? 1 ? 13.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

则x2

? y

2

的最小值是

.

14.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有 _____________条. 15.若
f ( x ) ? a sin( x ?

?
4

) ? 3 sin( x ?

?
4

)

是偶函数,则 a=______________.

三.解答题:本大题共6小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)
sin(

?
2

? 2? ) ? cos ? ? 1, ? ? ( 0 , ? ),

已知

3 sin ? ?

cos( ? ? ? )

求 θ 的值.

17.(本小题满分12分) 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须整改.若 整改后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整 改前安检合格的概率是 0.5,整改后安检合格的概率是 0.8,计算(结果精确到 0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

18.(本小题满分14 分) 如图 2, 已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高 都是 2,AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.

P

D A B

C

Q 图2

19.(本小题满分 14 分) 已知函数
f ( x ) ? ax
3

? 3x

2

?1?

3 a

.

(I)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x ) 上两点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求 实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2?Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于后面某 数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列 ( n ? 1) n ( n ? 1) ? 321 的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a 1 ? 1 ,排列 321 的逆序数 a 3 ? 6 . (Ⅰ)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (Ⅱ)令 b n
? an a n ?1 ? a n ?1 an

,证明 2 n ? b1

? b 2 ? ? b n ? 2 n ? 3 ,n=1,2,?.

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1: C1 的右焦点. (Ⅰ)当 AB ? (Ⅱ)若 p
? 4 3

x

2

?

y

2

? 1 ,抛物线

4

3

C2: ( y ? m ) 2

? 2 px ( p ? 0 )

,且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆

x

轴时,求 p、m 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上;

且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上,求 m 的值及直线 AB 的方程.

2006 年湖南高考试卷数学(文史类)参考答案:
1-10:DCDAA BCBDC 11. 2 n
?1,

12.85, 13.5,

14.6,
cos 2? ? cos ?

15.-3.
? cos ? ? 1 .

16.解 由已知条件得 即
3 sin ? ? 2 sin
3 2
2

3 sin ? ?

? ?0

. .
?

解得 sin ?

?

或 sin ? ? 0 3 2

由 0<θ<π 知 sin ?

?

,从而 ?

?
3

或? ?

2? 3

.

17.解 (Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是 1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以 恰好有两家煤矿必须整改的概率是 P1
? C 5 ? (1 ? 0 . 5 ) ? 0 . 5
2 2 3

?

5 16

? 0 . 31

.

(Ⅱ)解法一 某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以 该煤矿被关闭的概率是 P2 ? (1 ? 0 . 5 ) ? (1 ? 0 . 8 ) ? 0 . 1 ,从而煤矿不被关闭的概率是 0.90. 解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况: (i)该煤矿第一次安检合格; (ii)该煤矿第一次安 检不合格,但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是 P2 ? 0 . 5 ? (1 ? 0 . 5 ) ? 0 . 8 ? 0 . 90 . (Ⅲ)由题设(Ⅱ)可知,每家煤矿不被关闭的概率是 0.9,且每家煤矿是否被关闭是相互独立 的,所以到少关闭一家煤矿的概率是 P3
? 1 ? 0 .9
5

? 0 . 41

.

18.解法一 (Ⅰ)连结 AC、BD,设 AC

? BD ? O

.

由 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥,所以 PO⊥平面 ABCD,QO⊥平面 ABCD. 从而 P、O、Q 三点在一条直线上,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)由题设知,ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 由(Ⅰ) ,QO⊥平面 ABCD.故可分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系(如图) ,由题条件,相关各点的坐标分 别是 P(0,0,2) ,A( 2 0,-2) ,B(0, 2
2 2

,0,0) ,Q(0,
D

z P

,0).
A x

C O B y

Q

所以 AQ

? ( ? 2 2 ,0 , ? 2 )

PB ? ( 0 , 2 2 , ? 2 )
AQ ? PB AQ ? PB

于是 cos

? AQ , PB ??

?

4 2 3?2 3

?

1 3

.

从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos (Ⅲ)由(Ⅱ) ,点 D 的坐标是(0,- 2
PQ ? ( 0 , 0 , ? 4 ) ,设 n ? ( x , y , z )
? n ? AQ ? 0 ? ? ? n ? AD ? 0 ?
2

1 3

.
? ( ? 2 2 , ? 2 2 ,0 )

,0) AD ,



是平面 QAD 的一个法向量,由

得?

? ? 2x ? z ? 0 ?x ? y ? 0 ?

.

取 x=1,得 n

? (1, ? 1, ? 2 )

.
PQ ? n

所以点 P 到平面 QAD 的距离 d

? n

? 2 2

.

解法二 (Ⅰ)取 AD 的中点,连结 PM,QM. 因为 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥, 所以 AD⊥PM,AD⊥QM.从而 AD⊥平面 PQM. 又 PQ ? 平面 PQM,所以 PQ⊥AD. 同理 PQ⊥AB,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 AC、BD 设 AC ? BD ? O ,由 PQ⊥平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上, 从而 P、A、Q、C 四点共面. 因为 OA=OC,OP=OQ,所以 PAQC 为平行四边形, AQ∥PC. 从而∠BPC (或其补角) 是异面直线 AQ 与 PB 所成的角. 因为 PB
? PC ? OC
2

P

D A M O B

C

? OP

2

?

(2 2 )

2

?2

2

? 2 3


1 3

所以 cos

? BPC =

PB + PC

2

2

? BC

2

2 PB ? PC

?

12 ? 12 ? 16 2?2 3 ?2 3
1 3

?

.
Q

从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos (Ⅲ)连结 OM,则 OM
? 1 2 AB ? 2 ? 1 2 PQ

.

.

所以∠PMQ=90°,即 PM⊥MQ. 由(Ⅰ)知 AD⊥PM,所以 PM⊥平面 QAD.从而 PM 的长是点 P 到平面 QAD 的距离. 在直角△PMO 中, PM
? PO
2

? OM

2

?

2

2

?2

2

? 2 2

.

即点 P 到平面 QAD 的距离是 2 19.解 (Ⅰ)由题设知 a 令
f ?( x ) ? 0 得 x 1 ? 0 , x 2 ? 2 a

2

.
2

? 0 , f ? ( x ) ? 3 ax

? 6 x ? 3 ax ( x ?

2 a

)

.

.

当(i)a>0 时, 若 x ? (?? , 0 ) ,则 若 x ? (0, 若x?(
2 a 2 a , ?? ) )

f ?( x ) ? 0

,所以

f ( x ) 在区间 ( ?? ,
2 a

2 a

)

上是增函数;

,则

f ?( x ) ? 0

,所以

f ( x ) 在区间 ( 0 ,

)

上是减函数; 上是增函数;

,则

f ?( x ) ? 0

,所以

f ( x ) 在区间 (

2 a

, ?? )

(ii)当 a<0 时, 若 x ? ( ?? ,
2 a )

,则

f ?( x ) ? 0

,所以

f ( x ) 在区间 ( ?? ,

2 a

)

上是减函数;

若 x ? (0, 若x?(
2 a

2 a

)

,则 ,则

f ?( x ) ? 0

,所以 ,所以

f ( x ) 在区间 ( 0 ,
2 a

2 a

)

上是减函数; 上是增函数;

,0 )

f ?( x ) ? 0

f ( x ) 在区间 (

,0 )

若 x ? ( 0 , ?? ) ,则 f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 ( 0 , ?? ) 上是减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线 y ? f ( x ) 上的两点 A、B 的纵坐标为函数的极值,且函 数y
? f ( x)

在x

? 0, x ?

2 a

处分别是取得极值

f (0) ? 1 ? 2 a

3 a



f(

2 a

)? ?

4 a
2

?

3 a

?1.

因为线段 AB 与 x 轴有公共点,所以 即 (?
4 a
2

f (0 ) ? f (

)? 0

. .

?

3 a

? 1)( 1 ?

3 a

)? 0

.所以
? 0

( a ? 1)( a ? 3 )( a ? 4 ) a
2

? 0

故 ( a ? 1)( a ? 3 )( a ? 4 ) ? 0 , 且 a

.

解得 -1≤a<0 或 3≤a≤4. 即所求实数 a 的取值范围是[-1,0)∪[3,4]. 20.解 (Ⅰ)由已知得 a 4 ? 10 , a 5 ? 15 ,
a n ? n ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n ( n ? 1) 2
n n?2 n?2 n n n?2 n?2 n

.

(Ⅱ)因为 b n 所以 b1

?

an a n ?1

?

a n ?1 an

?

?

? 2

?

? 2 , n ? 1, 2 , ?



? b2 ? ? ? bn ? 2n
? n n?2 ? n?2 n

.
? 2? 2 n 1 1 ? ? 2 n?2 1 3 )?( , n ? 1, 2 , ? 1 2 1 4

又因为 b n 所以 b 1


1 n ? 1 n?2 )]

? b 2 ? ? ? b n ? 2 n ? 2 [(

?

)?? ? (

= 2n ? 3 ?

2 n ?1

?

2 n?2

? 2n ? 3

. .
3 2

综上, 2 n ? b1

? b 2 ? ? b n ? 2 n ? 3 , n ? 1, 2 , ?

21.解 (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为 x=1,从而点 A 的坐标为(1, 因为点 A 在抛物线上,所以 此时 C2 的焦点坐标为(
9 16

3 2

)或(1,- ,即 p
? 9 8

).

9 4

? 2p

.

,0) ,该焦点不在直线 AB 上.

(Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
? y ? k ( x ? 1) ? 由? x2 y2 消去 ? ?1 ? 3 ? 4

y 得 (3 ? 4 k 2 ) x 2

? 8k x ? 4k

2

2

? 12 ? 0

.??①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=
8k
2 2

3 ? 4k

.
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦, 所以
AB ? ( 2 ?
p 2

1 2

x1 ) ? ( 2 ?
p 2 1 2

1 2

x2 ) ? 4 ?

1 2

( x 1 ? x 2 ) ,且
4 3

AB ? ( x 1 ?

) ? (x2 ? 4 3 16 9 ? 4?

) ? x1 ? x 2 ? p ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 )

.

从而 x 1 所以 x 1 解得 k 2

? x2 ? ?x2?

.
16 9

,即

8k

2 2

3 ? 4k

?

.

? 6, 即 k ? ? 6
2 3

. 在直线 y
? k ( x ? 1)

因为 C2 的焦点 F ? ( 即m 当m 当m
? 6 3 ? 6 3 或m ? ?

, m)

上,所以 m

? ?

1 3

k

.

6 3

.
? ? 6 ( x ? 1)

时,直线 AB 的方程为 y
6 3

; .

? ?

时,直线 AB 的方程为 y

?

6 ( x ? 1)

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) . 由?
8 ? 2 ?( y ? m ) ? x 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

消去 y 得 ( kx

? k ? m)

2

?

8 3

x

.

??①

因为 C2 的焦点 F ? ( 所以 m 即k 2x2
? k( 2 3 ? 1)

2 3

, m)

在直线 y
? ?
2

? k ( x ? 1)

上,
? 2k 3 )
2

,即 m

1 3

k

.代入①有 ( kx .??②

?

8 3

x

.

?

4 3

(k

2

? 2) x ?

4k 9

? 0

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2=
? y ? k ( x ? 1) ? 由? x2 y2 消去 ? ?1 ? 3 ? 4

4(k

2

? 2)
2

.

3k

y 得 (3 ? 4 k 2 ) x 2

? 8k x ? 4k

2

2

? 12 ? 0

.

??③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2= 从而
4(k
2

8k

2 2

3 ? 4k

.

? 2)
2



8k

2 2

3k

3 ? 4k
2 3

.解得 k 2 在直线 y

? 6, 即 k ? ? 6

.
? ? 1 3 k

因为 C2 的焦点 F ? ( 即m 当m 当m
? 6 3 ? 6 3 或m ? ?

, m)

? k ( x ? 1)

上,所以 m

.

6 3

.
? ? 6 ( x ? 1)

时,直线 AB 的方程为 y
6 3

; .

? ?

时,直线 AB 的方程为 y

?

6 ( x ? 1)

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1, 0 ) ,又是过 C2 的焦点 F ? ( 所以 即 x1
AB ? ( x 1 ?
? x2 ? 2 3 2 3 , m)

, .

p 2

) ? (x2 ?
16 9

p 2

) ? x1 ? x 2 ? p ? ( 2 ?

1 2

x1 ) ? ( 2 ?

1 2

x2 )

(4 ? p ) ?

.??①
? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? m?0 2 3 ?1 ? 3m

由(Ⅰ)知 x 1

? x2

,于是直线 AB 的斜率 k



??②

且直线 AB 的方程是 y 所以 y 1

? ? 3 m ( x ? 1)

, .??③
y 2 ? y1 x 2 ? x1 6 3

? y 2 ? ? 3m ( x1 ? x 2 ? 2 ) ?

2m 3

又因为 ?

? 3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 1 1
2 ?3 x 2 ?

?4

2 y2

? 12

,所以 3 ( x 1
2 3

? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ?

? 0

.??④

将①、②、③代入④得 m 2

?

,即 m

?

6 3

或m ? ?

.

当m 当m

?

6 3

时,直线 AB 的方程为 y
6 3

? ? 6 ( x ? 1)

; .

? ?

时,直线 AB 的方程为 y

?

6 ( x ? 1)


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