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南安一中2015~2016学年度上学期期中考高三数学理科参考答案


南安一中 2015~2016 学年度上学期期中考

高三数学理科参考答案
一.选择题: (1)B 【解析】 ∵ (1 ? i) z ? 2i ,∴ z ?

2i ? ?1 ? i ,∴ z 对应的点为 (?1,1) ,在第二象限. 1? i

(2)B 【解析】 A ? (1, ??) , B ? (??,0

) ? (3, ??) , CR B ? [0,3] , A ? (CR B) ? (1,3] , 选 B. (3)B 【解析】∵ x ? 0 ,∴ ? x ? 0 , f (? x) ? (? x)3 ? ln(1 ? x) ,∴ f (x) ? f ( ?x) ? x 3?ln(1 ? x ) (4)A 【解析】由三角形中大边对大角和正弦定理, A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B .故选 A

1 1? 1 1 cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 (5)D 【解析】? 终边在 y ? x 上,tan ? ? ,故 cos 2? ? ? ? 4? . 2 2 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 1 5 4
(6)A 【解析】 log 0.4 8 ? 0 , 1 ? 2 3 ? 2 2 ? (7)B 【解析】 f ?x ? 关于 ?
1 1

3 3 3 , log 4 8 ? log 22 2 ? ,故 b ? c ? a .故选 A. 2 2

2? ? T T ?? ? ? ? ,∴对称轴是 x ? ? ? k ,即 , 0 ? 对称,又周期 T ? 2 3 4 2 ?3 ?

7 k? 7 ?? ? .故选 B. , k ? Z ,当 k ? 0 时, x ? 12 2 12 (8)A 【解析】函数图象过原点,所以 D 排除;当 x ? 0 时函数是负数,C 函数原点左侧为正数, x?
所以 C 排除;B 函数有无数多个零点,且所以 B 排除,而 A 都满足,故选 A. (9)C 【解析】设 M 为 BC 中点, | OB ? OC |?

??? ? ????

? ???? ??? ? 1 ???? ? ??? ? ???? ? 1 ??? | OB ? OC ? 2OA |? | 2OM ? 2OA |?| AM | , 2 2
6 4

∴ | CB |?| AM | ,∴ ?ABC 为直角三角形.故选 C. (10)D 【解析】 由 y ? 4sin(2 x ? 1) 和 y ? x 图像可知,
5π 2 2π 3π 2 π π 2

??? ?

???? ?

2

π 2

π

3π 2



5π 2



2

两图象在 [2, 4] 无交点.故选 D.
4

(11)B 【解析】球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切, 故球心在底面的射影为底面的中心,设正三棱柱底面边长为 a ,高为 h , 则R ?

6

8

3 3 1 (2 3R)2 ? 2 R ? 6 3 , a ? ,即 a ? 2 3R , h ? 2 R ,故正三棱柱的体积 V ? 4 2 3
高三数学理科试卷参考答案 第 1 页 共 6 页

∴ R ? 1 ,故球的体积为 V球 ?

4 4 ? R3 ? ? ,故选 B. 3 3

C

(12)B 【解析】如图,由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥. 其中 SA ? 底面 ABCD , AD ? AB, BC ? AB , AD ? 1 ,
D B

SA ? AB ? BC ? 2 ,经计算知最长棱为 SC ? 2 3 .故选 B.
二.填空题:

S

A

(13) ?2 【解析】根据题意有 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,从而求得函数是周期函数,且周期为 6 ,所以

f (2015) ? f (?1) ? ? f (1) ? 2 ,所以 f (1) ? ?2 .
(14) 2 【解析】

?

2

0

| 2 x ? 2 | dx ?? (2 ? 2 x)dx ? ? (2 x ? 2)dx ?2 .
0 1

1

2

(15) [6, ??) 【解析】三棱柱的侧面积随侧棱与底面的夹角的增加而减小,当且仅当三棱柱是正 三棱柱时,侧面积最小为 6,故侧面积的取值范围是 [6, ??) . (16) c ? 3 ? 1 【解析】由 2 cos 即 cos B ?
2

A?C ? ( 2 ? 1) cos B ? 1 ? cos( A ? C ) ? 2 cos B ? cos B 2

2 6 b c ? B ? 45o ,又 A ? 60o ,∴ C ? 75o ,由正弦定理, ? ? o o 2 sin 60 sin 45 sin 75o

o ∴ b ? 2, c ? 3 ? 1 , 但 b ? 2 时,则原题设为: a ? 6, b ? 2, B ? 45 ,可求得 A 有两个值

60o ,120o ,不合题意,舍去. c ? 3 ? 1 时,经检验,符合题意.
三.解答题: (17) 【解析】 (Ⅰ)? 3cos C ? 3 sin C ?

3a 3sin A ? , b sin B

?3sin B cos C ? 3sin B sin C ? 3sin A ? 3sin( B ? C) ? 3sin B cos C ? 3sin C cos B ,
? 3sin B sin C ? 3sin C cos B , ∵ sin C ? 0

? 3 sin B ? 3cos B , 即 tan B ? 3 ,
(Ⅱ)由 S?DBC ?

∴ B?

?
3



…… 6 分

1 1 3 3 BC ? BD ? sin B ? ? 2 ? BD ? ? , ∴ BD ? 1 , …… 8 分 2 2 2 2
高三数学理科试卷参考答案 第 2 页 共 6 页

∴ 在 ?DBC 中, CD ? BC ? BD ? 2 BC ? BD ? cos B ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1?
2 2 2

1 ? 3 , …… 10 分 2

∴ AD ? CD ? 3 ,

∴ c ? AB ? AD ? BD ? 3 ? 1. …… 12 分

(18) 【解析】 由底面 ABCD 为菱形且 ?ABC ? 60 ,∴ ?ABC , ?ADC 是等边三角形,
o

取 DC 中点 O ,有 OA ? DC, OP ? DC , ∴ ?POA 为二面角 P ? CD ? A 的平面角, ∴ ?POA ? 90 .
o

分别以 OA, OC , OP 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系如图, 则 A( 3,0,0), P(0,0, 3), D(0, ?1,0), B( 3, 2,0), C(0,1,0) . (Ⅰ)由 M 为 PB 中点, M ( …… 3 分

???? ? 3 3 3 3 ,1, ), ∴ DM ? ( , 2, ), 2 2 2 2

z
P M D O A C B

??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? PA ?DC ( 3,0, ? (0, ? 2,0), 3), ? PA?DM ? 0, PA?DC ? 0
∴ PA ? DM …… 6 分

y

??? ? ???? ???? (Ⅱ)由 DC ? (0, 2,0) , PA ? DC ? 0 ,∴ PA ? DC ,

??? ? ∴ 平面 DCM 的法向量可取 PA ? ( 3,0, ? 3),

…… 9 分

x

??? ? PC ? (0,1, ? 3) , 设直线 PC 与平面 DCM 所成角为 ? ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? PA 3 6 ? ??? ? |? 则 sin ? ?| cos ? PC, PA ?|?| ??? . ? | PC || PA | 6 ?2 4
…… 12 分

(19) 【解析】

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

x ?1 2? x ? 1 , f '( x) ? x , x e e

∴ 切线斜率 k ? f ?(1) ? ∴ 切线方程为 y ? 1 ?

1 ,又切点 (1, ?1) , e

1 ( x ? 1) 即 x ? ey ? e ? 1 ? 0 . ……… 5 分 e x ?1 x ?1 ?1? x ? a , (Ⅱ) f ( x) ? 0 ? x ae e
高三数学理科试卷参考答案 第 3 页 共 6 页

记 g ( x) ?

x ?1 ex

由 g '( x) ?

2? x ?0 得 x ? 2, ex
4 2 2 4 6

∴ g ( x) 的情况如下表:

x
g '( x ) g ( x)

(??,2)

2
0
极大值

(2,??)
?
单调递减

1

2

?
单调递增

3

…… 8 分

4

5

6

又 x ??? 时, g ( x) ? ?? ; x ??? 时, g ( x) ? 0 , g ( x) max ? g (2) ? 若 f ( x ) 没有零点,即 y ? g ( x) 的图像与直线 y ? a 无公共点, 由图像知 a 的取值范围是 a ?

1 , e2

1 . ………… 10 分 e2 1 . …… 12 分 e2

(Ⅲ)∵ a ? 0 ,若 f ( x ) 恰有一个零点,则 a 的取值范围是 a ? 0 或 a ?

D 为中点, AA1 ? A1D ? 2 , (20) 【解析】 ∵ A 1 D ? CC1 ,且
∴ AC ? AC 1 1 1 ? 5 ? AC , 又 BC ? 1, AB ? BA 1 ? 2,

z

C
y

D

C1

A
∴ CB ? BA, CB ? BA 1, 又 BA ? BA1 ? B ,∴ CB ? 平面 ABB1 A 1,

F M B

A1
x

B1

取 AA1 中点 F ,则 BF ? AA1 ,即 BC, BF , BB1 两两互相垂直, 以 B 为原点, BB1 , BF , BC 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系如图, …… 3 分 ∴ B1 (2,0,0), C (0,0,1), A(?1, 3,0), A1 (1, 3,0), C1 (2,0,1), D(1,0,1), M ( ,

1 3 ,0) …… 4 分 2 2

(Ⅰ)设平面 ABC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 m ? BA ? ? x ? 3 y ? 0 , m ? BC ? z ? 0 ,

??? ?

??? ?

高三数学理科试卷参考答案

第 4 页 共 6 页

取 m ? ( 3,1,0) , ∵ MD ? ( , ?

???? ?

1 2

???? ? 3 3 3 ,1) , m ? MD ? ? ?0 ? 0, 2 2 2

∴ m ? MD ,又 MD ? 平面 ABC , ∴直线 MD ∥平面 ABC . …… 7 分 (Ⅱ)设平面 ACA1 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , AC ? (1, ? 3,1), AA 1 ? (2,0,0) ,

???? ?

??? ?

????

??? ? ???? m ? AC ? x1 ? 3 y 1? z 1? 0 , m ? AA1 ? x1 ? 0 , 取 n ? (0,1, 3) , …… 9 分
又由(Ⅰ)知平面 ABC 的法向量为 m ? ( 3,1,0) ,设二面角 B ? AC ? A1 为 ? ,…… 10 分 ∵ 二面角 B ? AC ? A1 为锐角,∴ cos ? ?| ∴ 二面角 B ? AC ? A1 的余弦值为

m?n 1 1 |? ? , | m | ?| n | 2?2 4

1 . ………… 12 分 4

(21) 【解析】 (Ⅰ)令 F ( x) ? g ( x) ? 2 ? 由 F ?( x) ? 0 ? x ? e

e e 1 e x?e ? ln x ? 2 ? , ∴ F ?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x x

∴ F ( x) 在 (0, e] 递减,在 [e, ??) 递增,

∴ F ( x) min ? F (e) ? ln e ? 2 ?

e ?0 e
x

∴ F ( x) ? 0 即 g ( x ) ? 2 ?
?x

e 成立. …… 5 分 x

(Ⅱ) 记 h( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ax ? e ? e

? ax , ∴ h( x) ? 0 在 [0, ??) 恒成立,
x ?x

h?( x) ? ex ? e? x ? a ,

∵ h??( x) ? e ? e

? 0,
…… 7 分

∴ h?( x) 在 [0, ??) 递增, 又 h?(0) ? 2 ? a ,

∴ ① 当 a ? 2 时, h?( x) ? 0 成立, 即 h( x) 在 [0, ??) 递增, 则 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? f (? x) ? ax 成立; …… 9 分

② 当 a ? 2 时,∵ h?( x) 在 [0, ??) 递增,且 h?( x)min ? 2 ? a ? 0 , ∴ 必存在 t ? (0, ??) 使得 h?(t ) ? 0 .则 x ? (0, t ) 时, h?(t ) ? 0 , 即 x ? (0, t ) 时, h(t ) ? h(0) ? 0 与 h( x) ? 0 在 [0, ??) 恒成立矛盾,故 a ? 2 舍去. 综上,实数 a 的取值范围是 a ? 2 . …… 12 分
高三数学理科试卷参考答案 第 5 页 共 6 页

(22) 解析略

(23) 【解析】 (Ⅰ)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,

6

∴ 曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y 2 4 4 分 ? ? 1 ,点 R 的直角坐标为 (2, 2) . …… 1 3
2

(Ⅱ) 曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? cos ? ( ? 为参数, ? ?[0, 2? ) ) , ? ? y ? 3 sin ?
2π π

S P

R Q
π

∴ 设 P(cos ? , 3sin ? ) ,如图,依题意可得: 3π

| PQ |? 2 ? cos? ,| QR |? 2 ? 3sin ? , …… 6 分
∴ 矩形周长 ? 2 | PQ | ?2 | QR |? 4 ? 2 cos ? ? 4 ? 2 3 sin ? ? 8 ? 4sin(? ? ∴ 当? ?

2

?
4

?
3

6

) ,…… 8 分

时,周长的最小值为 4 .此时,点 P 的坐标为 ( , ) . …… 10 分
6

1 3 2 2

(24) 【解析】 (Ⅰ) | g ( x) |? 5 即 ?5 ? g ( x) ? 5 ,∴ ?5 ?| x ? 1| ?3 ? 5 即 ?8 ?| x ? 1|? 2 , ∴ ?2 ? x ? 1 ? 2 即 ?1 ? x ? 3 , ∴ 不等式的解为 ?1 ? x ? 3 . …… 4 分 (Ⅱ)对任意 x2 ? R ,都有 x1 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, ∴ { y | y ? g ( x)} ? { y | y ? f ( x)} , …… 6 分 又 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 4 |?| (2 x ? a) ? (2 x ? 4) |?| a ? 4 | ,…… 8 分

g ( x) ?| x ? 1| ?3 ? 3 , ∴ | a ? 4 |? 3
解得 ?7 ? a ? ?1 , ∴ 实数 a 的取值范围是 ?7 ? a ? ?1 ……10 分

高三数学理科试卷参考答案

第 6 页 共 6 页


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