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高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 计数原理 1.3 二项式定理

一、学习任务 理解二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题.

二、知识清单
二项式定理的通项 二项式定理中的赋值法 二项式定理的应用

三、知识讲解
1.二项式

定理的通项 描述: 一般地,对于任意正整数 n ,都有
n 1 n?1 n?k k n ? ( a + b) n = C 0 b + ? + Ck b + ? + Cn n a + Cn a na n b (n ∈ N )

这个公式叫做二项式定理(binomial theorem),等号右边的多项式叫做 (a + b)n 的二项展开式,二项展开式共有 k n?k k n + 1 项,其中各项系数 Ck b n (k = 0,1 ,2 ,?,n)叫做二项式系数(binomial coefficient),式中的 Cn a 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项为展开式的第 k + 1 项:
n?k k Tk+1 = Ck b . na

1 n 一般地,(a + b)n 展开式的二项式系数 C0 n ,Cn ,?,Cn 有如下性质: m n ? m (1)对称性:Cn = Cn ; m?1 (2)Cm = Cm n + Cn n+1 ;

(3)增减性与最大值.当 k < 中间取得最大值.

n+1 时,二项式系数 Ck n 是逐渐增大的,由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在 2
n

当 n 为偶数时,中间的二项式系数 Cn2 最大;当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数

Cn 2

n?1

和 Cn 2

n+1

最大.

1 4 例题: 求 (3√x + ) 的展开式.
解:

√x

(3√x +

1 4 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 4 3 2 1 0 ) = C0 ) + C1 ) + C2 ) + C3 ) + C4 ) 4 (3√x ) ( 4 (3√x ) ? ( 4 (3√x ) ? ( 4 (3√x ) ? ( 4 (3√x ) ? ( x x x x x √ √ √ √ √ √x 12 1 = 81x2 + 108x + 54 + + x x2
10

2 ) 的展开式中: x (1)求展开式第 4 项的二项式系数; (2)求展开式第 4 项的系数; (3)求第 4 项.
二项式 (x ? 解:(x ?

2 ) x

10

的展开式的通项是
10?k ? (? Tk+1 = Ck 10 ? x

k 10?2k = Ck 10 ? (?2) ? x 3

2 k ) x

= 120

(1)展开式的第 4 项的二项式系数为 C3 10 = 120. 3 (2)展开式的第 4 项的系数为 C10 ? (?2)3 = ?960 . 3 4 4 (3)展开式的第 4 项为:T4 = C3 10 ? (?2) ? x = ?960x . 二项式 (x ? y)11 的展开式中二项式系数最大的项为( ) A.第 3 项 B.第 6 项 C.第 6 、7 项 D.第 5 、7 项 解:C 展开式共有 12 项,故中间两项即第 6 、 7 项的二项式系数相等,且最大.

2.二项式定理中的赋值法 描述: 各二项式系数和
1 2 2 r r n n 已知 (1 + x)n = C0 n + Cn x + Cn x + ? + Cn x + ? + Cn x ,令 x = 1,则 1 1 2 n 2 n = C0 n + Cn + Cn + Cn + ? + Cn .

这就是说,(a + b)n 的展开式的各个系数的和等于 2 n . 例题: 若 (x + A.10 解:B

1 ) x

n

展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( B.20 C.30

) D.120

1 n 6?r ( 1 )r = Cr x 6?2r . ) 展开式的二项式系数之和为 2 n ,所以 2 n = 64,解得 n = 6,所以 Tr+1 = Cr 6x 6 x x 由 6 ? 2r = 0 得 r = 3,所以其常数项为 T3+1 = C3 . = 20 6
因为 (x + 若 (1 ? 2x)2009 = a0 + a1 x + ? + a2009x2009(x ∈ R),则 A.2 解:C 令 x= B.0

a1 a a a + 2 + 3 + ? + 2009 的值为( 2 22 23 2 2009 C.?1

) D.?2

1 a a a a2009 a a a ,可得 a0 + 1 + 2 + 3 + ? + = 0 ,所以 1 + 2 + ? + 2009 = ?a1 ; 2 3 2 2 2 2 2 2 2009 22 2 2009 a1 a2 a2009 再令 x = 0,可得 a0 = 1 ,因而 + +?+ = ?1. 2 22 2 2009
设 (2 ? x)100 = a0 + a1 x + a2 x2 + ? + a100 x 100 ,求下列各式的值. (1)a0 ; (2)a1 + a2 + a3 + a4 + ? + a100 ; (3)a1 + a3 + a5 + ? + a99 . 解:(1)令 x = 0,得 a0 = 2 100 . (2)令 x = 1 可得 a0 + a1 + a2 + ? + a100 = 1 ? ①,所以

a1 + a2 + ? + a100 = 1 ? 2 100 .
(3)令 x = ?1 可得 a0 ? a1 + a2 ? a3 + ? + a100 = 3 100 ? ②,与 ① 式联立相减得

a1 + a3 + ? + a99 =

1 ? 3 100 . 2

3.二项式定理的应用 描述: 二项式定理一般应用在以下几个方面: ①进行近似计算.当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 + a)n ≈ 1 + na,因为这时展开式的后面 3 3 n n 很小,可以忽略不计;类似地,有 2 部分 C2 (1 ? a)n ≈ 1 ? na. n a + Cn a + ? + Cn a ②证明某些整除性问题或求余数;

③证明有关的不等式.

例题: (1)求 1.0035 5 精确到 0.001 的近似值; (2)求 1.9975 精确到 0.001 的近似值. 解:(1)1.0035 5 = (1 + 0.0035)5 ≈ 1 + 5 × 0.0035 = 1.0175 ≈ 1.018. (2)
4 2 2 3 5 5 1.9975 = (2 ? 0.003)5 = 2 5 ? C1 5 ? 0.003 ? 2 + C5 ? 0.003 ? 2 ? ? ? C5 ? 0.003 ≈ 32 + 0.24 ? 0.00072 ≈ 31.760 .

(1)9192 被 100 除所得余数为( ) A.1 B.81 C.?81 D.9 92 2 n +2 (2)求证:3 ? 8n ? 9(n ∈ N) 能被 64 整除. 92 1 91 2 90 2 91 91 92 92 解:(1)(90 + 1)92 = C0 92 ? 90 + C92 ? 90 ? 1 + C92 ? 90 ? 1 + ? + C92 ? 90 ? 1 + C92 ? 1 .前 91 项均能被 100 整除,剩下两项为 92 × 90 + 1 = 8281 ,显然 8281 除以 100 所得余数为 81. (2)

3 2n+2 ? 8n ? 9 = (8 + 1)n+1 ? 8n ? 9 n+1 n n 1 n+1 0 = C0 + C1 n+1 8 n+1 8 + ? + Cn+1 8 + Cn+1 8 ? 8n ? 9 n+1 n n 1 = C0 + C1 n+1 8 n+1 8 + ? + Cn+1 8 + 1 ? 8n ? 9 0 n+1 1 n n?1 2 = Cn+1 8 + Cn+1 8 + ? + Cn+1 8 . 该式每一项都含因式 8 2 ,故能被 64 整除.
求证:对一切 n ∈ N ? ,都有 2 ? (1 + 解:因为

1 n ) < 3. n

(1 +

1 n 1 1 2 1 3 1 n 1 3 n + C2 ) = C0 n + Cn ? n ? ( ) + Cn ? ( ) + ? + Cn ? ( ) n n n n n 1 n?1 1 n?1 n?2 1 n?1 n?2 1 = 1+1+ ? + ? +?+ ? ? ? . n n n n n n 2! 3! n!

所以

2 ? (1 +

1 n 1 1 1 + + ) < 2+ n 2! 3! n! 1 1 1 < 2+ + +?+ 1×2 2×3 (n ? 1)n 1 1 1 1 1 = 2 + (1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) 2 2 3 n?1 n 1 = 3 ? < 3, n

当且仅当 n = 1 时,(1 +

1 n 1 ) = 2;当 n ? 2 时,2 ? (1 + )n < 3. n n

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 在 (2x 2 ? A.10
答案: D 解析:

1 5 ) 的二项展开式中,x 的系数为 ( x
B.?10

)
C.40 D.?40

2 Tr+1 = Cr 5 (2x )

1 r ) x r 5?r 10?3r = Cr . x 5 (?1) 2
5?r

(?

由 10 ? 3r = 1 ,得 r = 3,所以 x 的系数为 ?40 . 2. 在 (1 + 2x ? x2 ) 展开式中, x7 的系数是 (
4

)

A.?8
答案: A 解析:

B.12
3 1 1 x7 项系数为 C0 4 C4 2 (?1) = ?8 .

C.6

D.?12

3. 已知 (ax + 1)n 的展开式中,二项式系数和为 32 ,各项系数和为 243 ,则 a 等于 ( A.?2
答案: B 解析: 由二项式系数和为

)
D.3

B.2

C.?3

2 n = 32 ,得 n = 5 . 又令 x = 1 ,得各项系数和为 (a + 1)5 = 243 , 所以 a + 1 = 3 , 故 a = 2 .


4. 已知 (1 ? x)5 = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 ,则 (a0 + a2 + a4 ) ? (a1 + a3 + a5 ) 的值等于
答案: 解析: 分别对

?256

x 赋值,令 x = 1, ?1 即可得到答案.

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