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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件 理


第五章 平面向量

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1

.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内两个 不共线 的向量,那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有 2.平面向量的坐标运算 一对实数λ1、λ2,使a= λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 .

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a+b=

(x1+x2,y1+y2)
2 x2 + y 1 1

,a-b=
.

(x1-x2,y1-y2)



λa= (λx1,λy1) ,|a|=

答案

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
→= ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB → |= (x2-x1,y2-y1) ,|AB

?x2-x1?2+?y2-y1?2
.

3.平面向量共线的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) (a≠0),如果a∥b,那么 x1y2-x2y1=0 ;

反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.
答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × ) (2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( √ ) (3) 平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向 量都可被这组基底唯一表示.( √ )

x1 y1 (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成 = .( × ) x2 y2
(5) 当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐 标.( √ )
答案

2

考点自测

① 1.设e1,e2是平面内一组基底,那么下列说法正确的是 ________( 填
序号). ①若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0; ②空间内任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数); ③对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内; ④对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对.

1 2 3 4 5

答案

→ =2DB → ,CD → =rAB → +sAC → ,则 r+s 2.在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD

0 =________.
解析 → =2DB →, 因为CD

2→ 2 → → 2→ 2 → → 所以CD=3CB=3(AB-AC)=3AB-3AC,

2? 2 ? ? ? 则 r+s=3+?-3?=0. ? ?

1 2 3 4 5

解析答案

→ =(2,4),AC → =(1,3),则向量BD →的 3.在?ABCD 中,AC 为一条对角线,AB

(-3,-5) 坐标为__________.
解析 → +BC → =AC → ,∴BC → =AC → -AB → =(-1,-1), ∵AB

→ =AD → -AB → =BC → -AB → =(-3,-5). ∴BD

1 2 3 4 5

解析答案

π 4.设 0<θ<2,向量 a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若 a∥b, 1 则 tan θ=________. 2
解析 ∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2 θ=0,

∴2sin θcos θ-cos2 θ=0,

π ∵0<θ<2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,

1 ∴tan θ=2.
1 2 3 4 5
解析答案

5.已知? ABCD的顶点 A( - 1,- 2) ,B(3 ,- 1) , C(5,6),则顶点 D

(1,5) 的坐标为________.

解析

→ =DC → ,得(4,1)=(5-x,6-y), 设 D(x,y),则由AB

? ? ?4=5-x, ?x=1, 即? 解得? ? ? ?1=6-y, ?y=5.

1 2 3 4 5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

平面向量基本定理的应用

(1)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 4 → =λAM → +μAN → ,则 λ+μ=________. 的中点,若AB 5 例1

解析

→ =AN → +NB → =AN → +CN → =AN → +(CA → +AN →) 因为AB

1→ → → → → → =2AN+CM+MA=2AN-4AB-AM, 8→ 4 → → 所以AB= AN- AM, 5 5 4 所以 λ+μ=5.
解析答案

1→ → (2)如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点, 3 3 2→ → → 11 若AP=mAB+11AC,则实数 m 的值为________.
解析 → =kBN → ,k∈R. 设BP

→ =AB → +BP → =AB → +kBN → 因为AP
1→ → → → → → =AB+k(AN-AB)=AB+k(4AC-AB) k→ → =(1-k)AB+4AC, 2→ k 2 → → 且AP=mAB+ AC,所以 1-k=m, = , 11 4 11 8 3 解得 k= ,m= . 11 11
思维升华 解析答案

跟踪训练1
→ → → 1→ → 1 → (1)在平行四边形 ABCD 中,AB=e1,AC=e2,NC=4AC,BM=2MC, 2 5 - e1+ e2 → 3 12 则MN=_______________.( 用 e1,e2 表示)
→ =CN → -CM → 解析 如图,MN 2→ → → → =CN+2BM=CN+3BC 1→ 2 → → =-4AC+3(AC-AB)
1 2 =- e2+ (e2-e1) 4 3 2 5 =-3e1+12e2.
解析答案

(2)如图,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交 1 xy → → → → 于 M,N 两点,且AM=xAB,AN=yAC,则 的值为________. 3 x+y
解析 1→ 1→ → → → +yAC →, 易知AG=3AB+3AC,MN=-xAB

?1 ? 1→ ? ?→ → 故MG=?3-x?AB+ AC. 3 ? ?
?1 ? 1 ? ? → → 由于MG与MN共线,所以?3-x?y=-3x, ? ?

1 xy 1 即 xy= (x+y),因此 = . 3 x+y 3
解析答案

题型二

平面向量的坐标运算

例 2 (1) 已知 a = (5 ,- 2) , b = ( - 4 ,- 3) ,若 a - 2b + 3c = 0 ,则 c = ? 13 4? ? ? - ,- ? _______________. 3 3? ? ? 解析 由已知3c=-a+2b

=(-5,2)+(-8,-6)=(-13,-4).
所以
? 13 4? ? ? c=?- 3 ,-3?. ? ?

解析答案

→ 同方向的单位向量为 (2)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB
?3 4? ? ? ? ,- ? 5? ?5 __________.

解析

→ =OB → -OA → =(4,-1)-(1,3)=(3,-4), AB
A→ B |A→ B|
?3 4? ? =?5,-5? ?. ? ?

→ 同方向的单位向量为 ∴与AB

思维升华

解析答案

跟踪训练2
→ = 3a ,则点 B 的坐标为 (1) 已知点 A( - 1,5) 和向量 a = (2,3) ,若 AB
(5,14) __________.

解析

→ =(x+1,y-5). 设点 B 的坐标为(x,y),则AB

? ? x + 1 = 6 , ? ?x=5, → 由AB=3a,得? 解得? ? ? ?y-5=9, ?y=14.

解析答案

→ =2PC → ,点 Q 是 AC 的中点,若PA →= (2)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP → =(1,5),则BC → =________. (-6,21) (4,3),PQ
解析 → =3PC → =3(2PQ → -PA → )=6PQ → -3PA → =(6,30)-(12,9)=(-6,21). BC

解析答案

题型三

向量共线的坐标表示

命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标
例3 (1)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b= (-4,-8) ____________. 解析 由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,

得1×m=2×(-2),即m=-4. 从而b=(-2,-4), 那么2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).
解析答案

(2) 已知梯形 ABCD ,其中 AB∥CD ,且 DC = 2AB ,三个顶点 A(1,2) , (2,4) B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________. 解析 ∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,

→ =2AB →. ∴DC
设点D的坐标为(x,y),

→ =(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),AB → =(2,1)-(1,2)=(1,-1), 则DC
∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
? ? ?4-x=2, ?x=2, ∴? 解得? 故点 D 的坐标为(2,4). ? ? ?2-y=-2, ?y=4,
解析答案

命题点2 利用向量共线求参数
若三点 A(1 ,-5),B(a ,-2),C( -2 ,-1)共线,则实数a的 5 -4 值为________. 例4

→ =(a-1,3),AC → =(-3,4), 解析 AB → ∥AC →, 根据题意AB ∴4(a-1)=3×(-3),即 4a=-5,
5 ∴a=- . 4
解析答案

命题点3 求交点坐标
例5 已知点 A(4,0) , B(4,4) , C(2,6) ,则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为
________.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
→ =(-2,4),OB → =(-a,2),OC → =(b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点, 设OA 3+2 2 1 1 若 A,B,C 三点共线,则 + 的最小值为________. 2 a b

解析

→ =(-a+2,-2),AC → =(b+2,-4), 由题意得AB

→ ∥AC → ,所以(-a+2,-2)=λ(b+2,-4), 又AB
? ?-a+2=λ?b+2?, 即? 整理得 2a+b=2, ? ?-2=-4λ,

1 1 1 1 1 1 2a b 所以a+b=2(2a+b)(a+b)=2(3+ b +a) 1 2a b 3+2 2 ≥2(3+2 b· a)= 2 (当且仅当 b= 2a 时,等号成立).
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思想与方法系列

思想与方法系列

11.解析法(坐标法)在向量中的应用

典例

2π → → (14 分)给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 . 3

→ =xOA → +yOB →, 如图所示, 点 C 在以 O 为圆心的 AB 上运动.若OC 其中 x, y∈R,求 x+y 的最大值.

思维点拨

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将 向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运 算的关键. 2.根据向量共线可以证明点共线;利用两向量共线也可以求点的坐 标或参数值.

失误与防范

1.要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向 两种信息;两个向量共线有方向相同、相反两种情况.

x1 y1 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成x =y , 2 2 因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.

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1.如图,设O是平行四边形ABCD两对角线 的交点,给出下列向量组:

→ 与AB → ;②DA → 与BC → ;③CA → 与DC → ;④OD → 与OB → .其中可作为该平 ①AD
①③ 面内其他向量的基底的是________.

解析

→ ,AB → 不共线;③中CA → ,DC → 不共线. ①中AD

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1 3 (-1,2) 2.已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量2a-2b=________.

1 1 1 3 3 3 解析 2a=(2,2),2b=(2,-2),
1 3 故2a-2b=(-1,2).

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1 3 a - b 3.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=________. 2 2
解析 设c=λa+μb,

∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),
? ?λ=1, ? 2 ? ?-1=λ+μ, ∴? ∴? 3 ? ? ?2=λ-μ, μ=-2, ? ?

1 3 ∴c=2a-2b.
解析答案

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4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ 1 2 =________. 解析 ∵a+λb=(1+λ,2),c=(3,4),

1+λ 2 1 且(a+λb)∥c,∴ = ,∴λ= . 3 4 2

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→ |=1,|OB → |= 3,OA →· → =0,点 C 在∠AOB 内,且OC → 与OA →的 5.已知|OA OB m → → → 3 夹角为 30° ,设OC=mOA+nOB(m,n∈R),则 n 的值为________.
→ =(1,0),OB → =(0, 3),OC → =mOA → +nOB → =(m, 3n). OA
3n 3 ∵tan 30° = = , m 3
m ∴m=3n,即 =3. n
解析答案

→· → =0,∴OA → ⊥OB → ,以 OA 为 x 轴,OB 为 y 轴建立直角坐标系, 解析 ∵OA OB

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1 → =2CB → ,则 6.已知 A(7,1),B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于点 C,且AC 2 实数 a=________. 2

解析

设C(x,y),

→ =(x-7,y-1),CB → =(1-x,4-y), 则AC
? ? x - 7 = 2 ? 1 - x ? , ? ?x=3, → → ∵AC=2CB,∴? 解得? ? ? ?y-1=2?4-y?, ?y=3.

1 1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y=2ax 上,∴3=2a· 3,∴a=2.
解析答案

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1→ → 1→ → → 的坐标为________. 7.已知点 A(-1,2), B(2,8), AC= AB, DA=- BA, 则CD 3 3

解析答案

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→ =(3, → =(0, → =(5-m, 8.已知向量OA -4), OB -3), OC -3-m), 若点 A,

5 m≠4 B,C 能构成三角形,则实数 m 满足的条件是________.
解析 → =(-3,1),AC → =(2-m,1-m), 由题意得AB

→ ,AC → 不共线, 若 A,B,C 能构成三角形,则AB

5 则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得 m≠4.
解析答案

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9.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).

(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;
解 → =(2,-2),AC → =(a-1,b-1), 由已知得AB

→ ∥AC →. ∵A,B,C 三点共线,∴AB

∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.

解析答案

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→ =2AB → ,求点 C 的坐标. (2)若AC



→ =2AB →, ∵AC

∴(a-1,b-1)=2(2,-2).
? ? ?a-1=4, ?a=5, ∴? 解得? ? ? ?b-1=-4, ?b=-3.

∴点C的坐标为(5,-3).

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→ =t OA → +t AB →. 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM 1 2
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;



→ =t OA → +t AB → =t (0,2)+t (4,4) =(4t 2t +4t ). OM 1 2 1 2 2, 1 2

? ?4t2<0, 当点 M 在第二或第三象限时,有? ? ?2t1+4t2≠0,

故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.
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(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.
证明 当t1=1时,

→ =(4t 4t +2). 由(1)知OM 2, 2

→ =OB → -OA → =(4,4), ∵AB
→ =OM → -OA → =(4t 4t )=t (4,4)=t AB →, AM 2, 2 2 2

→ 与AB → 共线,又有公共点 A, ∴AM
∴A,B,M三点共线.
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2→ 1→ → 11.在△ABC 中,点 P 是 AB 上的一点,且CP=3CA+3CB,Q 是 BC 的中 → =tCP → ,则 t 的值为________. 点,AQ 与 CP 的交点为 M,又CM

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12.已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC= 1 → =-OA → +λOB → (λ∈R),则 λ 的值为________. 135° ,设OC 2
解析 由∠AOC= 135°知,点C 在射线 y=-x(x<0) 上,设点 C的

坐标为(a,-a),a<0,则有(a,-a)=(-1+λ,λ),得a=-1+λ, -a=λ,消去a得λ= 1 . 2

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→ +MB → +MC → =0.若存在实数 m, → +AC → 13.已知△ABC 和点 M 满足MA 使得AB → 成立,则 m=________. 3 =mAM → +MB → +MC → =0, 解析 ∵MA

∴M为△ABC的重心. 如图所示,连结AM并延长交BC于D,则D为BC的中点.
2→ → ∴AM= AD. 3 1 → → → 又AD= (AB+AC), 2 1 → → → → +AC → =3AM → ,∴m=3. ∴AM=3(AB+AC),即AB

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14.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与 BA 的延 → =mOA → +nOB → ,则 m+n 的取值范围是 长线交于圆 O 外的一点 D,若OC ________.

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15.将等腰直角三角板 ADC 与一个角为 30° 的直角三角板 ABC 拼在一起组成如图所示的平面四边形 ABCD,其中 → =xDA → +yDC → ,则 xy 的值 ∠DAC=45° ,∠B=30° .若DB 是________________.

解析答案

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