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2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:三角函数


三角函数
一、选择填空题 1.[2014· 全国新课标卷Ⅰ2] 若 tan α >0,则( ) A.sin α >0 B.cos α >0C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 【答案】A 2. [2014· 全国卷 2] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( 4 A. 5 【答案】D π 3.[2014· 陕西卷 2] 函数 f(x)=c

os?2x+ ?的最小正周期是( 4? ? π A. 2 B.π C.2π D.4π ) 3 B. 5 3 4 C.- D.- 5 5

)

【答案】B 4.[2014· 四川卷 3] 为了得到函数 y=sin(x+1)的图像,只需把函数 y=sin x 的图像上所有的 点( ) A.向左平行移动 1 个单位长度 B.向右平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动π 个单位长度 D.向右平行移动π 个单位长度 【答案】A 5.[2014· 浙江卷 4] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像 ( ) π π π π A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个 12 4 12 4 单位 【答案】A π 6.[2014· 福建卷 7] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图像,则下 2 列说法正确的是( ) A.y=f(x)是奇函数 π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2 【答案】D π 7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ7] 在函数①y = cos|2x| ,② y = |cos x| ,③y = cos ?2x+ ? ,④y = 6? ? π tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为( 4? ? A.①②③ 【答案】C B.①③④ C.②④ ) D.①③ B.y=f(x)的周期为π π D.y=f(x)的图像关于点?- ,0?对称 ? 2 ?

9.[2014· 安徽卷 7] 若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图像向右平移 φ 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( ) π A. 8 【答案】C π π 10.[2014· 辽宁卷 11] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应 2 3? ? 的函数( ) π 7π π 7π A.在区间? , ?上单调递减 B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? ?12 12 ? π π π π C.在区间?- , ?上单调递减 D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? ? 6 3? 【答案】B 11.[2014· 江苏卷 5] 已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π ),它们的图像有一个横坐 π 标为 的交点,则 φ 的值是________. 【答案】 ? 3 6 3 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 【答案】 ? 2 π π 13. [2014· 重庆卷 13] 将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω >0,- ≤φ < ?图像上每一点的横坐标 2 2? ? π π 缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图像, 则 f? ?= 6 ?6? 12. [2014· 山东卷 12] 函数 y= ________. 【答案】 π B. 4 3π C. 8 3π D. 4

2 2

14.[2014· 新课标全国卷Ⅱ14] 函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x 的最大值为________. 【答 案】1

15.[2014· 全国卷 14] 函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. 【答案】

3 2

16.[2014· 全国卷 16] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3), 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. 【答案】 二、解答题: 1.[2014· 江苏卷 15] 已知 α∈? (1)求 sin? π 5 ? ? 2 ,π ?,sin α = 5 .

4 3

π ? ? 5π ? ? 4 +α?的值;(2)求 cos? 6 -2α?的值.

2 5 解: (1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 5 2 5

? ?

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10
(2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 3 5 5 ∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 . 6 6 6 2 5 2 5 10 π 2.[2014· 江西卷 16] 已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f? ?=0,其中 a ?4? ∈R,θ ∈(0,π ). α? π? 2 ?π ? ? (1)求 a,θ 的值;(2)若 f? ?4?=-5,α∈? 2 ,π ?,求 sin?α + 3 ?的值.
2 2 解: (1)因为 f ? x ? ? a ? 2cos x cos ?2 x ? ? ?????? 而 y1=a+2cos x 为偶函数,所以

?

?

?

?

? ?

?

?

y1= cos ? 2 x ? ? ?

? ?, 得? ? 为奇函数,又 ? ? ? 0,
(a+1)=0,即 a ? ?1.

?
2

. 所以 f ? x ? = ? sin 2 x( 由 f? ? a ? 2cos2 x)

?? ? ? ? 0 ,得?4?

1 2 1 4 ?? ? ?? ? ? ?, n i ? ?, 又 ? ? ? , (2) 由 (1) 得: f ? x ? ? ? sin 4 x, 因为 f ? ? ? ? sin ? ? ? , 得s 2 5 2 5 ?4? ?2 ? ?? ? ? 3 ? 4?3 3 . 所以 cos ? ? ? , 因此 sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? sin cos ? ? 3 3 3 5 ? ? 10

3.[2014· 四川卷 17] 已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

(Ⅰ) 求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ) 若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? , 5 4

求 cos ? ? sin ? 的值。 解: (1) ?

?
2

? 2 k? ? 3 x ?

?
4

?

?
2

? 2 k? ? ?

?

2 ? 2 ? k? ? x ? ? k ? ( k ? Z ) ; 4 3 12 3

(2)由已知,有 sin(? ? 即 sin ? ? cos ? ?

?
4

)?

4 ? cos(? ? ) cos 2? , 5 4

4 (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? )(sin ? ? cos ? ) ,. 5

若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 cos ? ? sin ? ? ? 2 ,

若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 1 ?

4 5 . (cos ? ? sin ? )2 ? cos ? ? sin ? ? ? 5 2 5 . 2

综上得, cos ? ? sin ? 的值为 ? 2 或 ?

π 5π 3 2 4.[2014· 广东卷 16] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= ? 3? ? 12 ? 2 . π π (1)求 A 的值;(2)若 f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2 ? ? ?6 ?
解 : (1) f ( 5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 3 ? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin( ?? ? ) 3 3 ? 3(sin ? cos ? 6sin ? cos ? 3sin ? ? 3 ? sin ? ? 3 ? 6 ,?? ? (0, ),? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 3 2 3

?

?

?

?
3 3

? cos ? sin ) ? 3(sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 3 3 3

?

?

?

?

? ? ? ? 6 ? f ( ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) ? 3cos ? ? 3 ? ? 6 6 6 3 2 3
π 5.[2014· 北京卷 16] 函数 f(x)=3sin?2x+ ?的部分图像如图所示. 6? ? (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上的最大值和最小值. 12? ? 2 解: (I) f ? x ? 的最小正周期为 ? , x0 ?

7? , y0 ? 3 . 6 ? ? ? 5? , 0] ,于是 (II)因为 x ? [? , ? ] ,所以 2 x ? ? [? 2 12 6 6
当 2x ? 当 2x ?

?

?

6

? 0 ,即 x ? ? ??

?

?
2

12

时, f ? x ? 取得最大值 0;

6

,即 x ? ?

?
3

时, f ? x ? 取得最小值 ?3 .

6.[2014· 福建卷 18] 已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). 5π ? ? 4 ?的值;(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 5? 5? 5? 5? ? ? ? (sin ? cos ) ? ?2 cos (? sin ? cos ) ? 2 解法一: (1) f ( ) ? 2 cos 4 4 4 4 4 4 4 (1)求 f? ( 2 ) 因 为

f(

?

? x)
所以 T ? 由 2 k? ?

2

?s

x?

? 2 2 x? x i

x s

?
4

n x . s

? i

2

i

x n

?

?

2? ?? . 2 2 ? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

解法二: 因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

5? 11? ? ) ? 2 sin ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 4 4 4 2? ?? (2) T ? 2
(1) f ( 由

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

2 k? ?

?

k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

2

? 2x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

,k ?Z





所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z 8 8

7. [2014· 湖北卷 18] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函 π π 数关系:f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度;(2)求实验室这一天的最大温差. π π 2π 2π 解: (Ⅰ) f (8) ? 10 ? 3cos( ? 8)? sin( ? 8) ? 10 ? 3cos ? sin 12 12 3 3
1 3 ? 10 ? 3 ? ( ? ) ? ? 10 . 2 2

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (Ⅱ)因为 f (t ) ? 10 ? 2(
3 π 1 π π π cos t ? sin t ) = 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

又 0 ? t ? 24 ,所以 当 t ? 2 时, sin(

π π π 7π π π , ?1 ? sin( t ? ) ? 1 . ? t? ? 3 12 3 3 12 3

π π π π t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3

于是 f (t ) 在 [0, 24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.


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