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2015-2016学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(文科)(a卷)(解析版)



2015-2016 学 年 广 东 省 珠 海 市 高 二 (上) 期末数学试卷 (文 科) (A 卷)
一 、 选 择 题 ( 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 60 分 , 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的选项填涂到答题卡上) 1 .一 个 等 比 数 列 的 第 3 项 和 第 4 项 分 别 是 1 2 和 18 ,则 它 的 第 2 项 为( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 2 . 椭 圆 x 2 +4 y 2 =1 的 离 心 率 为 ( ) A. B. C. D.

3 .已 知 命 题 p :对 任 意 x ∈ R ,总 有 |x | ≥ 0 ;命 题 q : x=2 是 方 程 x+2= 0 的 根 .则 下列命题为真命题的是( ) A. p∧¬ q B. ¬ p∧q C. ¬ p∧¬ q D. p∧q 4. 双 曲 线 =1 的 渐 近 线 方 程 是 ( )

A . y= ±

x B . y= ±

x C . y= ±

x D . y= ±

x

5. 若 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件

, 则 z=2x ﹣ y 的 最 大 值 为 (



A. 4 B. 5 C. 2 D. 1 6. 若 a, b∈R, 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ( ) 2 2 2 2 A. 若 a> b, 则 a > b B. 若 a≠b, 则 a ≠b C . 若 |a | > b , 则 a 2 > b 2 D . 若 a > |b | , 则 a 2 > b 2 7 . 函 数 f ( x ) =xe x 的 单 调 递 增 区 间 是 ( ) A. ( ﹣ ∞, ﹣ 1) B. ( ﹣ ∞, 0) C. ( 0, +∞) D. ( ﹣ 1, +∞) 2 8 . lgx , lg y , lgz 成 等 差 数 列 是 由 y =zx 成 立 的 ( ) A. 充 分 非 必 要 条 件 B. 必 要 非 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 9. =kx ﹣ lnx 在 区 间 +∞) 若函数 f ( x) ( 1, 单调递增, 则 k 的取值范围是 ( A. ( ﹣ ∞, ﹣ 2]B. ( ﹣ ∞ , ﹣ 1 ] C . [2 , + ∞ ) D . [1 , + ∞ ) 10 . 已 知 在 △ ABC 中 , 2cosBsinC=sinA , 则 △ ABC 一 定 为 ( ) A. 等 腰 三 角 形 B. 直 角 三 角 形 C. 钝 角 三 角 形 D. 正 三 角 形 11 . 已 知 正 数 x , y 满 足 2x+ y+4x y= , 则 2x+y 的 取 值 范 围 为 ( )



A . [4 , + ∞ ) B . [8 , + ∞ ) C . {6 , + ∞ ) D . [3 , + ∞ ) 12 . 已 知 幂 函 数 y= f ( x ) , f ′ ( x ) 为 f ( x ) 的 导 函 数 , f ( x ) 在 区 间 [0 , 1 ] 上 图 象 如 图 所 示 . 对 满 足 : 0< x1< x2< 1 的 任 意 x1、 x2, 给 出 下 列 结 论 : ①f( x1) ﹣ f( x2) > x1﹣ x2

②x2f( x1) > x1f( x2) ③ < f( )

④ [f ′ ( x 1 ) ﹣ f ′ ( x 2 ) ] ( x 1 ﹣ x 2 ) > 0 其中一定正确结论的序号是( )

A . ①②③ B . ①③ C . ③④ D . ②③ 二 、 填 空 题( 本 大 题 共 8 小 题 ,每 小 题 5 分 , 共 40 分 . 请 将 正 确 答 案 填 在 答 题卡上. ) 13 . 若 数 列 {a n } 满 足 : a 1 =19 , a n + 1 =a n ﹣ 3 ( n ∈ N * ) , 则 a3= . 2 14 . 抛 物 线 y=4x 上 的 一 点 M 到 焦 点 的 距 离 为 1 , 则 点 M 的 纵 坐 标 是 .
2 15 . +6 , C= 在 △ ABC 中 , 已 知 c2= ( a﹣ b)

, 则 △ ABC 的 面 积 是



16 . 若 抛 物 线 y 2 =2px 的 焦 点 与 双 曲 线

﹣ y2 = 1 的 左 焦 点 重 合 , 则 抛 物 线 方

程为 . 17 .已 知 正 项 等 比 数 列 {a n } ,若 a 5 ? a 6 =16 ,则 a 2 +a 9 的 最 小 值 为 . 2 18 . 设 函 数 f ( x ) =g ( x ) +x , 曲 线 y=g ( x ) 在 点 ( 1 , g ( 1 ) )处的切线方 程 为 y=2x+1 , 则 f ( 1 ) = . 19 . 设 不 等 式 f ( x ) ≥ 0 的 解 集 为 [1 , 2 ] , 不 等 式 g ( x ) ≥ 0 的 解 集 为 ? , 则 不 等式 >0 的解集是 .

20 . 设 椭 圆

( a> b> 0) 的 两 焦 点 为 F1, F2 . 若 椭 圆 上 存 在 点 Q , .

使 ∠ F 1 Q F 2 =120 °, 椭 圆 离 心 率 e 的 取 值 范 围 为

三、解答题(本大题共 5 个小题,每小题 0 分) 21 . 已 知 f ( x ) = ﹣ 3x 2 +a ( 6 ﹣ a ) x+6 . ( Ⅰ) 解 关 于 a 的 不 等 式 f ( 1 ) > 0 ; ( Ⅱ) 若 不 等 式 f ( x ) > b 的 解 集 为 ( ﹣ 1 , 3 ) , 求 实 数 a, b 的 值 . 22 .在 △ ABC 中 ,角 A , B , C 所 对 的 三 边 分 别 为 a , b , c , B= a=2 . ( 1 ) 求 sin2A ; ( 2 ) 求 △ ABC 的 面 积 . ,且 b=3 ,

23 . 公 差 不 等 于 零 的 等 差 数 列 {a n } 的 前 3 项 和 S 3 =9 , 且 a 1 . a 2 . a 5 成 等 比 数 列. ( 1 ) 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ; ( 2) 已 知 Tn 为 数 列 的 前 项 和 , 若 T n ≤λ a n + 1 对 一 切 n ∈ Z * 恒 成 立 ,

求实数 λ 的最小值. 24 . 已 知 定 点 F( 0 , 1 ) 和 直 线 l 1 : y= ﹣ 1 , 过 定 点 F 与 直 线 l 1 相 切 的 动 圆 圆 心 为 点 C. ( 1) 求 动 点 C 的 轨 迹 方 程 ; ( 2) 过 点 F 在 直 线 l2 交 轨 迹 于 两 点 P、 Q, 交 直 线 l1 于 点 R, 求 的最 小值.

25 . 设 f ( x ) =

+xlnx , g ( x ) =x 3 ﹣ x 2 ﹣ 3 .

( 1 ) 当 a=1 时 , 求 f ( x ) 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 . ( 2) 如 果 对 任 意 的 值范围. , 都 有 f( s) ≥g( t) 成 立 , 求 实 数 a 的 取

2015-2016 学 年 广 东 省 珠 海 市 高 二 ( 上 ) 期 末 数 学 试卷(文科) (A 卷)
参考答案与试题解析

一 、 选 择 题 ( 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 60 分 , 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的选项填涂到答题卡上) 1 .一 个 等 比 数 列 的 第 3 项 和 第 4 项 分 别 是 1 2 和 18 ,则 它 的 第 2 项 为( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 【考点】等比数列的通项公式. 【 分 析 】 设 出 等 比 数 列 的 首 项 和 公 比 , 利 用 第 3 项 和 第 4 项 分 别 是 12 和 18 列关于首项和公比的方程组,求出首项和公比后可求第二项. 【 解 答 】 解 : 设 等 比 数 列 的 首 项 为 a1, 公 比 为 q, 则 , ②÷① 得 : q= .

所以



则 故 选 B.



2 . 椭 圆 x 2 +4 y 2 =1 的 离 心 率 为 ( A. B. C. D.



【考点】椭圆的简单性质. 【 分 析 】把 椭 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程 后 ,找 出 a 与 b 的 值 ,然 后 根 据 a 2 =b 2 +c 2 求 出 c 的 值 , 利 用 离 心 率 公 式 e= ,把 a 与 c 的值代入即可求出值.

【 解 答 】 解 : 把 椭 圆 方 程 化 为 标 准 方 程 得 : x2+

=1 , 得 到 a=1 , b= ,

则 c= 故选 A

=

, 所 以 椭 圆 的 离 心 率 e= =



3 .已 知 命 题 p :对 任 意 x ∈ R ,总 有 |x | ≥ 0 ;命 题 q : x=2 是 方 程 x+2= 0 的 根 .则 下列命题为真命题的是( ) A. p∧¬ q B. ¬ p∧q C. ¬ p∧¬ q D. p∧q 【考点】复合命题的真假.

【 分 析 】 判 断 命 题 p, q 的 真 假 , 结 合 复 合 命 题 真 假 关 系 进 行 判 断 即 可 . 【 解 答 】 解 : 命 题 p : 对 任 意 x ∈ R , 总 有 |x | ≥ 0 为 真 命 题 , 命 题 q : x=2 是 方 程 x +2=0 的 根 为 假 命 题 , 则 p∧¬ q 为 真 命 题 . ,其余为假命题, 故选:A

4. 双 曲 线

=1 的 渐 近 线 方 程 是 (



A . y= ± x B . y= ± x C . y= ±

x D . y= ±

x

【考点】双曲线的简单性质. 【 分 析 】 把 双 曲 线 的 标 准 方 程 中 的 1 换 成 0, 即 得 其 渐 近 线 的 方 程 . 【解答】解:双曲线 故选 B. 的渐近线方程是 ,即 ,

5. 若 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件

, 则 z=2x ﹣ y 的 最 大 值 为 (



A. 4 B. 5 C. 2 D. 1 【考点】简单线性规划. 【 分 析 】 作 出 可 行 域 , 变 形 目 标 函 数 , 平 移 直 线 y=2 x 可 得 结 论 .

【解答】解:作出约束条件

所 对 应 的 可 行 域 ( 如 图 △ ABC ) ,

变 形 目 标 函 数 可 得 y=2 x ﹣ z ,平 移 直 线 y=2x 可 知 当 直 线 经 过 点 A( 3 ,1 )时 , 直 线 的 截 距 最 小 , z 取 最 大 值 , 代 值 计 算 可 得 z=2x ﹣ y 的 最 大 值 为 5 , 故 选 : B.

6. 若 a, b∈R, 下 列 命 题 中 正 确 的 是 (
2 2 2 2



A. 若 a> b, 则 a > b B. 若 a≠b, 则 a ≠b C . 若 |a | > b , 则 a 2 > b 2 D . 若 a > |b | , 则 a 2 > b 2 【考点】命题的真假判断与应用. 【 分 析 】 对 于 A、 B、 C, 列 举 反 例 , 对 于 D, 利 用 不 等 式 的 性 质 可 得 结 论 . 【 解 答 】 解 : 对 于 A , a= ﹣ 1 , b= ﹣ 2 , 结 论 不 成 立 ; 对 于 B , a= ﹣ 1 , b=1 , 结 论 不 成 立 ; 对 于 C , a=1 , b= ﹣ 1 , 结 论 不 成 立 ; 对 于 D , ∵ a > |b | ≥ 0 , ∴ a 2 > b 2 , 结 论 成 立 ; 故 选 D. 7 . 函 数 f ( x ) =xe x 的 单 调 递 增 区 间 是 ( ) A. ( ﹣ ∞, ﹣ 1) B. ( ﹣ ∞, 0) C. ( 0, +∞) D. ( ﹣ 1, +∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【 分 析 】 对 函 数 f ( x ) =xe x 进 行 求 导 , 然 后 令 导 函 数 大 于 0 求 出 x 的 范 围 , 即可得到答案. 【 解 答 】 解 : 由 函 数 f ( x ) =xe x , 得 f ′ ( x ) =e x +xe x =e x ( x+1 ) , x x ′ 因 为 e > 0 , 由 f ( x ) =e ( x+1 ) > 0 , 得 : x > ﹣ 1 . 所 以 , 函 数 f ( x ) =xe x 的 单 调 递 增 区 间 是 ( ﹣ 1 , + ∞ ) . D 故选 . 8 . lgx , lg y , lgz 成 等 差 数 列 是 由 y 2 =zx 成 立 的 ( A. 充 分 非 必 要 条 件 B. 必 要 非 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 )

【考点】等差数列的性质. 【分析】根据题中已知条件先证明充分性是否成立,然后证明必要性是否成 立,即可的出答案. 【 解 答 】 解 : lgx , lg y , lgz 成 等 差 数 列 , ∴ 2lg y=lgx ? lgz , 即 y 2 =zx , ∴充 分 性成立, 因 为 y 2 =zx , 但 是 x , z 可 能 同 时 为 负 数 , 所 以 必 要 性 不 成 立 , 故 选 : A. 9. =kx ﹣ lnx 在 区 间 +∞) 若函数 f ( x) ( 1, 单调递增, 则 k 的取值范围是 ( A. ( ﹣ ∞, ﹣ 2]B. ( ﹣ ∞ , ﹣ 1 ] C . [2 , + ∞ ) D . [1 , + ∞ ) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【 分 析 】 f ′ ( x ) =k ﹣ , 由 于 函 数 f ( x ) =kx ﹣ lnx 在 区 间 ( 1 , + ∞ ) 单 调 递 )

增 , 可 得 f′( x) ≥0 在 区 间 ( 1, +∞) 上 恒 成 立 . 解 出 即 可 . 【 解 答 】 解 : f ′ ( x ) =k ﹣ ,

∵函 数 f ( x ) =kx ﹣ ln x 在 区 间 ( 1 , + ∞ ) 单 调 递 增 , ∴f′( x) ≥0 在 区 间 ( 1, +∞) 上 恒 成 立 . ∴ ,

而 y=

在 区 间 ( 1, +∞) 上 单 调 递 减 ,

∴k≥1. ∴ k 的 取 值 范 围 是 [1 , + ∞ ) . 故 选 : D. 10 . 已 知 在 △ ABC 中 , 2cosBsinC=sinA , 则 △ ABC 一 定 为 ( A. 等 腰 三 角 形 B. 直 角 三 角 形 C. 钝 角 三 角 形 D. 正 三 角 形 )

【考点】三角形的形状判断. 【 分 析 】 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 可 得 sin ( B ﹣ C ) =0 , 继 而 可 得 B=C , 可 得 答案. 【 解 答 】 解 : 在 △ ABC 中 , ∵ 2cosBsinC=sinA=sin ( π ﹣ A ) =sin ( B+C ) =sinBcosC+ cosBsinC , ∴ sinBcosC ﹣ co sBsinC=sin ( B ﹣ C ) =0 , ∴ B=C , ∴△ ABC 一 定 为 等 腰 三 角 形 , 故 选 : A.

11 . 已 知 正 数 x , y 满 足 2x+ y+4x y=

, 则 2x+y 的 取 值 范 围 为 (



A . [4 , + ∞ ) B . [8 , + ∞ ) C . {6 , + ∞ ) D . [3 , + ∞ ) 【考点】基本不等式. 【 分 析 】 由 题 意 和 基 本 不 等 式 整 体 可 得 2x+y 的 不 等 式 , 解 不 等 式 可 得 . 【 解 答 】 解 : ∵正 数 x , y 满 足 2x+ y+4 x y= ∴ ﹣ ( 2x+ y ) =2 ? 2x ? y ≤ 2 ( ) 2, ,

解 关 于 2x+ y 的 不 等 式 可 得 2x+ y ≥ 3 , 当 且 仅 当 2x= y 即 x= 故 选 : D. 12 . 已 知 幂 函 数 y= f ( x ) , f ′ ( x ) 为 f ( x ) 的 导 函 数 , f ( x ) 在 区 间 [0 , 1 ] 上 图 象 如 图 所 示 . 对 满 足 : 0< x1< x2< 1 的 任 意 x1、 x2, 给 出 下 列 结 论 : ①f( x1) ﹣ f( x2) > x1﹣ x2 ②x2f( x1) > x1f( x2) ③ < f( ) 且 y= 时取等号.

④ [f ′ ( x 1 ) ﹣ f ′ ( x 2 ) ] ( x 1 ﹣ x 2 ) > 0 其中一定正确结论的序号是( )

A . ①②③ B . ①③ C . ③④ D . ②③ 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【 分 析 】由 函 数 的 图 象 ,我 们 可 根 据 (图象上任意两点之间的

斜 率 ) 与 1 的 大 小 判 断 ①的 对 错 ; 根 据 得



(图象上任意两点

与 原 点 连 线 的 斜 率 ) 的 大 小 判 断 ②的 正 误 ; 再 根 据 函 数 图 象 是 凸 增 的 , 我 们 可 判 断 ③的 真 假 ; 得 到 f′( x) 在 ( 0, 1) 递 减 , 由 x1< x2 得 : f′( x1) > f′ ( x2) , ( x1﹣ x2) < 0, 从 而 判 断 正 误 . 【 解 答 】 解 : 由 f( x2) ﹣ f( x1) > x2﹣ x1, 可 得 即 两 点 ( x1, f( x1) ) 与 ( x2, f( x2) ) 连 线 的 斜 率 大 于 1, 显 然 ①不 正 确 ; 由 x2f( x1) > x1f( x2) ,得 > , > 1,

即 表 示 两 点 ( x1, f( x1) ) 、 ( x2, f( x2) )与原点连线的斜率的大小, 可 以 看 出 结 论 ②正 确 ; 结 合 函 数 图 象 , 容 易 判 断 ③的 结 论 是 正 确 的 , 结 合 图 象 函 数 递 增 的 速 度 减 小 , 故 f′( x) 在 ( 0, 1) 递 减 , 由 x1< x2 得 : f′( x1) > f′( x2) , 即 f′( x1) ﹣ f′( x2) > 0, ( x1﹣ x2) < 0, 故 ④ [f ′ ( x 1 ) ﹣ f ′ ( x 2 ) ] ( x 1 ﹣ x 2 ) < 0 , ④ 错 误 ; 故 选 : D. 二 、 填 空 题( 本 大 题 共 8 小 题 ,每 小 题 5 分 , 共 40 分 . 请 将 正 确 答 案 填 在 答 题卡上. ) 13 . 若 数 列 {a n } 满 足 : a 1 =19 , a n + 1 =a n ﹣ 3 ( n ∈ N * ) , 则 a 3 = 13 . 【考点】等差数列的通项公式. 【 分 析 】 由 已 知 得 数 列 {a n } 是 首 项 为 19 , 公 差 为 ﹣ 3 的 等 差 数 列 , 由 此 能 求 出结果. 【 解 答 】 解 : ∵数 列 {a n } 满 足 : a 1 =19 , a n + 1 =a n ﹣ 3 ( n ∈ N * ) , ∴数 列 {a n } 是 首 项 为 1 9 , 公 差 为 ﹣ 3 的 等 差 数 列 , ∴ a 3 =19+2 × ( ﹣ 3 ) =13 . 故 答 案 为 : 13 .

14 . 抛 物 线 y=4x 2 上 的 一 点 M 到 焦 点 的 距 离 为 1 , 则点 M 的纵坐标是



【考点】抛物线的定义. 【分析】 根据点 M 到焦点的距离为 1 利用抛物线的定义可推断出 M 到准线距 离 也 为 1. 利 用 抛 物 线 的 方 程 求 得 准 线 方 程 , 进 而 可 求 得 M 的 纵 坐 标 . 【 解 答 】 解 : 根 据 抛 物 线 的 定 义 可 知 M 到 焦 点 的 距 离 为 1, 则 其 到 准 线 距 离 也 为 1. 又 ∵抛 物 线 的 准 线 为 y= ﹣ ∴M 点 的 纵 坐 标 为 1﹣ 故答案为: . = , .

15 .在 △ ABC 中 ,已 知 c 2 =( a ﹣ b )2 +6 ,C=

,则 △ ABC 的 面 积 是



【考点】余弦定理. 【 分 析 】 利 用 余 弦 定 理 可 得 ab , 再 利 用 三 角 形 面 积 计 算 公 式 即 可 得 出 . 【 解 答 】 解 : 由 余 弦 定 理 可 得 : c 2 =a 2 +b 2 ﹣ 2abcos 化 为 : ab=6 , ∴S△
AB C =

= ( a ﹣ b ) 2 +6 ,

absinC= .

=



故答案为:

16 . 若 抛 物 线 y 2 =2px 的 焦 点 与 双 曲 线

﹣ y2 = 1 的 左 焦 点 重 合 , 则 抛 物 线 方

程 为 y 2 = ﹣ 8x . 【考点】双曲线的简单性质. 【 分 析 】求 出 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ,双 曲 线 的 a,b,c,可 得 左 焦 点 坐 标 ,由 题 意可得 =﹣ 2, 解 得 p, 进 而 得 到 抛 物 线 的 方 程 . , 0) , =2 ,

【 解 答 】 解 : 抛 物 线 y 2 =2px 的 焦 点 为 ( 双曲线 ﹣ y 2 =1 的 a= , b=1 , c=

可 得 左 焦 点 为 ( ﹣ 2, 0) , 即有 = ﹣ 2 , 解 得 p= ﹣ 4 .

则 抛 物 线 的 方 程 为 y 2 = ﹣ 8x . 故 答 案 为 : y 2 = ﹣ 8x . 17 . 已 知 正 项 等 比 数 列 {a n } , 若 a 5 ? a 6 =16 , 则 a 2 +a 9 的 最 小 值 为 8 .

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列的性质结合基本不等式求得最值. 【 解 答 】 解 : 在 正 项 等 比 数 列 {a n } 中 , ∵ a 5 ? a 6 =16 , ∴ a 2 +a 9 ≥ 当 且 仅 当 a 5 =a 6 时 等 号 成 立 . 故 答 案 为 : 8. 18 . 设 函 数 f ( x ) =g ( x ) +x 2 , 曲 线 y=g ( x ) 在 点 ( 1 , g ( 1 ) )处的切线方 y=2x+1 f 1 = 4 程为 ,则 ( ) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【 分 析 】 由 切 线 方 程 可 得 g ( 1 ) =3 , 可 得 f ( 1 ) =g ( 1 ) +1 , 即 可 得 到 所 求 值. 【 解 答 】 解 : 曲 线 y=g ( x ) 在 点 ( 1 , g ( 1 ) ) 处 的 切 线 方 程 为 y=2 x+1 , 可 得 g ( 1 ) =3 , g ′ ( 1 ) =2 , 则 f ( 1 ) =g ( 1 ) +1=3 +1=4 . 故 答 案 为 : 4. 19 . 设 不 等 式 f ( x ) ≥ 0 的 解 集 为 [1 , 2 ] , 不 等 式 g ( x ) ≥ 0 的 解 集 为 ? , 则 不 等式 >0 的解集是 ( ﹣ ∞ , 1 ) ∪( 2 , + ∞ ) . .

【考点】其他不等式的解法. 【 分 析 】 由 题 意 可 得 , 不 等 式 f ( x ) < 0 的 解 集 是 {x |x < 1 , 或 x > 2} , 不 等 式 g( x) < 0 的 解 集 为 R, 再 把 这 两 个 集 合 取 交 集 , 即 得 不 等 式 >0 的

解集. 【 解 答 】 解 : 由 于 不 等 式 f ( x ) ≥ 0 的 解 集 是 [1 , 2 ] , 不 等 式 g ( x ) ≥ 0 的 解 集 为 ?, 可 得 不 等 式 f ( x ) < 0 的 解 集 是 {x |x < 1 , 或 x > 2} , 不 等 式 g ( x ) < 0 的 解 集 为 R, 则不等式 > 0 的 解 集 为 {x |x < 1 , 或 x > 2 } ,

故答案为: ( ﹣ ∞ , 1 ) ∪( 2 , + ∞ ) .

20 . 设 椭 圆

( a> b> 0) 的 两 焦 点 为 F1, F2 . 若 椭 圆 上 存 在 点 Q , [ , 1) .

使 ∠ F 1 Q F 2 =120 °, 椭 圆 离 心 率 e 的 取 值 范 围 为

【考点】椭圆的简单性质. 【 分 析 】 因 为 Q 为 椭 圆 的 上 下 顶 点 时 ∠ F 1 QF 2 最 大 , 不 妨 让 Q 是 椭 圆 的 上 顶 点 ,则 ∠ F 1 Q F 2 ≥ 120 °,所 以 60 °≤ ∠ F 1 QO < 90 °,所 以 根 据 正 弦 函 数 的 单 调 性 即 有 ,所以便得到 .

【 解 答 】 解 : 如 图 , 当 Q 是 椭 圆 的 上 下 顶 点 时 ∠ F1 Q F2 最 大 ; ∴ 120 °≤ ∠ F 1 Q F 2 < 180 °; ∴ 60 °≤ ∠ F 1 QO < 90 °; ∴ sin60 °≤ sin ∠ F 1 Q F 2 < sin90 °; ∵ |F 1 Q |= a , |F 1 O |= c ; ∴ ; .

∴椭 圆 离 心 率 e 的 取 值 范 围 为 故答案为:[ , 1].

三、解答题(本大题共 5 个小题,每小题 0 分) 21 . 已 知 f ( x ) = ﹣ 3x 2 +a ( 6 ﹣ a ) x+6 . ( Ⅰ) 解 关 于 a 的 不 等 式 f ( 1 ) > 0 ; ( Ⅱ) 若 不 等 式 f ( x ) > b 的 解 集 为 ( ﹣ 1 , 3 ) , 求 实 数 a, b 的 值 . 【考点】一元二次不等式的应用. 【分析】 ( Ⅰ) f ( 1 ) > 0 , 即 ﹣ 3+a ( 6 ﹣ a ) +6 > 0 , 即 a 2 ﹣ 6a ﹣ 3 < 0 , 由 此 可得不等式的解集; ( Ⅱ) 不 等 式 f( x ) > b 的 解 集 为 ( ﹣ 1 , 3 ) , 等 价 于 ﹣ 3x 2 +a( 6 ﹣ a ) x+6 > b 的 解 集 为 ( ﹣ 1, 3) , 即 ﹣ 1 , 3 是 方 程 3x 2 ﹣ a ( 6 ﹣ a ) x ﹣ 6+b=0 的 两 个 根 , 利 用 韦 达 定 理 可 求 实 数 a, b 的 值 . 【解答】解: ( Ⅰ) ∵ f ( x ) = ﹣ 3x 2 +a ( 6 ﹣ a ) x+6 , f ( 1 ) > 0 ∴﹣ 3+a ( 6 ﹣ a ) +6 > 0 ∴ a 2 ﹣ 6a ﹣ 3 < 0 ∴ ∴不 等 式 的 解 集 为 ( Ⅱ) ∵不 等 式 f ( x ) > b 的 解 集 为 ( ﹣ 1 , 3 ) , ∴﹣ 3x 2 +a ( 6 ﹣ a ) x+6 > b 的 解 集 为 ( ﹣ 1 , 3 ) , ∴﹣ 1 , 3 是 方 程 3x 2 ﹣ a ( 6 ﹣ a ) x ﹣ 6+b=0 的 两 个 根





22 .在 △ ABC 中 ,角 A , B , C 所 对 的 三 边 分 别 为 a , b , c , B= a=2 . ( 1 ) 求 sin2A ; ( 2 ) 求 △ ABC 的 面 积 . 【考点】余弦定理. 【分析】 ( 1 )由 已 知 及 正 弦 定 理 可 求 得 sinA= A 为 锐 角 , 从 而 可 求 c osA=

,且 b=3



= ,利 用 大 边 对 大 角 可 得

,利用倍角公式即可得解;

( 2) 由 余 弦 定 理 可 求 得 c 的 值 , 根 据 三 角 形 面 积 公 式 即 可 得 解 . 【解答】解: ( 1) ∵B= , 且 b=3 , a=2 .

∴由 正 弦 定 理 可 得 : sinA= ∵ b=3 > a=2 . =

=

= .

∴ A 为 锐 角 , cosA= ∴ sin2A=2sinAco sA=2 × ( 2 ) ∵ B= , 且 b=3

, .

= , a=2 .

∴由 余 弦 定 理 可 得 : b 2 =a 2 +c 2 ﹣ 2accosB , 可 得 : 27=4+c 2 ﹣ 2c , 整 理 可 解 得 : c=1+2 . ∴S△
AB C =

acsinB=

=



23 . 公 差 不 等 于 零 的 等 差 数 列 {a n } 的 前 3 项 和 S 3 =9 , 且 a 1 . a 2 . a 5 成 等 比 数 列. ( 1 ) 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ; ( 2) 已 知 Tn 为 数 列 的 前 项 和 , 若 T n ≤λ a n + 1 对 一 切 n ∈ Z * 恒 成 立 ,

求实数 λ 的最小值. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 ( 1 ) 设 公 差 d 不 等 于 零 的 等 差 数 列 {a n } , 运 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和求和公式,解方程可得首项和公差,即可得到所求;

( 2 )求 得

=

= (



) ,运 用 数 列 的 求 和 方 法 :

裂 项 相 消 求 和 ,可 得 T n ,再 由 参 数 分 离 和 数 列 的 单 调 性 ,即 可 得 到 所 求 范 围 , 可得最小值. 【解答】解: ( 1 ) 设 公 差 d 不 等 于 零 的 等 差 数 列 {a n } , a n =a 1 + ( n ﹣ 1 ) d , S n =na 1 + d,

由 S 3 =9 , 可 得 3a 1 +3d=9 , 即 为 a 1 +d=3 , a 1 . a 2 . a 5 成 等 比 数 列 , 可 得 a 1 a 5 =a 2 2 , 即 为 a 1 ( a 1 +4d ) = ( a 1 +d ) 2 , 解 得 a 1 =1 , d=2 ( 0 舍 去 ) 即 有 a n =2n ﹣ 1 ; ( 2) Tn= ( 1﹣ 由题意可得 = + ﹣ +…+ = ( ﹣ ﹣ ) , )= ,

) = ( 1﹣

≤λ ( 2n+1 ) ,即为

λ≥

=



由 4n+ 在 [1 , + ∞ ) 递 增 , 可 得 最 小 值 为 4+1=5 , 由 T n ≤λ a n + 1 对 一 切 n ∈ N * 恒 成 立 , 可 得 λ≥ = . .

即有实数 λ 的最小值为

24 . 已 知 定 点 F( 0 , 1 ) 和 直 线 l 1 : y= ﹣ 1 , 过 定 点 F 与 直 线 l 1 相 切 的 动 圆 圆 心 为 点 C. ( 1) 求 动 点 C 的 轨 迹 方 程 ; ( 2) 过 点 F 在 直 线 l2 交 轨 迹 于 两 点 P、 Q, 交 直 线 l1 于 点 R, 求 的最 小值.

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】 ( 1) 根 据 点 C 到 点 F 的 距 离 等 于 它 到 l1 的 距 离 , 依 据 抛 物 线 的 定 义 可 知 点 C 的 轨 迹 是 以 F 为 焦 点 , l1 为 准 线 的 抛 物 线 , 进 而 求 得 其 轨 迹 方 程 . ( 2) 设 出 直 线 l2 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 消 去 y, 设 出 P, Q 的 坐 标 , 根 据 韦 达 定 理 表 示 出 x 1 +x 2 和 x 1 x 2 的 表 达 式 , 进而可得点 R 的坐标, 表示出 , 根据均值不等式求得其最小值. 【解答】解: ( 1) 由 题 设 点 C 到 点 F 的 距 离 等 于 它 到 l1 的 距 离 , ∴点 C 的 轨 迹 是 以 F 为 焦 点 , l 1 为 准 线 的 抛 物 线 ∴所 求 轨 迹 的 方 程 为 x 2 =4 y ( 2 ) 由 题 意 直 线 l 2 的 方 程 为 y=k x+1 , 与 抛 物 线 方 程 联 立 消 去 y 得 x 2 ﹣ 4kx ﹣ 4=0 . 记 P ( x 1 , y1 ) , Q ( x 2 , y2 ) , 则 x 1 +x 2 =4k , x 1 x 2 = ﹣ 4 . 因 为 直 线 PQ 的 斜 率 k≠0, 易 得 点 R 的 坐 标 为

= = = = ∵ , , 当 且 仅 当 k 2 =1 时 取 到 等 号 . 的 最 小 值 为 16

25 . 设 f ( x ) =

+xlnx , g ( x ) =x 3 ﹣ x 2 ﹣ 3 .

( 1 ) 当 a=1 时 , 求 f ( x ) 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 . ( 2) 如 果 对 任 意 的 , 都 有 f( s) ≥g( t) 成 立 , 求 实 数 a 的 取

值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方 程. 【分析】 ( 1) 求 出 函 数 的 导 数 , 得 到 f′( 1) 的 值 , 代 入 切 线 方 程 即 可 ; ( 2) 求 出 g( x) 的 导 数 , 得 到 g( x) 的 单 调 区 间 , 从 而 求 出 g( x) 的 最 大 值 ,问 题 等 价 于 a ≥ x ﹣ x 2 lnx 恒 成 立 ,记 h( x ) =x ﹣ x 2 lnx ,根 据 函 数 的 单 调 性 求出 a 的范围即可. 【解答】解: ( 1 ) 当 a =1 时 , …,

… 函 数 f( x) 在 ( 1, 1) 处 的 切 线 的 斜 率 , ∴ k 切 =f' ( 1 ) =0 , 又 切 点 为 ( 1 , 1 ) … 所 以 f ( x ) 在 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 y=1 … ( 2 ) 对 于 函 数 g ( x ) =x 3 ﹣ x 2 ﹣ 3 , g ′ ( x ) = 3x ( x ﹣ 令 g ′ ( x ) =0 , 得 x=0 或 x= … 当 x 变 化 时 , g′( x) , g( x) 变 化 情 况 如 下 表 : ( x ) g′( x) g( x) ﹣3 ﹣ 递减 0 极(最)小值﹣ ) =﹣ + 递增 1 , ( , 2) 2 ) , x∈[ , 2],

由 上 表 可 知 : g ( x ) m i n =g (

, g ( x ) m a x =g ( 2 ) =1 , …

所 以 在 区 间 [ , 2 ] 上 , g ( x ) 的 最 大 值 为 g ( 2 ) =1 . 因 此 , 原 问 题 等 价 于 当 x∈[ , 2]时 , f( x) ≥1 恒 成 立 等 价 于 a ≥ x ﹣ x 2 ln x 恒 成 立 , … 记 h ( x ) =x ﹣ x 2 lnx , h ′ ( x ) =1 ﹣ 2x lnx ﹣ x , h ′ ( 1 ) =0 … 记 m ( x ) =1 ﹣ 2x lnx ﹣ x , m ′ ( x ) = ﹣ 3 ﹣ 2 lnx , 由 于 x ∈ [ , 2 ] , m ′( x ) = ﹣ 3 ﹣ 2 lnx < 0 , 所 以 m( x ) =h ′( x ) =1 ﹣ 2xlnx ﹣ x 在 [ , 2 ] 上 递 减 , 当 x∈[ , 1) 时 , h′( x) > 0, x∈( , 1, 2]时 , h′( x) < 0, 即 函 数 h ( x ) =x ﹣ x 2 lnx 在 区 间 [ , 1 ) 上 递 增 , 在 区 间 ( 1 , 2 ] 上 递 减 , 所 以 h ( x ) m a x =h ( 1 ) =1 , … 所 以 a≥1.

2016 年 7 月 3 日


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