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高一数学竞赛试题8


高一竞赛试题(一)
一.选择题: 1.已知关于 x 的不等式组 ? A. a ? ? 3 2.已知 ?
?x ? y ? 4 ? xy ? 2
?x ? a ? 0 ?x ? 2

的整数解共有 4 个,则实数 a 的取值范围是( ) C。 ? 3 ? a ? ? 2 D ? 3 ? a ? ?2 ( )

B

。 a ? ? 2 则
x y ? y x

的值是

A. 2 2

B.8
2

C
? 2, b

6
3

D. ? 2 2
? 3, c
4

3.已知 a , b , c , d 为正实数,且 a ( ) A. a B. b

? 4, d

5

? 5 ,则 a , b , c , d 中最大的数是

C. c

D. d
?1

4.最小正周期为 T 的周期函数 y ? f ( x ) ,当 x ? ( 0 , T ) 时,反函数是 y ? f 域为 D) ,那么当 x ? ( ? T , 0 ) 时, y ? f ( x ) 的反函数是 A. y ? f C. y ? f 二.填空题:
?1

( x ) (定义


?1



( x ? T ), x ? D ( x ? T ), x ? D

B。 y ? f D。 y ? f

(x) ? T , x ? D (x) ? T , x ? D

?1

?1

5 . 对 任 意 实 数 x , 函 数 f ( x ) 满 足 等 式 : f ( x ) ? ? f ( x ? 1). 当 x ? ( ? 1, 0 ) 时 ,
f (x) ? x
2

? 2 x , 则当 x ? ?8 ,10 ? 时, f ( x ) ?
1 ? f ( x ? 1) 1 ? f ( x ? 1)



6 . 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 1) ?

, 则

f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? ? ? ? f ( 2000 ) ? 2000 的值为


1 ,则a ?

7.已知 f ( x ) ? 8.如果 a ? b ?

x ?1 x ?1

, g (x) ?

2x ? a bx ? 1 .

, 且 f ?g ( x ) ? ?

,b =

。 。

2x

c ?1 ?1 ? 4

a ? 2 ? 2 b ? 1 ? 4 ,那么 a ? 2 b ? 3 c ?

9.某个体店第一天以每件 10 元的价格购进某种商品 15 件,第二天又以每件 12 元的价格 购进同种商品 35 件,然后以相同的价格卖出。如果商店销售这些商品时,至少要获得

10%的利润,那么这种商品每件的销售价不应低于
2 2
2 2

元。

10 . 已 知 实 数 a , b 满 足 2 a ? 3 b ? 6 a , 则 a ? b ? 2 a 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 。

2 11.已知一元二次方程 x ? x ? 1 ? m ? 0 的两实根 ? , ? 满足 ? ? ? ? 5 ,则实数 m 的取

值范围是 12 . 方 程 为
1 ( x ? 1) x ?


1 x ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1 )( x ? 2 ) ? ?????? 1 ( x ? 9 )( x ? 10 ) ? 11 12

的 解


2

13.已知二次函数 y ? ax 值为 14.函数 y ?
f (x) =

? ( 2 a ? 1) x ? 3 ,当 ?

3 2

? x ? 2 时, y 的最大值为 1,则 a 的


1 x ?1 ( x ? ? 1) 可以表示成一个偶函数 f ( x ) 与一个奇函数 g ( x ) 的和,则



三.解答题: 15. 某 地 区 上 年 度 电 价 为 0 ? 8 元 / 度 , 年 用 电 量 为 a 度 。 本 年 度 计 划 将 电 价 降 到
0 ? 55 元 / 度至 0 ? 75 元 / 度 之间,而用户期望电价为 0 ? 40 元 / 度 。经测算,下调电价后

新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为 k ) 。该地区电力的成 本价为 0 ? 30 元 / 度 。 (1).写出本年度电价下调后,电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式,并写出自 变量 x 的取值范围; (2).设 k ? 0 ? 2 a ,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%? [注:收益=实际用电量×(实际电价—成本价)]

16. 在 坐 标 平 面 上 , 纵 坐 标 与 横 坐 标 都 是 整 数 的 点 称 为 整 点 。 试 在 二 次 函 数
y ? x
2

?

x 10

?

9 5

的图象上找出满足 y ? x 的所有整点 ( x , y ) ,并说明理由。

10


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