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期末复习二 圆锥曲线


期末复习二
一、基础知识点: (一)椭圆: 1、椭圆的定义:

圆锥曲线与方程

(

) 若 2a= F1 F2 ,则动点 P 轨迹是

2、椭圆标准方程:焦点在 x 轴: 焦点在 y 轴: 注:(1)a、b、c 的关系 ,(2) 椭圆的一般方程: 3、椭圆的简单几何性质: (1)焦点坐标

: 焦半径:|PF1|= |PF2|= (2)范围:焦点在 x 轴: 焦点在 y 轴: 点 P(x,y)在椭圆内、外,会有 (3)顶点:焦点在 x 轴的椭圆顶点: 长轴长= 短轴长= 焦点在 y 轴的椭圆顶点: 长轴长= 短轴长= 通径的长是 ,通径的一半(半通径): . 2 (4)离心率:e= ( ), e = , e 越大,越 ; e 越小,越 (二)双曲线: 1.双曲线定义: ( )若 2 a = F1 F2 ,则动点 P 轨迹是



2.双曲线的标准方程:焦点在 x 轴: ,焦点在 y 轴: 注:(1)a、b、c 的关系 ,(2)双曲线的一般方程: 2 2 x y 3.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的性质: a b (1)范围: . (2)顶点坐标: ,焦点坐标: (3)实轴长= 、 虚轴长= 、 焦距= ; 实半轴= 、 虚半轴= 、 半焦距= . 通径的长是 ,通径的一半(半通径): . (4) 渐近线方程 x2 y 2 ① 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 渐近线方程 或 a b x y x2 y2 b ② 渐近线是 2 ? 2 ? 0 (或 y ? ? x ? ? ? 0 )的双曲线可设为 . a b a a b (5) 等轴双曲线: 和 等长. 等轴双曲线方程: . 注:①等轴双曲线的渐近线方程为: .②渐近线互相 ,离心率= ③等轴双曲线可设为: (6) 离心率 e= ( ), e2= , e 越大, 开口越 ; 开口越 . e 越小, (三)抛物线 1.抛物线定义: ,焦半径公式|PF|= 或 2.抛物线标准方程:|p|表示 (1)焦点在 x 轴:方程 (2)焦点在 y 轴:方程 焦点: 焦点: 准线: 准线:

3.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的几何性质: (1)范围: (2)开口方向由 决定. p>0 开口 p<0 开口 。 2 (3)焦点弦的相关性质: 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB ,A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则①|AB|= = . ②以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线 1 1 ? ? ③ y1 y 2 ? , x1 x2 ? ④ AF BF (4)通径: 过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. 抛物线的通径长= . (四)直线与圆锥曲线的位置关系: 1.点与圆锥曲线的位置关系 (1)点与椭圆:点在椭圆内 (2)点与双曲线:点在双曲线内 (3)点与抛物线:点在抛物线内 2.直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与圆锥曲线的公共点个数问题,直线与圆锥曲线的位置关系有三种情 况: 、 、 .联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二 ),直线和圆锥 、 和 等; 、 . 次方程(注意在和双曲线和抛物线方程联立时 曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 直线与双曲线、抛物线有一个公共点有: 常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用 ②点差法:(主要适用 (2)弦长问题:(注意 ①直线具有斜率 k ,|AB|= ②直线斜率不存在,则|AB|= (3)有关对称垂直问题,要注意运用 考查三个方面:A ;B (五)求曲线轨迹常见做法: 、 及 ;C 、 、 、 等。 来解决 解决。 ;二是 , 求范围。 . , ) = ,设而不求,简化运算。 , ,点在椭圆外: ,点在双曲线外 ,点在抛物线外

x1 ? x2 y ?y y ?y ? 2 x0 , 1 2 ? 2 y0 , 2 1 ? k ) 2 2 x2 ? x1

注意:(1)椭圆、双曲线的焦点三角形问题:常用 (2)求有关抛物线的最值问题时,常利用 (3)当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是 用求 的方法求范围;二是建立 ,通过 (4)圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立 (5)注意向量在解析几何中的应用(

解决垂直、距离、夹角等)

期末复习二

圆锥曲线与方程

二、例题与训练 x2 y2 1.已知方程 + =1 表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆;(3)圆.试分别求出 2-k k-1 k 的取值范围

x2 y2 x2 y2 2.(1)椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值为 4 a a 2 2 2 (2)已知椭圆 mx ? 3 y ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2),则 m 的值为
2 2

. .

1 x y ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 2 k ?8 9 2 2 x y (4)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b ? a ? 0) 的半焦距是 c , 直线 l 过点 A(a, 0) ,B(0, b) , a b 3 若原点到直线 l 的距离为 c ,则双曲线的离心率为 4 x2 y 2 (5)双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 a b M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为

(3)已知椭圆

x2 y2 (6)已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点, a b 过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该 双曲线的离心率 e 的取值范围是 3.(1)已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3, 0? , a ? 3b ,求椭圆的标准方程.

(2)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为

4 5 和 3

2 5 ,过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 3

5 4.(1)与双曲线 - =1 共焦点的双曲线过点 P(? ,? 6 ) ,求双曲线标准方程. 16 9 2

x2

y2

(2)求与双曲线 - =1 共渐近线且过 A( 2 3,?3) 点的双曲线方程及离心率 16 9

x2

y2

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 为 MF1 的中点, 则 ON ( O 为 25 9 3 坐标原点)的值为( ) A.4 B.2 C.8 D. 2 2 2 x y 6.已知椭圆方程 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是 a b 椭圆上一点, ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1PF2 的面积(用 a 、 b 、? 表示) .

5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使 12 3 所作椭圆的长轴最短, 点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.

7.以椭圆

8.已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求 动圆圆心 P 的轨迹方程.
2

9.知圆 x 2 ? y 2 ? 1 ,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PN,求线段 PN 中点 M 的轨迹.

10.(1)设点 P 到点 M(-1,0)、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2, 求 m 的取值范围. (2)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测 点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观 测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播 的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上)。

1 1 x2 11.已知椭圆 ? y 2 ? 1 ,(1)求过点 P ( , ) 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 2 2 (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程;(3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦 的中点的轨迹方程;(4)椭圆上有两点 P 、Q , O 为原点,且有直线 OP 、OQ 斜率 1 满足 kOP ? kOQ ? ? ,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 2

12.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为 AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

13.(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 右支交于不同的两点,则 k 的取值 范围是 y2 x·|x| (2)直线 y=x+3 与曲线 - =1 交点的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3 9 4

14.(1)过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,且直线斜率为

3? 的直线交抛物线于 P, Q 两点, O 4

是坐标原点,则 ?OPQ 的面积为 . 2 (2)设抛物线 y=ax (a>0)与直线 y=kx+b(k≠0)有两个交点,其横坐标分别是 x1,x2,而直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴交点的横坐标是 x3,那么 x1,x2,x3 的关系 1 1 1 1 1 1 是( ) A.x3=x1+x2 B. = + C. = + D.x1=x2+x3 x3 x2 x1 x1 x3 x2 (3)过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=8,O 为坐标原 点,则 Δ OAB 的重心的横坐标为________ x2 y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m , 15.已知椭圆 C: ? 4 3 椭圆 C 上有不同的两点关于该直线对称.

16.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0).(1)求双曲线 C 的方程;(2)若直线 y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且 线段 MN 的垂直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围.

17..已知双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,右焦点 F (c, 0) 到渐近线的距离为

3 .(1)求双曲线 C 的方程;(2)过 F 作斜率为 k 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点, | AB | 线段 AB 的中垂线交 x 轴于 D,求证: 为定值. | FD |


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