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江苏省江阴高级中学2012-2013年上学期期中考试高一数学试卷


江苏省江阴高级中学 2012-2013 年上学期期中考试 高一数学试卷
1.若集合 A ? {? 1, 0 ,1} , B ? { x | 0 ? x ? 2} ,则 A ? B ? 2.已知集合A= x | 则 (CU A ) ? B ? 3.已知 f (
x 2





?

x ? 2 ,集合B= ? x | log 2 x ? log 2 5? ,全集U=R,

?



. ▲ .

? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f(m)=6,则 m 等于

4.幂函数 y ? f ( x ) 的图象经过点 ( ? 2, ? 1 ) ,且满足 f ( x ) =64的x的值是 ▲
8

.

5.不等式 2

x?2

?

1 8

的解集为



. ▲ .

6.方程 lg x ? 4 ? 2 x 的根 x ? ? k , k ? 1 ? , k ? Z ,则 k ? 7.计算(lg2)3+3lg2· lg5+(lg5)3= ▲ .

8. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? log 2 x. 已知 a=f (4),b=f ( ? c=f (
1 3

1 5

),

),则 a , b , c 的大小关系为___▲___.(用“ ? ”连结)

9. 已知函数 y ? log 1 (3 x 2 ? ax ? 5) 在 [ ? 1, ?? ) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是___▲___.
2

10.已知函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ), 当 a , b ? ( ?? ,0 ) 时总有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ( a ? b ) ,
a?b

若 f ( m ? 1) ? f ( 2 m ) ,则实数 m 的取值范围是___▲____.
? (3 a ? 1) x ? 4 a 11.已知函数 f(x)= ? log a x ? ( x ? 1) ( x ? 1)

在区间 ?? ? , ?? ? 内是减函数, a 的取值范围是 则

___▲____. 12.下列命题: ①函数 y ? ?
2 x

在其定义域上是增函数;

②函数 y ?

x ( x ? 1)
2

x ?1

是偶函数;

③函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象可由 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象向右平移 2 个单位得到; ④若 2 ? 3 ? 1 ,则 a ? b ? 0 ;
a b

则上述正确命题的序号是
2 2



.

13.已知 f ( x ) ? log 3 x ? 2 ( x ? [1,9 ]) ,则函数 y ? [ f ( x )] ? f ( x ) 的最大值是___▲____.

14、设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ,若对任意的 x ? [ t , t ? 2 ] ,
2

不等式 f ( x ? 2 t ) ? 4 f ( t ) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 15. (本题满分 14 分)





设全集为 R,集合 A ? ? x | x ? 3 或 x ? 6 ? , B ? ? x |? 2 ? x ? 9? . (1)求 A ? B , (C R A ) ? B ; (2)已知 C ? ? x |a ? x ? a ? 1? ,若 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

16、 (本题满分 14 分) 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/ 辆,年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入 成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x ? 0 ? x ? 1? ,则出厂价相应提高的比例为
0 . 75 x ,同时预计年销售量增加的比例为 0 . 6 x .已知年利润=(出厂价–投入成本) ? 年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;

(2) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

17、 (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? lg(2 ? x ) ? lg(2 ? x ). (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)记函数 g ( x ) ? 10
f (x)

? 3 x , 求函数 g ( x ) 的值域.

18.已知定义在实数集 R 上的函数 y= f ( x ) 满足条件: 对于任意实数 x、 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). y (1) f(0); 求证: f ( x ) 是奇函数; 若 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 , f ( ? 1) ? ? 2 , f ( x ) 求 (2) (3) 求 在 [ ?2 , 1] 上的值域.

19、 (本题满分 16 分)
? f ( x ), x ? 0 2 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? 1 ( a, b ∈R 且 a ? 0 ) F ( x ) ? ? , . ? ? f ( x ), x ? 0

(Ⅰ)若 f ( ? 1) ? 0 ,且函数 f ( x ) 的值域为[0, + ? ),求 F ( x ) 的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x∈[-2 , 2 ]时, g ( x ) ? f ( x ) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;
m (Ⅲ) mn ? 0 , ? n ? 0 , a ? 0 , 且 f ( x ) 是偶函数, 设 判断 F ( m ) ? F ( n ) 是否大于零?

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? log 2 ? 4 ? 1 ? ? kx , ? k ? R ? 是偶函数.
x

(1)求 k 的值;
4 ? ? x (2)设函数 g ? x ? ? log 2 ? a ? 2 ? a ? ,其中 a ? 0. 若函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象有且 3 ? ?

只有一个交点,求 a 的取值范围.

江苏省江阴高级中学 2012-2013 年上学期期中考试 高一数学试卷答案
1.若集合 A ? {? 1, 0 ,1} , B ? { x | 0 ? x ? 2} ,则 A ? B ? 2.已知集合A= x | 则 (CU A ) ? B ? 3.已知 f (
x 2



.{1}

?

x ? 2 ,集合B= ? x | log 2 x ? log 2 5? ,全集U=R,

?





[4, 5)

? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f(m)=6,则 m 等于



. m??

1 4 1 4

4.幂函数 y ? f ( x ) 的图象经过点 ( ? 2, ? 1 ) ,且满足 f ( x ) =64的x的值是 ▲
8

.

5.不等式 2

x?2

?

1 8

的解集为



.(-5,+ ? )课本 P55 ▲ .1

6.方程 lg x ? 4 ? 2 x 的根 x ? ? k , k ? 1 ? , k ? Z ,则 k ? 7.计算(lg2)3+3lg2· lg5+(lg5)3= ▲ .1 课本 P93

8. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? log 2 x. 已知 a=f (4),b=f ( ? c=f (
1 3

1 5

),

),则 a , b , c 的大小关系为___▲___.(用“ ? ”连结) c<a<b

9. 已知函数 y ? log 1 (3 x 2 ? ax ? 5) 在 [ ? 1, ?? ) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是___▲___.
2

(-8,-6] 10.已知函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ), 当 a , b ? ( ?? ,0 ) 时总有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ( a ? b ) ,
a?b

若 f ( m ? 1) ? f ( 2 m ) ,则实数 m 的取值范围是___▲____. m ? 1 或 m ? ?
? (3 a ? 1) x ? 4 a 11.已知函数 f(x)= ? log a x ? ( x ? 1) ( x ? 1)

1 3

在区间 ?? ? , ?? ? 内是减函数,则 a 的取值范围

是 12.下列命题: ①函数 y ? ?
2 x

1 1 . [ , ) 7 3

在其定义域上是增函数;

②函数 y ?

x ( x ? 1)
2

x ?1

是偶函数;

③函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象可由 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象向右平移 2 个单位得到; ④若 2 ? 3 ? 1 ,则 a ? b ? 0 ;
a b

则上述正确命题的序号是
2


2

. ③④

13. 已 知 f ( x ) ? log 3 x ? 2 ( x ? [1,9 ]) , 则 函 数 y ? [ f ( x )] ? f ( x ) 的 最 大 值 是

_____________.13 14、设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ,若对任意的 x ? [ t , t ? 2 ] ,
2

不等式 f ( x ? 2 t ) ? 4 f ( t ) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 15. (本题满分 14 分)



. [ 2 , ?? )

设全集为 R,集合 A ? ? x | x ? 3 或 x ? 6 ? , B ? ? x |? 2 ? x ? 9? . (1)求 A ? B , (C R A ) ? B ; (2)已知 C ? ? x |a ? x ? a ? 1? ,若 C ? B ,求实数 a 的取值范围. 15. (本题满分 14 分) 解: (1) A ? B =R………………………3 分(画数轴略,不画数轴不扣分)
?R A C R A = ? x |3 ? x ? 6? ,

∴ (C R A ) ? B = ? x |3 ? x ? 6? …………9 分

? a ? ?2 (2)∵ C ? ? x |a ? x ? a ? 1? ,且 C ? B , ∴ ? …………12 分 ?a ? 1 ? 9 ∴所求实数 a 的取值范围是 ? 3 ? a ? 8 …………14 分 16、 (本题满分 14 分)

某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/ 辆,年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入 成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x ? 0 ? x ? 1? ,则出厂价相应提高的比例为
0 . 75 x ,同时预计年销售量增加的比例为 0 . 6 x .已知年利润=(出厂价–投入成本) ? 年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;

(2) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 16、 (本题满分 14 分) 解: (1)由题意得
y ? [1 .2 ? (1 ? 0 .75 x ) ? 1 ? (1 ? x )] ? 1000 ? (1 ? 0 .6 x )( 0 ? x ? 1) ,

4分 7分

整理得 y ? ? 60 x ? 20 x ? 200 ( 0 ? x ? 1) .
2

(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当
? y ? (1 . 2 ? 1) ? 1000 ? 0 , ? ?0 ? x ? 1.

? ? 60 x 2 ? 20 x ? 0 , 即? ?0 ? x ? 1.

10 分

. 13 分 3 答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足 0 ? x ? 0 .33 . 14 分 17、 (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? lg(2 ? x ) ? lg(2 ? x ). (1)求函数 f ( x ) 的定义域;

解不等式得 0 ? x ?

1

(2)记函数 g ( x ) ? 10 17、 (本题满分 15 分)

f (x)

? 3 x , 求函数 g ( x ) 的值域.

?2 ? x ? 0 解: (1)由题意得, x 应满足: ? , ?2 ? x ? 0 所以 f ( x ) 的定义域为 ( ? 2, 2)

………………4 分 ………………7 分
2

(2) 由于 g ( x ) ? 10

f (x)

? 3 x,

得 g ( x) ? ? x ? 3x ? 4

( ? 2 ? x ? 2) ………………11 分
25 4 ] …………15 分

3 25 而 g ( ? 2) ? ? 6 , g ( ) ? , g (2) ? 6 2 4

∴函数 g ( x ) 的值域为 (? 6 ,

18.已知定义在实数集 R 上的函数 y= f ( x ) 满足条件: 对于任意实数 x、 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). y (1) f(0); 求证: f ( x ) 是奇函数; 若 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 , f ( ? 1) ? ? 2 , f ( x ) 求 (2) (3) 求 在 [ ?2 , 1] 上的值域. 18. 课本 P95(1)f(0)=0;3 分 (2)证明略;9 分 (3)证明单调性 13 分 值域[-4,2] 15 分 19、 (本题满分 16 分)
? f ( x ), x ? 0 2 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? 1 ( a, b ∈R 且 a ? 0 ) F ( x ) ? ? , . ? ? f ( x ), x ? 0

(Ⅰ)若 f ( ? 1) ? 0 ,且函数 f ( x ) 的值域为[0, + ? ),求 F ( x ) 的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x∈[-2 , 2 ]时, g ( x ) ? f ( x ) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;
m (Ⅲ) mn ? 0 , ? n ? 0 , a ? 0 , 且 f ( x ) 是偶函数, 设 判断 F ( m ) ? F ( n ) 是否大于零?

解: (Ⅰ) f ( ? 1) ? a ? b ? 1 ? 0 . ∵函数 f ( x ) 的值域为[0, + ? ) ∴ a ? 0 且△= b ? 4 a ? 0
2

∴ a ? 1, b ? 2 .

? x ? 0, ? x ? 2 x ? 1, ∴ F ( x) ? ? 2 ? ? x ? 2 x ? 1, x ? 0 . ?
2

5分

(Ⅱ) g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? x ? 2 x ? 1 ? kx ? x ? ( k ? 2 ) x ? 1
2 2

在定义域 x∈[-2 , 2 ]上是单调函数,对称轴为 x ? ∴
k?2 2 ? ?2 或 k?2 2 ?2

k?2 2

即 k ? ?2 或 k ? 6

10 分

(Ⅲ)∵ f ( x ) 是偶函数
2

∴ f (? x) ? f ( x)
2

∴ ax ? bx ? 1 ? ax ? bx ? 1
? ax 2 ? 1 , ? ∴ F ( x) ? ? ? ? ax 2 ? 1 , ? x ? 0, x ? 0.

∴b ? 0

∴ f ( x ) ? ax ? 1
2

11 分

12 分

∵ mn ? 0 不妨设 m ? n , 则 m ? 0 , n ? 0 , ∴ F ( m ) ? F ( n ) ? am ? 1 ? an ? 1 ? a ( m ? n ) ? a ( m ? n )( m ? n )
2 2 2 2

15 分 16 分

∵a ? 0 ,m ? n ? 0 ,m ? n ? 0

∴ F (m ) ? F (n) ? 0

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? log 2 ? 4 ? 1 ? ? kx , ? k ? R ? 是偶函数.
x

(1)求 k 的值;
4 ? ? x (2)设函数 g ? x ? ? log 2 ? a ? 2 ? a ? ,其中 a ? 0. 若函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象有且 3 ? ?

只有一个交点,求 a 的取值范围. 20. 解: (1)∵ f ( x ) ? log 2 (4 ? 1) ? kx ( k ? R ) 是偶函数,
x

∴ f ( ? x ) ? log 2 (4
x

?x

? 1) ? kx ? f ( x ) 对任意 x ? R ,恒成立
x

2分 5分

即: log 2 (4 ? 1) ? 2 x ? kx ? log 2 (4 ? 1) ? kx 恒成立,∴ k ? ? 1 (2)由于 a ? 0 ,所以 g ( x ) ? log 2 ( a ? 2 ?
x

4 3

a ) 定义域为 (log 2

4 3

, ?? ) ,

也就是满足 2 ?
x

4

7分

3 ∵函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个交点,

∴方程 log 2 (4 ? 1) ? x ? log 2 ( a ? 2 ?
x x

4 3
4 3

a ) 在 (log 2

4 3

, ?? ) 上只有一解

即:方程

4 ?1
x

2
x

x

? a?2 ?
x

4 3

a 在 (log 2

, ?? ) 上只有一解

9分

令 2 ? t, 则t ?
( a ? 1) t ?
2

4 3

,因而等价于关于 t 的方程

4

4 at ? 1 ? 0 (*)在 ( , ?? ) 上只有一解 3 3

10 分

① 当 a ? 1 时,解得 t ? ?

3

4 ? ( , ?? ) ,不合题意; 4 3
2

11 分

② 当 0 ? a ? 1 时,记 h ( t ) ? ( a ? 1) t ?

4 3

at ? 1 ,其图象的对称轴 t ?

2a 3( a ? 1)

?0

∴函数 h ( t ) ? ( a ? 1) t ?
2

4 3

at ? 1 在 (0, ?? ) 上递减,而 h (0) ? ? 1

4 ∴方程(*)在 ( , ?? ) 无解 3

13 分

③ 当 a ? 1 时,记 h ( t ) ? ( a ? 1) t ?
2

4 3

at ? 1 ,其图象的对称轴 t ?

2a 3( a ? 1)

?0

4 16 16 a ? 1 ? 0 ,此恒成立 所以,只需 h ( ) ? 0 ,即 ( a ? 1) ? 3 9 9

∴此时 a 的范围为 a ? 1 综上所述,所求 a 的取值范围为 a ? 1

15 分 16 分


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