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明德中学数学竞赛培训第9讲 数学归纳法


第9讲
一、知识要点
(1) (2) (3) (4)

数学归纳法

数学归纳法的基本形式 数学归纳法的应用 归纳—猜想—证明 数学归纳法的常用技巧 增加起点 加大跨度 屈中求伸 强化命题 欲勤故纵 推广命题.

二、例题剖析
例题 1: 已知 f (n) ? 1 ? ? ? ? ?

/>1 1 2 3 1 1 1 1 ,g (n) ? , ? N? , 求证:f (n) ? g (n) . n ? ??? 2n ? 1 2n n ?1 2n

例题 2:已知 sin x ? cos x ? ?1 ,证明: sin n x ? cosn x ? (?1)n (n ? N ? ) .

例题 3:设 x1 , x2 , x3 , ? xn 是一组实数,且对任一非负整数 n 满足: x03 ? x13 ? ? ? xn3 ? ? x0 ? x1 ? x2 ? x3 ? ? xn ? ,
2

求证:对所有非负整数 n ,存在一个非负整数 m 使得 x0 ? x1 ? ? ? xn ?

m(m ? 1) 2

例题 4:图 10-1 中的线条代表一个城市的街道,一个人从 (0, 0) 走到 ( x, y ) , x, y 是正整数, 此人是沿着 x, y 的正方向行走的,设从 (0, 0) 走到 ( x , y ) 的可能路线为 f ( x, y) ,试证明:
f (n, 2) ? 1 2 (n ? 3n ? 2) (n ? N ) . 2

例题 5:求证:对任意的 n 均有不等式 2n ? 2 ? n2 .

例题 6: (中国科技大学)设 ?an ? 为实数列,对一切 n 都有等式
1 1 1 1 . ? ? ?? ? ? a1 a2 an a1 a2 a3 ?? an

(1) 写出 an 与 an ?1 的关系. (2) 证明:如果 a1 ? (0,1) ,则有 an ? (0,1) . (3) 设 a1 ? (0,1) ,求证:对于 ? n ? 2 ,都有 an ? an ?1 .

例题 7: (2006 年复旦推优) 对于任意 n ? N ? , x1 , x2 , ? xn 均为非负实数, x1 ? x2 ?, ? ? xn ? 且
1 试用数学归纳法证明: (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? xn ) ? . 2

1 2

例题 8: (2007 年武汉大学)设二次函数 y ? f ( x) 过原点,且满足 ?3x2 ? 1 ? f ( x) ? 6 x ? 2 ,数 列 ?an ? 满足 a1 ?
1 , an ?1 ? f (an ) , 3

(1) 试确定 f ( x) 的表达式. (2) 求证: an ?1 ? an . (3) 求证:
1 1 ? a1 2 ? 1 1 ? a2 2 ??? 1 1 ? an 2 ? 3n ?1 ? 3 .

例题 9:2009 年浙江大学) ( 数列 ?an ? 满足条件: 1 ? 1 , n ? 1 ? a a (2) ?
1 3 an ?1 ? an an ?1 ? an ? 1 (n ? 2) . 2

1 求证:1) ? an ? 2 ( 1 (n ? 2) , an ?1

例题 10:设 n 是不小于的 6 自然数,求证:可以将一个正三角形分成 n 个较小的正三角形.

例题 11: 0 ? a ? 1 , 设 定义 a1 ? 1 ? a ,an ?

1 试证明: 对一切 n ? N , 都有 an ? 1 . ? a ,n ? 2 , an ?1

例题 12:已知 a1 ? a2 ? 1 , an ? 2 ?

a 2 n ?1 ? (?1) n ?1 ,求证:对一切正整数 n , an 都是正整数. an

例题 13:设 a, b, c 是方程 x3 ? x2 ? x ? 1 ? 0 的根,试证明: (1) a, b, c 互不相等.(2)代数式
a1993 ? b1993 b1993 ? c1993 c1993 ? a1993 的值是整数. ? ? a ?b b?c c?a

三、习题演练
1.证明:

? sin
k ?0

n

3

(3k a) ?

3 1 sin a ? sin 3n ?1 a 对一切正整数 n ? N ? 都成立. 4 4 ? 3n

2.证明:已知 a, b 是正实数,且 ?

1 a

1 ? 1 ,求证:对每一个 n ? N? , (a ? b)n ? a n ? bn ? 22n ? 2n ?1 . b

3.设正数列 a1 , a2 , ? an , ? ,满足: an 2 ? an ? an ?1 , n ? 1, 2?, 求证:对一切 n ? N ? ,有 an ?

1 . n

4.求证: 2 3 4 ? ( N ? 1) N ? 3 对一切正整数 N 成立.

5.设数列 ?an ? 满足 an ?1 ? an 2 ? nan ? 1 ( n ? N ? ) (1)当 a1 ? 2 时,求 a1 , a2 , a3 , a4 ,并且由此猜想出数列 ?an ? 通项公式. (2)当 a1 ? 3 时,证明对所有的 n ? 1 ,有(i) an ? n ? 2 ;(ii)
1 1 1 1 ? ??? ? . 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

6.(2013 年卓越联盟)数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? a2n ? nan ? a , (1)若 an ? 2n 对于任意正整 数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)若 a ? ?2 ,求证:
1 1 1 ? ??? ?2. a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2

7.定义函数序列 f1 ( x), f2 ( x), ? f n ( x) ? ,如下
f 0 ( x) ? 8( x ? R) , f n ?1 ( x) ? x 2 ? 6 f n ( x) , (n ? 0,1, 2, 3, ? x ? R) .试解方程 f n ( x) ? 2 x .

8.已知 cos A , sin A 为有理数,求证:对任意的自然数 n ,都有 cos nA 是有理数.


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