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2.4.2《求函数零点的近似解的一种方法------二分法》例题设计 内蒙古师范大学附属中学 王智娟


2.4.2《求函数零点的近似解的一种方法------二分法》例题设计 王智娟
(内蒙古师范大学附属中学 内蒙古 呼和浩特 010020)

“用二分法求方程的近似解”是人教社新课标高中《数学》必修 1(B 版)新出现的内容。 “二分法”简单、直观、易学,不需要什么预备知识(如导数和凹性等),它充分体现了函数 与方程之间的联系, 是运用函数观点解决方程

近似解问题的方法之一。 同时二分法也体现了 算法思想,算法作为一种计算机时代最重要的教学思想方法, “算法”是必修 3 (B 版)的一 个新增内容,因此, “二分法”也是算法教学的一个案例,为学生后续学习算法内容埋下伏 笔.如何进行这部分知识的教学值得探讨。 教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获, 而且希望学生感受到数 学文化方面的熏陶,所以在“阅读与思考”中,介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的 成就,特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献. 一、引进“二分法”的原由 数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题,即 f(x)=0。 从小学五年级开始,一直到高中,我们都在学习有关方程的东西。最初我们学会的方程是一 元一次方程。以此为基础,我们学会了将二元一次方程组转化为一元一次方程,从而学会了 解二元一次方程;然后我们又学习了一元二次方程,并利用一些运算的方法解决了一元二次 方程降次的问题。 二、新课导入设计 导入一:设置情景,提出问题: 问题 1: 你会求哪些类型方程的解? 小组讨论有哪些方程不会求解? 并让学生把所提问题归纳并板书到黑板上 问题 2:能不能求方程的近似解? 3 以求方程 x +3x-1=0 的近似解(精确度 0.1)为例进行探究。引入新课,按照二分法的步 骤引导学生探究答案。 导入二:李咏主持的幸运 52 中猜商品价格环节,让学生思考: 问题 1:主持人给出高了还是低了的提示有什么作用? 问题 2:如何猜才能最快猜出商品的价格? 在学生思考回答的过程中逐步引入二分法。 三、教学过程 (一) 设置情景,提出问题 问题 1: 你会求哪些类型方程的解? 小组讨论有哪些方程不会求解? 并让学生把所提问题归纳并板书到黑板上 问题 2:能不能求方程的近似解? (二) 互动探究,获得新知

以求方程 x +3x-1=0 的近似解(精确度 0.1)为例进行探究 问题 1:怎样确定解所在的区间? (1)图像法 (2)试值法

3

复习: 方程的根与函数零点的关系和根的存在性定理。
问题 2:怎样缩小解所在的区间? 李咏主持的幸运 52 中猜商品价格环节,让学生思考: (1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用? (2)如何猜才能最快猜出商品的价格? 问题 3:为什么要取中点,好处是什么? 探究 4:区间缩小到什么程度满足要求? 问题 5: 精确度 0.1 指的是什么?与精确到 0.1 一样吗? 二分法的定义: 对于在区间 [a , b] 上连续不断且满足

f (a) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断

地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值的方法叫做二分法. (三) 例题剖析,巩固新知 这节课就让我们来共同学习一下 §2.4.2 《求函数零点的近似解的一种方法------二分 法》 问题 1:我们已经知道,函数

f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内有零点,且

f (2) ? 0 , f (3) ? 0 ,进一步的问题是,如何找出这个零点?
第一步:取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得

f

(2.5)≈-0.084.因为

f

(2.5)· f (3) <0,所以零点在区间(2.5,3)内.

第二步:取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得

f

(2.75)≈0.512. 因为

f

(2.5)·

f

(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内.

结论:由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小 两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果;学生讲解缩小区间的方法和过程,教师 点评.同时演示用计算机程序进行计算. (见下表和图)

问题 2::你能说出二分法的意义及用二分法求函数 1.二分法的意义 对于在区间 [a, b]上连续不断且满足 ·

零点近似值的步骤吗?

<0 的函数

,通过不断地把函数

y ? f ( x) 零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似
值的方法叫做二分法(bisection). 2.给定精确度 ? ,用二分法求函数 y ? f ( x) 零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [a, b],验证 (2)求区间 (a, b) 的中点 (3)计算 1若 2若 3若 : = ,则 · · 就是函数的零点; <0,则令 = <0,则令 = (此时零点 (此时零点 ); ); ; · <0,给定精确度 ;

(4)判断是否达到精确度 ? ;即若

< ? ,则得到零点近似值 (或 );否则重

复步骤 2-4. 结论: 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解. 思考:为什么由 < ? ,便可判断零点的近似值为 (或 )?

(四) 知识迁移,应用生活 (1)猜商品价格 (2)从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点,现在某接点发生故障,需及时修 理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查接点的个数为 个 (五) 检验成果,深化理解 x 1. 方程 4 +2x-11=0 的解在下列哪个区间内?你能给出一个满足精确度为 0.1 的近似 解吗? A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 说明:二分法也能求方程的精确解 2. 下列函数的图像与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是( )

y
0
A

y x
0
B

y x
0
C

y x
0
D

思维升华:在零点的附近连续且 f(a)?f(b)<0 (六) 课堂小结,回顾反思 本节课你学到了哪些知识? 有哪些收获? 四、教学设计意图 本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、 近似的思想、 逼近的思想和初步感受程 序化地处理问题的算法思想。 所以本节课主要任务是探究二分法基本原理, 给出用二分法求 方程近似解的基本步骤,使学生以问题为教学出发点,注重与现实生活中案例相结合,注重 学生参与知识的形成过程,恰当地利用现代信息技术用二分法求给定精确度的方程的近似 解。引导学生用联系的观点理解有关内容,通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以 及算法等内容的有机结合,使学生体会知识之间的联系。 五、 教学建议 (1).要给学生渗透算法的思想,重视算理的理解。 (2).让学生从具体实例实际情境中理解某些概念;在这些具体的情境中,在处理具体 问题过程中,使学生理解:算法的基本思想,算法的基本结构,算法的基本语句,从而更深 刻的理解算法。 (3).帮助学生掌握解决算法问题的基本步骤:清晰地描述问题;明确算理;用自然语言 和框图描述解决问题的步骤;选择特殊情况进行检验。 在“用二分法求方程的近似解”教学时,学生还没有学习算法,但要给学生渗透算法的 思想。重视算理,在算法设计中最关键的东西是理解算理。再到将来学习必修 3(B 版)“算 法”的时候,还可以将“二分法求解方程近似解”这个例子拿出来讲一讲,让学生从具体实 例实际情境中理解某些概念;在这些具体的情境中,在处理具体问题过程中,使学生理解 : 算法的基本思想,算法的基本结构,算法的基本语句,从而更深刻的理解算法。


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