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江西省新余一中、宜春中学2014届高三期初联考数学理科试题 Word版含答案


新余一中 宜春中学 2014 届高三年级联考数学(理)试卷
审题人:胡军
2013.8.25

命题人:敖礼生 考试时间:120 分钟

满分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.若集合 A ? {x x ? 9 x ? 0

, x ? N }, B ? { y
2 ?

4 ? N ?}, 则 A ? B 中元素个数为 ( y
C.2 个 D.3 个 ( )



A.0 个 2.函数 f(x)=

B.1 个

1 +lg(1+x)的定义域是 1-x A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)

3. 已知命题 p : ?x ?[1, 2], x2 ? 1 ? a ,命题 q : ?x ? R, x2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,若命题“ p ? q ” 为真命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a ? ?2或a ? 1 B. a ? ?1或1 ? a ? 2 C. a ? 1 D. ?2 ? a ? 1 4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为( ) 16 19 A. π B. π 3 3 19 4 C. π D. π 12 3 5. 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为单调递减函数, f(2)=0, 且 则不等式 的解集为 ( ) A.(-∞,-2]∪(0,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2 2

3 f (? x) ? 2 f ( x) ≤0 5x

B.[-2,0]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪(0,2]

x y 1 6.设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈( ,1),则实数 k 的取值范围是 ( ) 4 k 2 16 16 A.(0,3) B.(3, ) C.(0,3)∪( ,+∞) D.(0,2) 3 3 x 7.函数 f(x)=e cosx 的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 ( ) π π A.0 B. C.1 D. 4 2 3 2 8.已知函数 f(x)=x +2bx +cx+1 有两个极值点 x1、x2,且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2], 则 f(-1)的取值范围是 ( ) 3 3 3 A.[- ,3] B.[ ,6] C.[3,12] D.[- ,12] 2 2 2 9. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈R, 都有 f(x+2)=f(x). 0≤x≤1 当 2 时,f(x)=x .若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则 实数 a 的值是 ( ) 1 1 1 1 A.0 B.0 或- C.- 或- D.0 或- 2 4 2 4 10.奇函数 f(x)、偶函数 g(x)的图像分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0,g(f(x))=0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b= ( )

A. B. C. D.

14 10 7 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 4 x 11 .已知偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x-1),且当 x∈[-1,0]时,f(x)=3 + , 9 则 f(log15)的值等于________.
3

12.如图所示, 在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P, 则点 P 恰好取自阴影部分 的概率为________ 13. 已知各项都为正数的等比数列{an}中, 2·a4=4, 1+a2+a3=14, a a 则满足 an·an 1 +1·an+2> 的最大正整数 n 的值为________. 9 14.已知集合 {x | ax ? ax ? 1 ? 0} ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________.
2

15.在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是________. 三 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(本小题满分 12 分).已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) . (1)若 f (x) 的定义域和值域均是 ?1,

1 (2)若对任意的 x1 , x2 ? ? ,

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

a? ,求实数 a 的值;

17(本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且满足

2c ? b cos B ? . a cos A (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5 ,求 ?ABC 面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N ). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; Tn-2 (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2 010 的 n 的 2n-1 最小值.

*

19(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且与椭圆 x + =1 a b 2 有相同的离心率,斜率为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同的两点 A、B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围.

x2 y2

2

y2

20.(本小题满分 13 分)如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC∥平面 DEFG,AD⊥平面 DEFG,ED⊥DG,EF∥DG.且 AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1. (1)求证:BF∥平面 ACGD; (2)求二面角 D?CG?F 的余弦值.

班级: 姓名: 学号: 班级: 姓名: 学号: 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 内 不 要 答 题 ????????????装?????????????订???????????线????????????? ????????????装?????????????订???????????线?????????????

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ae ,g(x)=lnx-lna,其中 a 为常数,e= 2.718?,且函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行. (1)求常数 a 的值; (2)若存在 x 使不等式

x

x?m > x成立,求实数 m 的取值范围; f (x)

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的 值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差 都大于 2.

新余一中 宜春中学
一、选择题(10×5=50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题(5×5=25 分)

2014 届高三年级联考数学(理)答题卡

学校: 学校:

11、 14、 三、解答题 16、 (12 分)

12、 15、

13、

17、 (12 分)

18、 (12 分)

19、 (12 分)

20、 (13 分)

21、 (14 分)

1D 11

2C 3 B 1 1 12 6

参考答案 4B 5D 6C 7B 8C 13 4 14

9D

10B 15

?0,4?

0? A?

?
3



2 2 16 解: (1)∵ f ( x) ? ( x ? a) ? 5 ? a ( a ? 1 ),

? f (1) ? a a ? 上是减函数,又定义域和值域均为 ?1, a ? ,∴ ? , ? f (a ) ? 1 ? 1 ? 2a ? 5 ? a 即? 2 , 解得 a ? 2 . 分) (5 2 ?a ? 2a ? 5 ? 1 (2)若 a ? 2 ,又 x ? a ? ?1, a ? 1? ,且, (a ? 1) ? a ? a ? 1 ∴ f ( x) max ? f (1) ? 6 ? 2a , f ( x) min ? f (a) ? 5 ? a 2 .
∴ f (x ) 在 ?1, ∵对任意的 x1 , x2 ? ?1,

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,

2 ∴ f ( x) max ? f ( x) min ? 4 , 即 (6 ? 2a) ? (5 ? a ) ? 4 ,解得 ? 1 ? a ? 3 ,

又a ? 2, ∴2 ? a ? 3. 若 1 ? a ? 2, f max ( x) ? f (a ? 1) ? 6 ? a2 , f ( x) min ? f (a) ? 5 ? a , (12 分) f ( x) max ? f ( x) min ? 4 显然成立, 综上 1 ? a ? 3 。
2

17【解析】 (1)∵

2c ? b cos B ? , (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B , a cos A a b c ? ? ∵ , sin A sin B sin C ∴ (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B . ∴ 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B .

∴ 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C . 在△ ABC 中, sin C ? 0 .

? 1 , ?A ? . 3 2 2 2 2 b ?c ?a 1 ? ,a ? 2 5 . (2)∵ cos A ? 2bc 2 2 2 ∴ b ? c ? 20 ? bc ? 2bc ? 20 ∴ bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取“=” . 1 ∴三角形的面积 S ? bc sin A ? 5 3 . 2 ∴三角形面积的最大值为 5 3 .
∴ cos A ? 18 解析 (1)因为 Sn+n=2an,所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N ).两式相减,得 an=2an-1+1. * 所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N ),所以数列{an+1}为等比数列. 因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1. a1+1=2,所以 an+1=2n,所以 an=2n-1. n (2)因为 bn=(2n+1)an+2n+1,所以 bn=(2n+1)·2 . 2 3 n-1 n 所以 Tn=3×2+5×2 +7×2 +?+(2n-1)·2 +(2n+1)·2 , ① 2 3 n n+1 2Tn=3×2 +5×2 +?+(2n-1)·2 +(2n+1)·2 , ② 2 3 n n+1 ①-②,得-Tn=3×2+2(2 +2 +?+2 )-(2n+1)·2 2 n+1 2 -2 n+1 =6+2× -(2n+1)·2 1-2 n+2 n+1 n+1 =-2+2 -(2n+1)·2 =-2-(2n-1)·2 . n+1 所以 Tn=2+(2n-1)·2 . Tn-2 若 >2 010, 2n-1 n+1 2+? 2n-1? ·2 n+1 则 >2 010,即 2 >2 010. 2n-1 10 11 由于 2 =1 024,2 =2 048,所以 n+1≥11,即 n≥10. Tn-2 所以满足不等式 >2 010 的 n 的最小值是 10. 2n-1 19 解析 (1)∵椭圆 C 的焦距为 4,∴c=2. y2 2 2 又∵椭圆 x + =1 的离心率为 , 2 2
*

c 2 2 ∴椭圆 C 的离心率 e= = = ,∴a=2 2,b=2. a a 2
∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 8 4 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

x2 y2

?y=kx+1, ? 由?x2 y2 ? 8 + 4 =1 ?

消去 y,得(1+2k )x +4kx-6=0.

2

2

-4k -6 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k 由(1)知椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0), → → ∵右焦点 F 在圆的内部,∴AF·BF<0.

∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0, 2 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k x1x2+k(x1+x2)+1<0. 2 ∴(1+k )x1x2+(k-2)(x1+x2)+5 -6 -4k 8k-1 2 =(1+k )· 2+(k-2)· 2+5= 2<0, 1+2k 1+2k 1+2k 1 ∴k< . 8 1 经检验,当 k< 时,直线 l 与椭圆 C 相交. 8 1 ∴直线 l 的斜率 k 的取值范围为(-∞, ). 8 20 解析 方法一 (1)设 DG 的中点为 M,连接 AM,FM. 则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形. ∴MF∥DE,且 MF=DE.∵平面 ABC∥平面 DEFG, ∴AB∥DE.∵AB=DE, ∴MF∥AB,且 MF=AB,∴四边形 ABFM 是平行四边形. ∴BF∥AM. 又 BF?平面 ACGD,AM? 平面 ACGD, 故 BF∥平面 ACGD. (2)由已知 AD⊥平面 DEFG,∴DE⊥AD.又 DE⊥DG, ∴DE⊥平面 ADGC.∵MF∥DE,∴MF⊥平面 ADGC. 在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则∠MNF 为所求二面角的平面角. 连接 CM.∵平面 ABC∥平面 DEFG,∴AC∥DM.又 AC=DM=1,所以四边形 ACMD 为平行四 边形,∴CM∥AD,且 CM=AD=2. ∵AD⊥平面 DEFG,∴CM⊥平面 DEFG,∴CM⊥DG.

在 Rt△CMG 中,∵CM=2,MG=1, CM·MG 2 2 5 ∴MN= = = . CG 5 5 在 Rt△FMN 中, 2 5 ∵MF=2,MN= , 5 ∴FN= 4 2 30 4+ = . 5 5 2 5 5 MN 6 ∴cos∠MNF= = = . FN 2 30 6 5 6 . 6 方法二 由题意可得,AD,DE,DG 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系. ∴二面角 D?CG?F 的余弦值为

则 A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0), F(2,1,0). → → → (1)BF=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1, -2), =(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1, CG -2), BF= ∴ →

CG,∴BF∥CG. 又 BF?平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD.
→ (2)FG=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0). 设平面 BCGF 的法向量为 n1=(x,y,z),

?n ·→=y-2z=0, CG 则? ?n ·→=-2x+y=0. FG
1 1

令 y=2,则 n1=(1,2,1). 则平面 ADGC 的法向量 n2=(1,0,0). n1·n2 ∴cos〈n1,n2〉= |n1|·|n2| = 1×1 1 +2 +1 × 1 +0 +0
2 2 2 2 2 2



6 . 6 6 . 6

由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角 D?CG?F 的余弦值为 (1)f(x)与坐标轴的交点为(0,a),f′(0)=a, 1 g(x)与坐标轴的交点为(a,0),g′(a)= . 21 解析

a

1 ∴a= ? a=±1,又 a>0,故 a=1.

a x-m x (2) > x可化为 m<x- xe . f? x?

1 x x 令 h(x)=x- xe ,则 h′(x)=1-( )e . 2 x+ x 1 1 x x ∵x>0,∴ + x≥ 2,e >1? ( + x)e >1. 2 x 2 x 故 h′(x)<0. ∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,因此 h(x)<h(0)=0. ∴实数 m 的取值范围是(-∞,0). (3)y=f(x)与 y=g(x)的公共定义域为(0,+∞), x x |f(x)-g(x)|=|e -lnx|=e -lnx. x x 令 h(x)=e -x-1,则 h′(x)=e -1>0. ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数. x 故 h(x)>h(0)=0,即 e -1>x. ① 1 令 m(x)=lnx-x+1,则 m′(x)= -1.

x

当 x>1 时,m′(x)<0,当 0<x<1 时,m′(x)>0.

∴m(x)有最大值 m(1)=0,因此 lnx+1<x. ② x x 由①②,得 e -1>lnx+1,即 e -lnx>2. ∴函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.


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