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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第七章 第6讲 空间向量及其运算


第 6 讲 空间向量及其运算

1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在唯一的实 数 λ,使得 a=λb. (2)共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条 件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有 序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底. 2.两个向量的数量积(与平面向量基本相同) → → (1)两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间中任取一点 O,作OA=a,OB=b, 则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 .通常规定 0≤〈a,b〉≤π .若〈a,b〉 π = ,则称向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b. 2 (2)两向量的数量积: 两个非零向量 a,b 的数量积 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . (3)向量的数量积的性质: ①a· e=|a|cos〈a,e〉 ; ②a⊥b?a· b=0; ③|a|2=a· a=a2; ④|a· b|≤|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律: ①(λa)· b=λ(a· b); ②a· b=b· a(交换律); ③a· (b+c)=a· b+a· c(分配律). 3.空间向量的坐标运算 (1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), λ a=(λa1,λ a2,λ a3),a· b=a1b1+a2b2+a3b3, a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0, a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R), a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos〈a,b〉= = 2 2 2 2 2 . |a|· |b| a1+a2+a2 3· b1+b2+b3 (2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), → → → 则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). [做一做] 1.已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 解析:选 C.∵c=(-4,-6,2)=2a,∴a∥c.又 a· b=0,故 a⊥b. 2.若向量{a,b,c}是空间的一个基底,向量 m=a+b,n=a-b,那么可以与 m,n 构成空间另一个基底的向量是( )

A.a B.b C.c D.2a 解析:选 C.∵a+b,a-b 分别与 a,b,2a 共面, ∴它们分别与 a+b,a-b 均不能构成一组基底. 1.辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别. (2)共线向量定理中 a∥b?存在唯一的实数 λ∈R,使 a=λb 易忽视 b≠0. (3)共面向量定理中,注意有序实数对(x,y)是唯一存在的. (4)向量的数量积满足交换律、 分配律, 但不满足结合律, 即(a· b)· c=a· (b· c)不一定成立. 2.建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直. (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上. 3.利用空间向量坐标运算求解问题的方法 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理; 求两点间距离或某 一线段的长度,一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求 异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进 行转化. [做一做] 3.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选 C.不妨设 AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图 所示,则 B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1), → ∴BA1=(0,1,1), → AC1=(-1,0,1), → → ∴cos〈BA1,AC1〉 → → BA1·AC1 1 1 = = = , 2 → → 2 × 2 |BA1|·|AC1| → → ∴〈BA1,AC1〉=60°, ∴异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°. → 4.已知 A(3,2,1),B(1,0,4),则线段 AB 的中点坐标和|AB|分别是________. 解析:设 P(x,y,z)是 AB 的中点,则 1 → 1 → → OP= (OA+OB)= [(3,2,1)+(1,0,4)] 2 2 5 =(2,1, ), 2 → dAB=|AB|= (3-1)2+(2-0)2+(1-4)2= 17. 5 答案:(2,1, ), 17 2

考点一__空间向量的线性运算__________________ → → → 如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,

→ → → N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:(1)AP;(2)A1N;(3)MP → +NC1.

[解] (1)∵P 是 C1D1 的中点, → → → → ∴AP=AA1 +A1D1+D1P → 1 → =a+AD+ D1C1 2 1→ 1 =a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点, → → → → ∴A1N=A1A+AB+BN 1→ =-a+b+ BC 2 1→ 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点, → → → 1→ → ∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 1 =- a+(a+c+ b) 2 2 1 1 = a+ b+c. 2 2 → → → 1→ → 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1→ → 1 = AD+AA1= c+a. 2 2 → → ∴MP+NC1 1 1 1 3 1 3 =( a+ b+c)+(a+ c)= a+ b+ c. 2 2 2 2 2 2 [规律方法] 用已知向量表示某一向量的方法: 用已知不共面的向量表示某一向量时, 应结合图形, 将已知向量和未知向量转化至三角 形或平行四边形中, 然后利用三角形法则或平行四边形法则, 把所求向量用已知向量表示出 来. 1. 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点.

→ 1→ 1 → (1)化简A1O- AB- AD=________. 2 2

→ → → → → (2)用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1=________. → 1→ 1 → → 1 → → → → → → → 解析:(1)A1O- AB- AD=A1O- (AB+AD)=A1O-AO=A1O+OA=A1A. 2 2 2 → 1→ 1 → → (2)OC= AC= (AB+AD). 2 2 → → → 1 → → → ∴OC1=OC+CC1= (AB+AD)+AA1 2 1→ 1 → → = AB+ AD+AA1. 2 2 1→ 1 → → → 答案:(1)A1A (2) AB+ AD+AA1 2 2 考点二__共线、共面向量定理的应用____________ 已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点, 求证:

(1)E,F,G,H 四点共面; (2)BD∥平面 EFGH. [证明] (1)连接 BG(图略), → → → 则EG=EB+BG → 1 → → =EB+ (BC+BD) 2 → → → =EB+BF+EH → → =EF+EH, 由共面向量定理的推论知,E,F,G,H 四点共面. → → → (2)因为EH=AH-AE 1 → 1→ 1 → → 1 → = AD- AB= (AD-AB)= BD, 2 2 2 2 所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH, BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH. [规律方法] 在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、 平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近.常见的向量 处理方法见下表: 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 → → → → → PA=λPB且同过点 P MP=xMA+yMB → → → → → → → 对空间任意一点 O,OP=OA+tAB 对空间任意一点 O,OP=OM+xMA+yMB → → → 对空间任意一点 O,OP=xOM+yOA+(1-x → → → 对空间任意一点 O,OP=xOA+(1-x)OB → -y)OB → 2.已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足OM

1 → → → = (OA+OB+OC). 3 → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. → → → → 解:(1)由题知OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → ∴MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,MA,MB,MC共面且基线过同一点 M, ∴M,A,B,C 四点共面,从而点 M 在平面 ABC 内. 考点三__空间向量的数量积与坐标运算(高频考点) 通过近几年高考试题可以看出, 试题以空间向量的运算为主, 特别是数量积的运算及其 应用,更是考查的热点.高考中对空间向量的数量积的考查主要有以下三个命题角度: (1)空间向量的数量积的运算; (2)线与线垂直问题; (3)线段长度问题. → → 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=AB,b=AC. (1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. → → [解] ∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB,b=AC, ∴a=(1,1,0),b=(-1,0,2). 10 a· b -1+0+0 (1)cos θ= = =- , |a||b| 10 2× 5 10 . 10 (2)∵ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0. 5 解得 k=- 或 k=2. 2 [规律方法] (1)空间向量数量积的计算方法: ①定义法:设向量 a,b 的夹角为 θ,则 a· b=|a||b|· cos θ. ②坐标法:设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 a· b=x1x2+y1y2+z1z2. (2)数量积的应用: a· b ①求夹角:设向量 a,b 所成的角为 θ,则 cos θ= ,进而可求两异面直线所成的 |a||b| 角. ②求长度(距离):运用公式|a|2=a· a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计 算问题. ③解决垂直问题:利用 a⊥b?a· b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的 计算问题. 3. (1)已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a, 点 E、 F 分别 ∴a 和 b 的夹角 θ 的余弦值为- 是 BC、AD 的中点,则AE·AF=(





)

1 B. a2 2 1 2 3 C. a D. a2 4 4 (2)已知 a=(cos θ ,1,sin θ ),b=(sin θ ,1,cos θ ),则向量 a+b 与 a-b 的夹角 是________. → → → (3)已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是________. → → → 解析:(1)设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60°. → 1 → 1 又AE= (a+b),AF= c, 2 2 1 1 → → 1 故AE·AF= (a+b)· c= (a· c+b· c) 2 2 4 1 1 = (a2cos 60°+a2cos 60°)= a2. 4 4 2 2 (2)∵(a+b)· (a-b)=a -b =|a|2-|b|2 =(cos2θ+1+sin2θ)-(sin2θ+1+cos2θ)=0, ∴(a+b)⊥(a-b),即向量 a+b 与 a-b 的夹角为 90°. → (3)设 P(x,y,z),∴AP=(x-1,y-2,z-1). → PB=(-1-x,3-y,4-z), 1 8 → → 由AP=2PB,得点 P 坐标为(- , ,3), 3 3 77 → 又 D(1,1,1).∴|PD|= . 3 77 答案:(1)C (2)90° (3) 3 A.a2

1.已知点 A(-3,0,-4),点 A 关于原点的对称点为 B,则|AB|等于( A.12 B.9 C.25 D.10

)

→ 解 析 : 选 D. 点 A 关 于 原 点 对 称 的 点 B 的 坐 标 为 (3 , 0 , 4) , 故 |AB| = | AB | = (-3-3)2+(0-0)2+(-4-4)2=10. 2. (2014· 高考广东卷)已知向量 a=(1, 0, -1), 则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( ) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 1×1 a· b 1 解析:选 B.对于选项 B,设 b=(1,-1,0),则 cos 〈a,b〉= = = .因 |a||b| 2× 2 2 为 0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=60°,正确. → → → 3.已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若AE=AA1+xAB+ → yAD,则 x,y 的值分别为( )

1 B.x=1,y= 2 1 1 1 C.x= ,y= D.x= ,y=1 2 2 2 1 1 1 → → → → → → 1 → → 解析:选 C. 如图,AE=AA1+A1E=AA1+ A1C1=AA1+ (AB+AD),所以 x= ,y= . 2 2 2 2 A.x=1,y=1

→ → → → → → 4.在空间四边形 ABCD 中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=( ) A.-1 B.0 C.1 D.不确定 → → → 解析:选 B.如图,令AB=a,AC=b,AD=c, → → → → → → 则AB·CD+AC·DB+AD·BC=a· (c-b)+b· (a-c)+c· (b-a)=a· c-a· b+b· a-b· c+c· b -c· a=0.

→ → → → → 5.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥ 平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( ) 33 15 40 15 A. ,- ,4 B. ,- ,4 7 7 7 7 40 40 C. ,-2,4 D.4, ,-15 7 7 → → → → 解析:选 B.∵AB⊥BC,∴AB·BC=0, 即 3+5-2z=0,得 z=4. → 又 BP⊥平面 ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,BC=(3,1,4), ? ?(x-1)+5y+6=0, 则? ?3(x-1)+y-12=0, ? 40 x= , 7 解得 15 y=- . 7 6.在空间直角坐标系中,点 P(1, 2, 3),过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ,点 Q 在平 面 yOz 上,则垂足 Q 的坐标为________. 解析:由题意知点 Q 即为点 P 在平面 yOz 内的射影, 所以垂足 Q 的坐标为(0, 2, 3). 答案:(0, 2, 3) 7.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是________. → → → → → 1→ 1→ 1→ → → → → → ①OM=2OA-OB-OC; ②OM= OA+ OB+ OC; ③MA+MB+MC=0; ④OM+OA 5 3 2

? ? ?

→ → +OB+OC=0. → → → → → → → → → 解析:∵MA+MB+MC=0,∴MA=-MB-MC,则MA、MB、MC为共面向量,即 M、A、B、C 四点共面. 答案:③ → → → 8.已知空间四边形 OABC,点 M、N 分别是 OA、BC 的中点,且OA=a,OB=b,OC → =c,用 a、b、c 表示向量MN=________. 1 → → 1 → → → 1 → → → → → 解析:如图所示,MN= (MB+MC)= [(OB-OM)+(OC-OM)]= (OB+OC-2OM) 2 2 2 1 → → → 1 = (OB+OC-OA)= (b+c-a). 2 2

1 答案: (b+c-a) 2 9.(2015· 郑州模拟)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c. 求(1)a,b,c. (2)a+c 与 b+c 所成角的余弦值. x 4 1 解:(1)因为 a∥b,所以 = = ,解得 x=2,y=-4,此时 a=(2,4,1),b=(- -2 y -1 2,-4,-1),又因为 b⊥c,所以 b· c=0,即-6+8-z=0,解得 z=2, 于是 c=(3,-2,2). (2)a + c = (5 , 2 , 3) , b + c = (1 ,- 6 , 1) ,因此 a + c 与 b + c 所成角的余弦值为 (a+c)· (b+c) 5-12+3 2 2 = =- .故 a+c 与 b+c 所成角的余弦值为- . 19 19 |a+c||b+c| 38× 38 10. 如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,F,G 分 别是 AB,AD,CD 的中点,计算:

→ → (1)EF·BA; (2)EG 的长. → → → 解:设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=1, → 1→ 1 1 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,EF= BD= c- a, 2 2 2 → → BA=-a,DC=b-c. → → 1 1 (1)EF·BA=( c- a)· (-a) 2 2 1 1 =- a· c+ a2 2 2

1 1 1 =- + = . 4 2 4 → → → → (2)EG=EB+BC+CG 1→ → → 1 → → = AB+(AC-AB)+ (AD-AC) 2 2 1→ 1→ 1 → 1 1 1 =- AB+ AC+ AD=- a+ b+ c, 2 2 2 2 2 2 → 2=1(-a+b+c)2 ∴EG 4 1 2 1 = (a +b2+c2-2a· b-2a· c+2b· c)= , 4 2 2 2 → ∴|EG|= ,即 EG 的长为 . 2 2


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