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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第三章二元一次不等式(组)所表示的平面区域


§ 3.5

二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题
3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域

一、基础过关 1.如图所示,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在的平面区域为( )

?4x+3y≤12, ? 2.不等式组?x-y>-1, ?y≥0 ?

表示的平面区域内整点的个数是

(

)

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

?x+y≥0, ? 3.在平面直角坐标系中,不等式组?x-y+4≥0, ?x≤a ?
那么实数 a 的值为 A.3 2+2 C.-5 B.-3 2+2 D.1
2

(a 为常数)表示的平面区域的面积是 9,

(

)

??x+1? +y ≤1 ? 4.若平面区域 D 的点(x,y)满足不等式组?x-y≤0 ?x+y≤0 ?
2

,则平面区域 D 的面积是(

)

1 π A. + 2 2 1 π C. + 2 4

π B.1+ 2 π D.1+ 4

?x≥0, ? 5.若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?
则 k 的值是 7 A. 3 3 4 3 B. C. D. 7 3 4

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3 ( )

?x+y≤1, ?x-y≤1, 6.不等式组? -x+y≤1, ?-x-y≤1 ?

表示的平面区域的形状为________.

?x≥3 ? 7.利用平面区域求不等式组?y≥2 ?6x+7y≤50 ?

的整数解.

8.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨, 硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝酸盐 15 吨.现库存磷 酸盐 10 吨,硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学 关系式,并画出相应的平面区域. 二、能力提升

?x+y-11≥0, ? 9.设不等式组?3x-y+3≥0, ?5x-3y+9≤0 ?
D 上的点,则 a 的取值范围是 A.(1,3] C.(1,2] B.[2,3]

表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax 的图象上存在区域

(

)

D.[3,+∞)

?x≤0, ? 10.若 A 为不等式组?y≥0, ?y-x≤2 ?

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线

x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________.

?x-y≥0, ?2x+y≤2, 11.若不等式组 ? y≥0, ?x+y≤a ?
______________.

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是

12.画出不等式|x|+|y|≤2 所表示的平面区域,并求出它的面积. 三、探究与拓展

13.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 P、Q 两点,且 P、Q 关于直线 x

?kx-y+1≥0 ? +y=0 对称,则不等式组?kx-my≤0 ?y≥0 ?

表示的平面区域的面积是多少?

答案
1.B 2.C 3.D 6.正方形 7.解 先画出平面区域,再用代入法逐个验证. 把 x=3 代入 6x+7y≤50, 32 得 y≤ ,又∵y≥2, 7 ∴整点有(3,2),(3,3),(3,4); 26 把 x=4 代入 6x+7y≤50,得 y≤ , 7 ∴整点有(4,2),(4,3). 20 把 x=5 代入 6x+7y≤50,得 y≤ , 7 ∴整点有(5,2); 把 x=6 代入 6x+7y≤50,得 y≤2,整点有(6,2); 8 把 x=7 代入 6x+7y≤50,得 y≤ ,与 y≥2 不符. 7 ∴整数解共有 7 个为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2). 8.解 磷酸盐(1 吨) 甲 乙 库存 4t 1t 10 t 硝酸盐(1 吨) 18 t 15 t 66 t 4.B 5.A

设 x、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则满足以下条件

?4x+y≤10, ?18x+15y≤66, ?x≥0, ?y≥0. ?

(*)

在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域,如图阴影部分.

9.A

7 10. 4 4 11.0<a≤1 或 a≥ 3 12.解 平面区域在第一象限(包括两个坐标轴的正向部分)时,原不等式

?x≥0, ? 等价于不等式组?y≥0, ?x+y≤2 ?

则它所表示的平面区域,如图所示,为

Rt△AOB 的周边及其内部. ∵|-x|=|x|,|-y|=|y|,∴平面区域关于两个坐标轴都对称,据此可以画出平面区域在 其他象限的部分, 得到所求的平面区域为图中的正方形 ABCD 的周边及其内部, 正方形 ABCD 的边长为 2 2,故 S 正方形 ABCD=8. 13.解 P、Q 关于直线 x+y=0 对称,故 PQ 与直线 x+y=0 垂直,直线 PQ 即为直线 y= kx+1,故 k=1; 又线段 PQ 为圆 x2+y2+kx+my-4=0 的一条弦, 故该圆的圆心在线段 PQ 的垂直平分 k m 线上,即为直线 x+y=0,又圆心为(- ,- ),∴m=-k=-1, 2 2

?x-y+1≥0 ? ∴不等式组为?x+y≤0 ?y≥0 ?



它表示的平面区域如图所示,

1 1 1 1 1 1 直线 x-y+1=0 与 x+y=0 的交点为(- , ),∴S△= ×1× = .故面积为 . 2 2 2 2 4 4



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