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四川省绵阳市高中2015届高三第一次诊断性考试 数学理(一模)


保密 ★ 启用前 【考试时间:2014 年 10 月 31 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2012 级第一次诊断性考试

数 学(理工类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) 。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 2 至 4 页.共 4 页。 满分 150 分。考试时间 120 分钟.考生作

答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题 无效。考试结束后,将答题卡交回。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第 I 卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的. 1. 已知集合 A={x∈Z|x2-1≤0},B={x|x2-x-2=0},则 A∩B= (A) ??? ? ? ? (B) {2} (C) {0} (D) {-1} 2.下列说法中正确的是

? ?) , 2 x ? 1 ”的否定是“ ?x0 ? (0, ? ?) , 2 x0 ≤1” (A) 命题“ ?x ? (0, ? ?) , 2 x ? 1 ”的否定是“ ?x0 ? (0, ? ?) , 2 x0 ≤1” (B) 命题“ ?x ? (0,
(C) 命题“若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ”的逆否命题是“若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b ” (D) 命题“若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ”的逆否命题是“若 a 2 ≥ b2 ,则 a ≥ b ” 3.设各项均不为 0 的数列{an}满足 an ?1 ? 2an (n≥1),Sn 是其前 n 项和,若 a2a4 ? 2a5 ,则 S4= (A) 4 2 (C) 3 ? 3 2 (B) 8 2 (D) 6 ? 6 2 E F D C A B

4.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 AD ? DB = (A) -3 (C) 3 5.已知 cos( (B) ? 3 (D)

3

3 ? x) ? ,那么 sin 2 x = 4 5 18 24 (A) (B) ? 25 25

?

(C) ?

7 25

(D)

7 25

·1 ·

? x ? y ? 1 ? 0, ? 6.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 2x-y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 http://www 7.已知 x∈

[ ? ? , ? ],则“x∈ [? , ] ”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的

?

?

2

2

(A) 充要条件 (C) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

8 . f ( x) 是定义在非零实数集上的函数, f ?( x) 为其导函数,且 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,记

a?

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则 , b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 2 0.2
(B) b ? a ? c (D) c ? b ? a

(A) a ? b ? c (C) c ? a ? b

? ? x ? 0, ?sin( x) ? 1, 9. 已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对, 则实数 a 2 ? ?loga x(a ? 0,且a ? 1) ,x ? 0
的取值范围是 (A) (0 ,

3 ) 3

(B) (

5 , 1) 5

(C) (

3 , 1) 3

(D) (0 ,

5 ) 5

10.已知 a,b ? R,且 e x ?1 ≥ ax ? b 对 x∈R 恒成立,则 ab 的最大值是 (A)

1 3 e 2

(B)

2 3 e 2

(C)

3 3 e 2

(D) e 3

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。 作图题可先用铅笔绘 出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第 II 卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若 tan ? ? ? ,则

1 3

3sin? ? 2 cos? ? _______. 2 sin? ? cos?

12.已知向量 a=(1,2),b=(2,0),若向量 λa+b 与向量 c=(1,-2)共线,则实数 λ=______. 13 .某商场销售某种商品的经验表明,该产品生产总成本 C 与产量 q(q∈ N*) 的函数关系式为
·2 ·

C=100+4q,销售单价 p 与产量 q 的函数关系式为 p ? 25 ? 则产量 q 等于_______. 14.已知函数 f (x)=

1 q .要使每件产品的平均利润最大, 16

3x ? 2 1 2 3 2014 ,则 f ( )+f ( )+f ( )+?+f ( )=______. 2x ? 1 2015 2015 2015 2015

15.定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) , 则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的 “平均值函数” ,x0 是它的一个均值点. 例 b?a

如 y=| x |是 [?2 ,2] 上的“平均值函数” ,0 就是它的均值点.给出以下命题:

2? ] 上的“平均值函数” ① 函数 f ( x) ? cos x ? 1 是 [?2? , .
② 若 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数” ,则它的均值点 x0≥

a?b . 2

1] 上的 ③ 若函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 是 [?1, “平均值函数” , 则实数 m 的取值范围是 m ? (0 ,2) .
④ 若 f ( x) ? ln x 是 区 间 [a , b] (b>a ≥ 1) 上 的 “ 平 均值 函 数” , x0 是 它 的 一 个均 值 点 ,则

ln x0 ?

1 ab

. . (写出所有真命题的序号)

其中的真命题有

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中 ω>0,函数 f ( x) ? 2m·n-1 的最小正周 期为 π. (Ⅰ) 求 ω 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在[ 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (t)=log2(2-t)+ t ? 1 的定义域为 D. (Ⅰ) 求 D; (Ⅱ) 若函数 g (x)=x2+2mx-m2 在 D 上存在最小值 2,求实数 m 的值. 18. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, a , b , c 分别是内角 A , B , C 的对边, A D B C

?
6



?
4

]上的最大值.

AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 . 5

(Ⅰ) 若 BC ? 2 ,求 sin ?ACB 的值;
·3 ·

(Ⅱ) 若 D 是边 AC 中点,且 BD ? 19. (本小题满分 12 分)

7 ,求边 AC 的长. 2

记公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 ? 9 , a3,a5,a8 成等比数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式 an 及 Sn ; (Ⅱ) 若 cn ? 2n ? (

2 ? ? ) ,n=1,2,3,?,问是否存在实数 ? ,使得数列 {cn } 为单调递减数列? an

若存在,请求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 (e 为自然对数的底数),a>0. (Ⅰ) 若函数 f ( x) 恰有一个零点,证明: a a ? e a ?1 ; (Ⅱ) 若 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值集合. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

m ln x ? n (m,n 为常数, e ? 2.71828 ?是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在 ex

点 (1 ,f (1)) 处的切线方程是 y ? (Ⅰ) 求 m,n 的值; (Ⅱ) 求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x) ? f ?( x) ?

2 . e

e x ln(x ? 1) ( 其 中 f ?( x) 为 f ( x) 的 导 函 数 ) , 证 明 : 对 任 意 x ? 0 , 2

g ( x) ? 1 ? e?2 .

绵阳市高 2012 级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DBDAC BCCDA 10 题提示:由 e x ?1 ≥ ax ? b 对 x∈R 恒成立,显然 a≥0,b≤ e x ?1 -ax. 若 a=0,则 ab=0. 若 a>0 , 则 ab ≤ a e x ?1 -a2x . 设 函 数 f ( x) ? ae x?1 ? a 2 x , 求 导 求 出 f(x) 的 最 小 值 为

f (ln a ? 1) ? 2a 2 ? a 2 ln a .
3

设 g (a) ? 2a 2 ? a 2 ln a(a ? 0) ,求导可以求出 g(a)的最大值为 g (e 2 ) ?

1 3 e , 2

·4 ·

1 2 e . 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 3 11. ? 12.-1 13.40 14.3021 5 15 题提示:①容易证明正确. ②不正确.反例: f ( x) ? x 在区间[0,6]上.
即 ab 的最大值是 e3 ,此时 a ? e 2,b ? ③正确.由定义: x0 2 ? mx0 ? 1 ?

1 2

3

3

15.①③④

?m?m 2 得 x0 ? 1 ? ( x0 ? 1)m ? m ? x0 ? 1 , 2 2) . 又 x0 ? (?1,1) 所以实数 m 的取值范围是 m ? (0 , ln b ? ln a . b?a 1 ln b ? ln a 1 b b?a b a ? ? ln ? ? ? 要证明 ln x0 ? ,即证明: , b?a a a b ab ab ab
④正确.理由如下:由题知 ln x0 ? 令

b 1 1 ? t ? 1 ,原式等价于 ln t 2 ? t ? ? 2 ln t ? t ? ? 0 . a t t

令 h(t ) ? 2 ln t ? t ? (t ? 1) ,则 h?(t ) ?

1 t

2 1 ? t 2 ? 2t ? 1 (t ? 1) 2 ?1? 2 ? ? ? ? 0, t t t2 t2

所以 h(t ) ? 2 ln t ? t ? ? h(1) ? 0 得证. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ ) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

1 t

?
4

) . ???????????6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .?????????????7 分 2?

(Ⅱ) 由(Ⅰ )知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?

4

),

7? ? 3? ≤ 2x ? ≤ , 12 6 4 4 4 7? 3? 又函数 y=sinx 在[ , ]上是减函数, 12 4

?

≤x≤

?

,得

∴ f ( x) max ?

2 sin

? 2 sin
=

7? ? ? ? 2 sin( ? ) ?????????????10 分 12 4 3 ? ? ? ?
4 cos 3 ? 2 cos 4 sin 3

3 ?1 .??????????????????????12 分 2 ?2 ? t ? 0, 2) .????????3 分 17.解:(Ⅰ ) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 D ? [1, ?t ? 1 ? 0,
·5 ·

(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2= ( x ? m)2 ? 2m2 ,此二次函数对称轴为 x ? ?m .??4 分

2) 上单调递减,不存在最小值; ① 若 ? m ≥2,即 m≤-2 时, g (x)在 [1, ? m) 上单调递减, (?m , 2] 上递增,此时 ②若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g (x) 在 [1,

g ( x) mi n ? g (?m) ? ?2m2 ? 2 ,此时 m 值不存在;
2) 上单调递增, ③? m ≤1 即 m≥-1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x)min ? g (1) ? 1 ? 2m ? m2 ? 2 ,解得 m=1. 18.解:(Ⅰ ) AB ? 5 , cos ?ABC ? ??????????11 分 综上: m ? 1 . ?????????????????????????12 分

1 , BC ? 2 , 5 1 5

由余弦定理: AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC ? cos ?ABC =52+22-2× 5× 2× =25,

? AC ? 5 . ??????????????????????????3 分
又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? 由正弦定理:

2 6 , 5

AB AC , ? sin ?ACB sin ?ABC AB ? sin ?ABC 2 6 ? 得 sin ?ACB ? .???????????????6 分 AC 5
(Ⅱ) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平 ABCE ,如图, 则 行四边形 A D C E

1 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? 5



BE=2BD=7,CE=AB=5, 在 △ BCE 中 , 由 余 弦 定 理 : B 2 BE ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) ,

1 5

解得: CB ? 4 . ????????????????????????10 分 在△ABC 中, AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC ? cos ?ABC ? 52 ? 42 ? 2 ? 5 ? 4 ? ? 33 , 即 AC ? 33 .?????????????????????????12 分 19.解:(Ⅰ ) 由 S3 ? 9,a5 ? a3 ? a8 ,
2

1 5

3? 2 ? d ? 9, ?3a1 ? 2 得: ? 解得: a1 ? 2,d ? 1 . ?(a ? 4d ) 2 ? (a ? 2d ) ? (a ? 7d ), 1 1 ? 1
n(2 ? n ? 1) n 2 3 ? ? n . ?????????????5 分 2 2 2 2 (Ⅱ) 由题知 cn ? 2n ( ? ?) . n ?1 若使 {cn } 为单调递减数列,则
∴ an ? n ? 1 , S n ?
·6 ·

2 2 ? ? ) - 2n ( ? ?) n?2 n ?1 4 2 = 2n ( ? ? ? ) ? 0 对一切 n∈N*恒成立, ???????8 分 n ? 2 n ?1 4 2 4 2 即: ? ?? ?0 ?? ?( ? )max , n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 2n 2n 2 4 2 又 = ,????????10 分 ? 2 ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 2)( n ? 1) n ? 3n ? 2 n ? 2 ? 3 n 1 4 2 当 n ? 1 或 2 时, ( ? )max = . n ? 2 n ?1 3 1 ? ? ? .???????????????????????????12 分 3 20.(Ⅰ)证明: 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a .??????????1 分
cn ?1 ? cn ? 2n ?1 (
由 f ?( x) >0,即 e x ? a >0,解得 x>lna,同理由 f ?( x) <0 解得 x<lna, ∴ f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是 f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值. 又∵ 函数 f ( x) 恰有一个零点,则 f ( x)min ? f (ln a) ? 0 , ??????? 4 分 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 .?????????????????????? 5 分 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ∴ a a ? e a ?1 . ????????????????????????? 6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (ln a ) , 由题意得 f (ln a ) ≥0,即 a ? a ln a ? 1 ≥0,??????????????8 分 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1,则 h?(a) ? ? ln a , 由 h?(a) ? 0 可得 0<a<1,由 h?(a) ? 0 可得 a>1. ∴ h(a) 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 , ∴ 当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, ∴ 要使得 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立, a ? 1. ∴ a 的取值集合为 {1} ???????????13 分 21.解:(Ⅰ)由 f ( x) ?

m ln x ? n m ? nx ? mx ln x 得 f ?( x) ? ( x ? 0 ). x xe x e m?n 由已知得 f ?(1) ? ? 0 ,解得 m=n. e n 2 又 f (1) ? ? ,即 n=2, e e
∴ m=n=2.??????????????????????????3 分 2 (Ⅱ) 由 (Ⅰ)得 f ?( x) ? x (1 ? x ? x ln x) , xe ? ?) , 令 p( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0 , 当 x∈(0,1)时, p( x) ? 0 ;当 x∈(1,+∞)时, p( x) ? 0 ,
·7 ·

又 e x ? 0 ,所以当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ;

当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,

∴ f ( x) 的单调增区间是(0,1), f ( x) 的单调减区间是(1,+∞).??8 分 (Ⅲ) 证明:由已知有 g ( x) ?

ln(x ? 1) ? ?) , (1 ? x ? x ln x) , x ? (0 , x x (1 ? e ? 2 ) , 于是对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 等价于 1 ? x ? x ln x ? ln(x ? 1) ? ?) , 由(Ⅱ)知 p( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0 ,
? ?) . ∴ p?( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e?2 ) , x ? (0 ,
易得当 x ? (0 ,e?2 ) 时, p?( x) ? 0 ,即 p( x) 单调递增; 当 x ? (e?2 , ? ?) 时, p?( x) ? 0 ,即 p ( x) 单调递减. 所以 p( x) 的最大值为 p(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,故 1 ? x ? x ln x ≤ 1 ? e?2 . 设 q( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 q?( x) ?

x ?0, x ?1
x ?1. ln(x ? 1)

? ?) 时, q( x) 单调递增, q( x) ? q(0) ? 0 . 因此,当 x ? (0 , ? ?) 时, q( x) ? x ? ln(1 ? x) ? 0 ,即 故当 x ? (0 ,
∴ 1 ? x ? x ln x ≤ 1 ? e?2 <

x (1 ? e ? 2 ) . ln(x ? 1)

∴ 对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . ?????????????????14 分

·8 ·


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