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南通三模试卷数学


2015 届高三模拟考试试卷(四) 数 学 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2015.5 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 设集合 A={3,m},B={3m,3},且 A=B,则实数 m 的值是________. 2. 已知复数 z=(1+i)(1-2i)(i 为虚数单位),则 z 的实部为________.
?

?|x|≤1, 3. 已知实数 x,y 满足条件? 则 z=2x+y 的最小值是________. ?|y|≤1, ?

4. 为了解学生课外阅读的情况, 随机统计了 n 名学生的课外阅读时间, 所得数据都在[50, 150]中,其频率分布直方图如图所示.已知在[50,75)中的频数为 100,则 n 的值为________.

(第 4 题)

(第 5 题)

5. 在如图所示的算法流程图中,若输出的 y 的值为 26,则输入的 x 的值为________. 6. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为 x,则 log2x 为整数的概率为 ________. y2 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x2=8y 的焦点,则 F 到双曲线 x2- =1 9 的渐近线的距离为________. 8. 在等差数列{an}中,若 an+an+2=4n+6(n∈N*),则该数列的通项公式 an=________. 9. 给出下列三个命题: ① “a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件;

(第 10 题) ② “α >β”是“cosα <cosβ ”的必要不充分条件;
1

③ “a=0”是“函数 f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确的命题为________.(填序号) 10. 已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm,其表面展开图如图所示,则该空间几何 体的体积 V=________cm3.

(第 11 题) 11. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半 ︵ → → 径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧EF上的动点,则PC·PD的最小值为________.
?2x3+3x2+m,0≤x≤1, ? 12. 已知函数 f(x)=? 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不 ?mx+5,x>1. ?

同的交点,则实数 m 的取值范围为________. 13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 过点 P(-5, a)作圆 x2+y2-2ax+2y-1=0 的两条切线, 切点分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),且 y2-y1 x1+x2-2 + =0,则实数 a 的值为________. x2-x1 y1+y2

2 4 14. 已知正实数 x,y 满足 x+ +3y+ =10,则 xy 的取值范围为________. x y 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,B1C⊥AB,侧面 BCC1B1 为菱形. (1) 求证:平面 ABC1⊥平面 BCC1B1; (2) 如果点 D,E 分别为 A1C1,BB1 的中点,求证:DE∥平面 ABC1.

2

16. (本小题满分 14 分) π π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A,ω ,φ 为常数,且 A>0,ω >0,- <φ< ) 2 2 的部分图象如图所示. (1) 求函数 f(x)的解析式; π 3 (2) 若 f(α)= ,求 sin?2α+ ?的值. 2 6? ?

17. (本小题满分 14 分) x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的两焦点分别为 F1(- 3,0), a b 1? F2( 3,0),且经过点? ? 3,2?. (1) 求椭圆的方程及离心率; (2) 设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设 直线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2=k3k4. ① 求 k1k2 的值; ② 求 OB2+OC2 的值.

3

18. (本小题满分 16 分) 为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200 m,圆心角为 120°的扇形地上 建造市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分别在半径 ︵ OP,OQ 上,C,D 在圆弧PQ上,CD∥AB;△OAB 区域为文化展示区,AB 长为 50 3 m; 其余空地为绿化区域,且 CD 长不得超过 200 m. (1) 试确定 A,B 的位置,使△OAB 的周长最大? (2) 当△OAB 的周长最大时,设∠DOC=2θ,试将运动休闲区 ABCD 的面积 S 表示为 θ 的函数,并求出 S 的最大值.

19. (本小题满分 16 分) a2 1 n 已知数列{an},{bn}中,a1=1,bn=?1-a2 ?· ,n∈N*,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. ? an+1 n+1? (1) 若 an=2n 1,求 Sn; (2) 是否存在等比数列{an},使 bn+2=Sn 对任意 n∈N*恒成立?若存在,求出所有满足条 件的数列{an}的通项公式;若不存在,说明理由; (3) 若 a1≤a2≤?≤an≤?,求证:0≤Sn<2.


4

20. (本小题满分 16 分) 1 已知函数 f(x)=a- -lnx(a∈R). x (1) 若 a=2,求函数 f(x)在(1,e2)上的零点个数(e 为自然对数的底数); (2) 若 f(x)恰有一个零点,求 a 的取值集合; - (3) 若 f(x)有两零点 x1,x2(x1<x2),求证:2<x1+x2<3ea 1-1.

5

2015 届高三模拟考试试卷(四) 数学附加题(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分.若 多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 41:几何证明选讲) 如图,BC 为圆 O 的直径,A 为圆 O 上一点,过点 A 作圆 O 的切线交 BC 的延长线于点 P,AH⊥PB 于 H.求证:PA· AH=PC· HB.

B. (选修 42:矩阵与变换)

? 0 1 ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(2,0),C(1,2),矩阵 M=? 1 ? - 0 ?, ? 2 ?
点 A,B,C 在矩阵 M 对应的变换作用下得到的点分别为 A′,B′,C′,求△A′B′C′的面积.

C. (选修 44:坐标系与参数方程)
? ?x=rcosα , 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数,r 为常数,r> ?y=rsinα ?

0).以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2ρ π cos?θ+ ?+2=0.若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 AB=2 2,求 r 的值. 4? ?

6

D. (选修 45:不等式选讲) 1 4 9 36 已知实数 a,b,c,d 满足 a>b>c>d,求证: + + ≥ . a-b b-c c-d a-d

【必做题】 第 22、23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. 如图,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2AB. (1) 求 AD1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值; (2) 点 E 在侧棱 AA1 上,若二面角 EBDC1 的余弦值为 3 AE ,求 的值. 3 AA1

23. 袋中共有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随 机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另 补一个白球放入袋中.重复上述过程 n 次后,袋中白球的个数记为 Xn. (1) 求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2); (2) 求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式.

7

2015 届高三模拟考试试卷(四)(扬州、南通) 数学参考答案及评分标准 4 9 10 5 2 6

1. 0

2. 3 3. -3 4. 1 000 5. -4 6.

7.

8. 2n+1 9. ③ 10. 1+

11. 5-2 5

8? 12. (-5,0) 13. 3 或-2 14. ? ?1,3?

15. 证明:(1) 因三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 BCC1B1 为菱形,故 B1C⊥BC1.(2 分)

又 B1C⊥AB,且 AB,BC1 为平面 ABC1 内的两条相交直线, 故 B1C⊥平面 ABC1.(5 分) 因 B1C ? 平面 BCC1B1,故平面 ABC1⊥平面 BCC1B1.(7 分) (2) 如图,取 AA1 的中点 F,连 DF,FE. 又 D 为 A1C1 的中点,故 DF∥AC1,EF∥AB. 因 DF ? 平面 ABC1,AC1 ? 平面 ABC1,故 DF∥平面 ABC1.(10 分) 同理,EF∥平面 ABC1. 因 DF,EF 为平面 DEF 内的两条相交直线,故平面 DEF∥平面 ABC1.(12 分) 因 DE ? 平面 DEF,故 DE∥平面 ABC1.(14 分) 16. 解: (1) 由图可知,A=2,(2 分) T=2π ,故 ω=1,所以 f(x)=2sin(x+φ).(4 分) 又 f? π π π 2π ? ?2π ? ? 3 ?=2sin? 3 +φ?=2,且- 2 <φ< 2 ,故φ =- 6 .

π 于是 f(x)=2sin?x- ?.(7 分) 6? ? π 3 3 (2) 由 f(α)= ,得 sin?α- ?= .(9 分) 2 6? 4 ? π π π π 所以 sin?2α+ ?=sin?2?α- ?+ ?=cos?2?α- ??(12 分) 6? 6 ?? 6? 2? ? ? ? ? ? π 1 =1-2sin2?α- ?=- .(14 分) 8 6 ? ? 17. 解:(1) (解法 1)依题意,c= 3,a2=b2+3.(2 分) 1 4 3 3 b2=- ,不合,舍去?,从而 a2=4. 由 2 + 2=1,解得 b2=1? 4 ? ? b +3 b 故所求椭圆方程为 x2 2 3 +y =1,离心率 e= .(5 分) 4 2

8

(解法 2)由椭圆的定义知, 2a= =4, 即 a=2.(2 分)

1 2 0- ? + (- 3- 3)2+? ? 2?

1 2 0- ? ( 3- 3)2+? ? 2?

又 c= 3,故 b2=1.下略. (2) ① 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 D(-x1,-y1), 于是
2 y2-y1 y2+y1 y2 2-y1 k1k2= · = 2 2= x2-x1 x2+x1 x2-x1

?1-x2?-?1-x1? ? 4? ? 4?
2 x2 -x2 1

2

2

1 =- .(8 分) 4

1 ②(方法 1)由①知,k3k4=k1k2=- ,故 x1x2=-4y1y2. 4 x2 x2 1 2 2 2 2 1- ??1- ?=16-4(x2 所以(x1x2)2=(-4y1y2)2,即(x1x2)2=16? 1+x2)+x1x2, ? 4 ?? 4 ?
2 所以 x2 1+x2=4.(11 分) 2 2 2 x1 x2 1+x2 2? 2 2 2 ? ?x2+y2 +y2 又 2=? = +y1 +y2 1 + 2,故 y1+y2=1. ?4 ? ?4 ? 4 2 2 2 所以 OB2+OC2=x2 1+y1+x2+y2=5.(14 分)

1 (方法 2)由①知,k3k4=k1k2=- . 4 x2 4 将直线 y=k3x 方程代入椭圆 +y2=1 中,得 x2 .(9 分) 1= 4 1+4k2 3 同理,x2 2= 4 . 1+4k2 4 4 4 4 = + 2+ 1+4k3 1+4k2 1+4k2 4 3 4 1 ? 1+4? ?-4k3?
2

2 所以 x2 1+x2=

=4.(11 分)

下同方法 1. 18. 解:(1) 设 OA=m,OB=n,m,n∈(0,200], 2π 在△OAB 中,AB2=OA2+OB2-2OA· OB· cos , 3 即(50 3)2=m2+n2+mn,(2 分) (m+n)2 3 所以(50 3) =(m+n) -mn≥(m+n) - = (m+n)2,(4 分) 4 4
2 2 2

所以 m+n≤100,当且仅当 m=n=50 时,m+n 取得最大值,此时△OAB 周长取得最 大值. 答:当 OA、OB 都为 50 m 时,△OAB 的周长最大.(6 分)

(2) 当△AOB 的周长最大时,梯形 ABCD 为等腰梯形.过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E,则 E、F 分别为 AB、CD 的中点,所以∠DOE=θ.

9

π 由 CD≤200,得 θ∈?0, ?.在△ODF 中,DF=200sinθ ,OF=200cosθ . 6? ? π 又在△AOE 中,OE=OAcos =25,故 EF=200cosθ -25.(10 分) 3 1 所以 S= (50 3+400sinθ )(200cosθ -25) 2 =625( 3+8sinθ )(8cosθ -1) π =625(8 3cosθ -8sinθ +64sinθ cosθ - 3),θ ∈?0, ?.(12 分) 6? ? (一直没有交代范围扣 2 分) π 令 f(θ)=8 3cosθ -8sinθ +64sinθ cosθ - 3,θ ∈?0, ?, 6? ? π π f′(θ)=-8 3sinθ -8cosθ +64cos2θ =-16sin?θ+ ?+64cos2θ ,θ ∈?0, ?. 6? 6? ? ? π π 又 y=-16sin?θ+ ?及 y=cos2θ 在 θ∈?0, ?上均为单调递减函数, 6? 6? ? ? π 故 f′(θ)在 θ∈?0, ?上为单调递减函数. 6? ? π π 3 1 因 f′? ?=-16? -4× ?>0,故 f′(θ)>0 在 θ∈?0, ?上恒成立, 6? ?6? 2? ? ?2 π 于是,f(θ)在 θ∈?0, ?上为单调递增函数.(14 分) 6? ? π 所以当 θ= 时,f(θ)有最大值,此时 S 有最大值为 625(8+15 3). 6 π 答:当 θ= 时,梯形 ABCD 面积有最大值,且最大值为 625(8+15 3)m2.(16 分) 6 19. (1) 解:当 an=2n
-1

1? 1 3 时,bn=? ?1-4?·2n=2n+2.(2 分)

1 1 3 3 3 所以 Sn= ?1+2+?+2n-1?= - n+2.(4 分) 8? ? 4 2 (2) 解:满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为 an=1 和 an=(-1)n 1. 证明:在 bn+2=Sn 中,令 n=1,得 b3=b1.


1 1 - 1- 2? n.(6 分) 设 an=qn 1,则 bn=? ? q ?q 1?1 ? 1 ?1 由 b3=b1,得? ?1-q2?q3=?1-q2?q. 若 q=± 1,则 bn=0,满足题设条件.此时 an=1 和 an=(-1)n 1.(8 分)


1 1 若 q≠± 1,则 3= ,即 q2=1,矛盾. q q 综上,满足条件的数列{an}存在,且只有两个,一是 an=1,另一是 an=(-1)n 1.(10 分)


an a2 n (3) 证明:因 1=a1≤a2≤?≤an≤?,故 an>0,0< ≤1,于是 0< 2 ≤1. an+1 an+1
2 an 1 所以 bn=?1-a2 ?· ≥0,n=1,2,3,?. ? an+1 n+1 ?

10

所以 Sn=b1+b2+?+bn≥0.(13 分) a2 an an 1 1 n 又 bn=?1-a2 ?· =?1+a ??1-a ?· ? an+1 ? an+1 n+1? n+1?? n+1? an 1 1 1 1 an =?1+a ??a -a ?· ≤2?a -a ?. ? ? n n+1? an+1 n+1?? n n+1? 1 1? ?1 1? ?1- 1 ? 故 Sn=b1+b2+?+bn≤2? ?a -a ?+2?a -a ?+?+2 a a
1 2 2 3

?

n

n+1

?

1 1 1 =2?a -a ?=2?1-a ?<2.

?

1

n+1

?

?

n+1

?

所以 0≤Sn<2.(16 分) 20. (1) 解:由题设,f′(x)= 1-x ,故 f(x)在(1,e2)上单调递减.(2 分) x2

所以 f(x)在(1,e2)上至多只有一个零点. 1 - 2?<0,故函数 f(x)在(1,e2)上只有一个零点.(4 分) 又 f(1)f(e2)=1×? ? e? (2) 解:f′(x)= 1-x ,令 f′(x)=0,得 x=1. x2

当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减; 当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增, 故[f(x)]max=f(1)=a-1.(6 分) ① 当[f(x)]max=0,即 a=1 时,因最大值点唯一,故符合题设;(8 分) ② 当[f(x)]max<0,即 a<1 时,f(x)<0 恒成立,不合题设; ③ 当[f(x)]max>0,即 a>1 时,一方面,
- -

1 ea>1,f(ea)=- a<0; e

另一方面, e a<1,f(e a)=2a-ea≤2a-ea<0(易证:ex≥ex), 于是,f(x)有两零点,不合题设. 综上,a 的取值集合为{1}.(10 分) (3) 证明:先证 x1+x2>2. x2-x1 1 1 x2 依题设,有 a= +lnx1= +lnx2,于是 =ln . x1 x2 x1x2 x1 t-1 t-1 x2 记 =t,t>1,则 lnt= ,故 x1= . x1 tx1 tlnt t2-1 ? 2? t -1 ? 2t -lnt? 于是,x1+x2=x1(t+1)= ,x1+x2-2= . tlnt lnt
2

x2-1 记函数 g(x)= -lnx,x>1. 2x 因 g′(x)= (x-1)2 >0,故 g(x)在(1,+∞)上单调递增.于是,t>1 时,g(t)>g(1)=0. 2x2

又 lnt>0,所以 x1+x2>2.(13 分) - 再证 x1+x2<3ea 1-1. 因 f(x)=0 h(x)=ax-1-xlnx=0,故 x1,x2 也是 h(x)的两零点. - - 由 h′(x)=a-1-lnx=0,得 x=ea 1(记 p=ea 1).

11

? ?h(p)>0, 仿(1)知,p 是 h(x)的唯一最大值点,故有? ? ?x1<p<x2. 2(x-p) (x-p)2 作函数 h(x)=lnx- -lnp,则 h′(x)= ≥0,故 h(x)单调递增. x+p x(x+p)2

故当 x>p 时,h(x)>h(p)=0;当 0<x<p 时,h(x)<0. 2x1(x1-p) 于是 ax1-1=x1lnx1< +x1lnp. x1+p
2 整理,得(2+lnp-a)x1 -(2p+ap-plnp-1)x1+p>0, 2 a-1 a-1 即 x1-(3e -1)x1+e >0. - a-1 同理,x2 -1)x2+ea 1<0. 2-(3e - - a-1 a -1 故 x2 -1)x2+ea 1<x2 -1)x1+ea 1, 2-(3e 1-(3e - (x2+x1)(x2-x1)<(3ea 1-1)(x2-x1), - 于是,x1+x2<3ea 1-1. - 综上,2<x1+x2<3ea 1-1.(16 分)

12

2015 届高三模拟考试试卷(四)(扬州、南通) 数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 证明:连 AC,AB. 因 BC 为圆 O 的直径,故 AC⊥AB. AH HB 又 AH⊥PB,故 AH2=CH· HB,故 = .(5 分) CH AH 因 PA 为圆 O 的切线,故∠PAC=∠B. 在 Rt△ABC 中,∠B+∠ACB=90°. 在 Rt△ACH 中,∠CAH+∠ACB=90°. 所以∠HAC=∠B. 所以∠PAC=∠CAH,所以 PC PA AH PA = ,即 = . CH AH CH PC

PA HB 所以 = ,即 PA· AH=PC· HB.(10 分) PC AH 2? 0? ?0? 2? ? 0? 1? ? ? ? ? ? B. 解:因 M? ?=? ?,M? ?=? ?,M? ?= 1?, ?0? ?0? ?0? ?-1? ?2? ?- ? ? 2? 1? 即 A′(0,0),B′(0,-1),C′? ?2,-2?.(6 分) 1 故 S= ×A′B′×2=1.(10 分) 2 π C. 解:由 2ρ cos?θ+ ?+2=0,得 ρcosθ -ρsinθ +2=0, 4? ? 即直线 l 的方程为 x-y+2=0.(3 分)
?x=rcosα , ? 由? 得曲线 C 的普通方程为 x2+y2=r2,圆心坐标为(0,0).(6 分) ? y = rsin α , ?

所以圆心到直线的距离 d= 2,由 AB=2 r2-d2,得 r=2.(10 分) D. 证明:因 a>b>c>d,故 a-b>0,b-c>0,c-d>0. 1 4 9 故[(a-b)+(b-c)+(c-d)]?a-b+b-c+c-d?≥(1+2+3)2=36,(6 分) ? ? 1 4 9 36 所以 + + ≥ .(10 分) a-b b-c c-d a-d

13

22. 解:(1) 以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示空间 直角坐标系 Dxyz. 设 AB=1,则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),A1(1, 0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2). → (1) 设 AD1 与平面 BB1D1D 所成角的大小为 θ,AD=(-1,0,2), 设平面 BB1D1D 的法向量为 n=(x,y,z), → → → → DB=(1,1,0),DD1=(0,0,2),则 n· DB=0,n·DD1=0, 即 x+y=0,z=0. → ?AD ? 10 1·n? → ? 令 x=1,则 y=-1,所以 n=(1,-1,0),sinθ =|cos〈AD1,n〉|= = , 10 ? |AD → ? ? 1||n| ? 所以 AD1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 10 .(6 分) 10

(2) 设 E(1,0,λ ),0≤λ ≤2. 设平面 EBD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 BDC1 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), → → DB=(1,1,0),DE=(1,0,λ ), → → 由 n1·DB=0,n1· DE=0,得 x1+y1=0,x1+λz1=0, → 令 z1=1,则 x1=-λ,y1=λ,n1=(-λ,λ ,1),DC1=(0,1,2), → → 由 n2·DB=0,n2·DC1=0,得 x2+y2=0,y2+2z2=0, n1·n2 1-4λ 令 z2=1,则 x2=2,y2=-2,n2=(2,-2,1),cos〈n1,n2〉= = , |n1||n2| 3 2λ2+1 3 ? 1-4λ ? AE 1 所以 =? ,得 λ=1.所以 = .(10 分) 3 ?3 2λ2+1? AA 2 1 ? 23. 解:(1) 由题意可知 X2=3,4,5. C1 C1 9 3 3 当 X2=3 时,即两次摸球均摸到白球,其概率是 P(X2=3)= 1× 1= ; C8 C8 64
1 1 C1 C1 3C5 5C4 当 X2=4 时,即两次摸球恰好摸到一白球,一黑球,其概率是 P(X2=4)= 1 1+ 1 1= C8C8 C8C8

14

35 ; 64
1 C1 5 5C4 当 X2=5 时,即两次摸球均摸到黑球,其概率是 P(X2=5)= 1 1= .(3 分) C8C8 16

所以随机变量 X2 的概率分布如下表: X2 P 3 9 64 4 35 64 5 5 16

(一个概率得一分,不列表不扣分) 9 35 5 267 数学期望 E(X2)=3× +4× +5× = .(5 分) 64 64 16 64 (2) 设 P(Xn=3+k)=pk,k=0,1,2,3,4,5. 则 p0+p1+p2+p3+p4+p5=1,E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5. 3 5 4 4 5 3 6 P(Xn+1=3)= p0,P(Xn+1=4)= p0+ p1,P(Xn+1=5)= p1+ p2,P(Xn+1=6)= p2+ p3, 8 8 8 8 8 8 8 2 7 1 8 P(Xn+1=7)= p3+ p4,P(Xn+1=8)= p4+ p5,(7 分) 8 8 8 8 5 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 3 ?4 ?3 ?2 所以,E(Xn+1)=3× p0+4×? ?8p0+8p1?+5×?8p1+8p2?+6×?8p2+8p3?+7×?8p3+8p4? 8 1 8 ? 29 36 43 50 57 64 +8×? ?8p4+8p5?= 8 p0+ 8 p1+ 8 p2+ 8 p3+ 8 p4+ 8 p5 7 = (3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+p0+p1+p2+p3+p4+p5 8 7 = E(Xn)+1.(9 分) 8 7 由此可知,E(Xn+1)-8= (E(Xn)-8). 8 35 35 7?n-1 又 E(X1)-8=- ,所以 E(Xn)=8- ? .(10 分) 8 8 ?8?

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