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对数函数换底公式


积、商、幂的对数运算法则: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0有:

loga (MN ) ? loga M ? loga N M log a ? log a M ? log a N N
n

loga M ? n loga M(n? R)

log a (M1M 2 ?Mn ) ? log a M1 ? l

og a M 2 ? ? ? log a M n 1 n loga a ? n(n ? R) log a ? ? log a M M P P n p n loga M ? loga M ? loga M n

一、对数的换底公式:

logc N loga N ? logc a
(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0)
如何证明呢?

通过换底公式,人们 p 由对数的定义可以得: N ?a 可以把其他底的对数 转换为以10或e为底 p ? logc N ? logc a 的对数,经过查表就 能求出任意不为1的 ? logc N ? p logc a 正数为底的对数。

证明:设 loga N ? p

logc N ? p? logc a

logc N 即证得 loga N ? logc a

二、几个重要的推论:

n log a m N ? log a N m 1 loga b ? logb a
n

a, b ? (0,1) ? (1,??)
如何证明呢?

证明:利用换底公式得:
log am
n lg N n lg N n lg N n lg N n N ? ? ? ? log a N m lg lgaa m lg a m lg a m

即证得 log a m

n N ? log a N m
n

证明:由换底公式

lg b lg a loga b ? logb a ? ? ?1 lg a lg b
1 即 loga b ? log a b

推论: log a b ? log b c ? log c a ? 1

例1:计算:

?1?log9 27 ?2?log2 3 ? log3 7 ? log7 8

?3?3

1? log3 2

? 100

1 lg9 2
3

解: ?1?log9 27 ? log32 3

3 3 ? log 3 3 ? 2 2

例1:计算:

?1?log9 27 ?2?log2 3 ? log3 7 ? log7 8

?3?3

1? log3 2

? 100

1 lg9 2

解:?2?log2 3 ? log3 7 ? log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 2 ?3 ? ? ? ? lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
3

例1:计算:

?1?log9 27 ?2?log2 3 ? log3 7 ? log7 8

?3?3

1? log3 2

? 100

1 lg9 2
1 lg9 2

解: ?3?31?log3 2 ? 100

? 3? 3

log3 2

? 10
lg 9

? ?

1 2 2 lg 9

? 3 ? 2 ? 10

? 3 ? 2 ? 9 ? 15

1 2 例2 : 设4 ? 5 ? 100, 求2( ? )的值. a b a b
a b

解: ? 4 ? 5 ? 100 2 ? a ? log 4 100 ? log 22 10 ? log 2 10
? b ? log 5 100 ? log 5 52 ? 4

?

?

? 2 ? log 5 4 ? 2 ? 2 log 5 2 ? 1 ? 1 2 1 ? ? 2( ? ) ? 2? ? ? log 10 1 ? log 2 ? a b 5 ? ? 2

? ? 1 ? ? ? ? 2? log 2 ? ? 2 log 2 ? log 5 ? 2 10 10 10 ? ? log 5 ? log 2 5 5 ? ?

例3 :已知 log 9 5 ? m, log 3 7 ? n, 试用m, n 表示 log 35 9.
1 解:? m ? log 9 5 ? log 32 5 ? log 3 5, n ? log 3 7 2 ? log 3 5 ? 2m, n ? log 3 7 2 ? log 35 9 ? 2 log 35 3 ? log 3 35
2 2 ? ? log 3 5 ? log 3 7 2m ? n

例4 : 方程 lg x ? (lg 5 ? lg 7) lg x ? lg 5 lg 7 ? 0
2

的两根分别为x1 , x2 , 求x1 ? x2 .
解: ? lg x ? (lg 5 ? lg 7) lg x ? lg 5 lg 7 ? 0
2

1 ? lg x1 ? x2 ? ? lg 35 ? lg 35 ? lg 35 1 ? x1 ? x2 ? 35
?1

?lg x1 ? lg x2 ? ?(lg 5 ? lg 7) ?? ? lg x1 ? lg x2 ? lg 5 lg 7


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