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【高三总复习】2013高中数学技能特训:2-6 导数的概念及运算(人教B版) 含解析


2-6 导数的概念及运算 基础巩固强化 1.(文)已知函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( 1 A.8 1 C.2 [答案] B [解析] ∵y′=2ax,设切点为(x0,y0),则 2ax0=1, 1 1 1 1 ∴x0=2a∴y0=2a代入 y=ax2+1 得, 2a=4a+1, 1 ∴a=4故选 B. (理)(2011· 山东文,4)曲线 y=x3+

11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴 交点的纵坐标是( A.-9 C.9 [答案] C [解析] 由 y=x3+11 知 y′=3x2, 所以 y′|x=1=3, 所以过点 P(1,12) 的切线方程为 y-12=3(x-1),即 3x-y+9=0,令 x=0 得 y=9,故 选 C. 2.(文)曲线 y= A.y=2x+1 C.y=-2x-3 [答案] A [解析] ∵y′= x′?x+2?-x?x+2?′ 2 = , 2 ?x+2? ?x+2?2 x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 B.y=2x-1 D.y=-2x-2 ) ) B.-3 D.15 1 B.4 D.1 )

2 ∴k=y′|x=-1= =2, ?-1+2?2 ∴切线方程为:y+1=2(x+1),即 y=2x+1. x+1 (理)(2012· 烟台调研)设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+ x-1 y+1=0 垂直,则 a 等于( A.2 1 C.-2 [答案] B [解析] ∵f ′(x)= ?x-1?-?x+1? 2 =- , 2 ?x-1? ?x-1?2 ) B.-2 1 D.2

1 1 ∴f ′(3)=-2,由条件知,-2×(-a)=-1, ∴a=-2. 3.二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导函数 y=f ′(x)的图 象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y=f(x)的图象的顶点在 ( ) A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] 由题意可设 f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b,由于 f ′(x) 图象是过第一、二、三象限的一条直线,故 2a>0,b>0,则 f(x)=a(x b 2 b2 b b2 +2a) -4a,顶点(-2a,-4a)在第三象限,故选 C. 4.(文)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f ′(1)=2,则 f ′(-1)= ( ) A.-1 B.-2 B.第二象限 D .第四象限

C.2 [答案] B

D.0

[解析] f ′(x)=4ax3+2bx,f ′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b), f ′(1)=4a+2b, ∴f ′(-1)=-f ′(1)=-2,故选 B. [点评] 要善于观察,由 f ′(x)=4ax3+2bx 知,f ′(x)为奇函数, ∴f ′(-1)=-f ′(1)=-2. (理)已知函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 x-2y+1 =0,则 f(1)+2f ′(1)的值是( 1 A.2 [答案] D 1 [解析] 由条件知,y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率 f ′(1)=2, 又点(1,f(1))在切线 x-2y+1=0 上, 1 ∴f(1)=1,∴f(1)+2f ′(1)=1+2×2=2. 5.(文)若函数 f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的 倾斜角为( π A.2 C.钝角 [答案] C [解析] y′|x=4=(exsinx+excosx)|x=4=e4(sin4+cos4)= 2e4sin(4+ ) B.0 D.锐角 B.1 3 C.2 ) D.2

π 4)<0,故倾斜角为钝角,选 C. (理)已知 f(x)=logax(a>1)的导函数是 f ′(x),记 A=f ′(a),B=f(a +1)-f(a),C=f ′(a+1),则( )

A.A>B>C C.B>A>C [答案] A

B.A>C>B D.C>B>A

[解析] 记 M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于 B=f(a+1)-f(a) = f?a+1?-f?a? ,表示直线 MN 的斜率,A=f ′(a)表示函数 f(x)=logax ?a+1?-a

在点 M 处的切线斜率;C=f ′(a+1)表示函数 f(x)=logax 在点 N 处的 切线斜率.所以,A>B>C.
?π ? 6. (文)已知函数 f(x)=kcosx 的图象经过点 P?3,1?, 则函数图象上 ? ?

过点 P 的切线斜率等于( A.1 C.- 3 [答案] C

) B. 3 D.-1

?π? π [解析] f?3?=kcos3=1?k=2,f ′(x)=-ksinx, ? ? ?π? π ∴点 P 处切线斜率为 k′=f ′?3?=-2sin3=- 3. ? ?

π? ? (理)设函数 f(x)=sin?ωx+6?-1(ω>0)的导函数 f ′(x)的最大值为
? ?

3,则 f(x)图象的一条对称轴方程是( π A.x=9 π C.x=3 [答案] A

) π B.x=6 π D.x=2

π? ? [解析] f ′(x)=ωcos?ωx+6?的最大值为 3,
? ?

即 ω=3,

π? ? ∴f(x)=sin?3x+6?-1.
? ?

π π π kπ 由 3x+6=2+kπ 得,x=9+ 3 故 A 正确.

(k∈Z).

7.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行, 则 a=________. [答案] 1 [解析] 由 y′|x=1=2a=2 得 a=1. π π 8.(2012· 苏州十校联考)已知函数 f(x)=f ′(2)sinx+cosx,则 f(4) =________. [答案] 0 π [解析] 由条件知,f ′(x)=f ′(2)cosx-sinx. π ∴f ′(2)=-1,∴f(x)=-sinx+cosx, π ∴f(4)=0. 9.(2011· 宁波市期末)对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的
? an ? 切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列?n+1?的前 n 项和是________. ? ?

[答案] 2n+1-2 [解析] ∵y=xn(1-x), ∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′·n=n·n-1(1 x x -x)-xn. f ′(2)=-n·n-1-2n=(-n-2)·n-1. 2 2 在点 x=2 处点的纵坐标为 y=-2n. ∴切线方程为 y+2n=(-n-2)·n-1(x-2). 2 令 x=0 得,y=(n+1)·n, 2

∴an=(n+1)·n, 2
? an ? 2?2n-1? n+1 ∴数列?n+1?的前 n 项和为 =2 -2. 2-1 ? ?

1 4 10.(文)已知曲线 y=3x3+3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 1 4 [解析] y=3x3+3,则 y′=x2. (1)由题意可知点 P(2,4)为切点, y′|x=2=22=4, 所以曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4 =0. 1 3 4 (2)由题意可知点 P(2,4)不一定为切点,故设切点为(x0,3x0+3),
2 y′|x=x0=x0,

1 4 2 曲线过点 P(2,4)的切线方程为 y-(3x3+3)=x0(x-x0), 0 1 4 所以 4-(3x3+3)=x2(2-x0), 0 0
3 2 3 2 x0-3x0+4=0?(x0+1)-3(x0-1)=0?(x0+1)(x2-4x0+4)=0. 0

解得 x0=-1 或 x0=2, 即切点为(-1,1)或(2,4). 所以曲线过点 P(2,4)的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. b (理)设函数 f(x)=ax+x 的图象在点 M( 3,f( 3))处的切线方程为 2x-3y+2 3=0. (1)求 f(x)的解析式;

(2)求函数 f(x)的单调递减区间; (3)证明曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所 围成的三角形面积为定值,并求此定值. [解析] (1)因为切点在切线上, 4 3 所以将点 M 坐标代入切线方程解得 f( 3)= 3 . b b ∵f(x)=ax+x ,∴f ′(x)=a-x2,

? 根据题意,得关于 a、b 的方程组? ?
?a=1, ? 解得? ? ?b=1.

b 2 a-3=3, 3a+ b 4 3 = 3 , 3

1 所以 f(x)的解析式为 f(x)=x+x . 1 (2)由 f ′(x)=1-x2(x≠0), 令 f ′(x)<0,解得-1<x<0 或 0<x<1. 所以 f(x)的单调递减区间为(-1,0),(0,1). (3)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 1 由 y′=1-x2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 1 y-y0=(1-x2)(x-x0),
0

1 1 即 y-(x0+x )=(1-x2)(x-x0).
0 0

2 2 令 x=0,得 y=x ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,x ).
0 0

令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为

(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积 1? 2 ? 为2?x ?|2x0|=2.
? 0?

能力拓展提升 11.(文)函数 f(x)=xcosx 的导函数 f ′(x)在区间[-π,π]上的图象大 致为( )

[答案] A [解析] ∵f(x)=xcosx, ∴f ′(x)=cosx-xsinx, ∴f ′(-x)=f ′(x),∴f ′(x)为偶函数,排除 C; ∵f ′(0)=1,排除 D;
?π? π 由 f ′?2?=-2<0,f ′(2π)=1>0,排除 B,故选 A. ? ?

(理)函数 f(x)=e2x 的图象上的点到直线 2x-y-4=0 的距离的最小 值是( A. 3 3 2 C. 2 [答案] B [解析] 设 l 为与直线 2x-y-4=0 平行的函数 f(x)=e2x 的图象的 切线,切点为(x0,y0),则 kl=f ′(x0)=2e2x0=2,∴x0=0,y0=1,∴ ) B. 5 3 5 D. 5

切点(0,1)到直线 2x-y-4=0 的距离 d=

5 = 5即为所求. 5

12. (文)已知函数 f(x)=xp+qx+r, f(1)=6, ′(1)=5, ′(0)=3, f f 1 an= ,n∈N+,则数列{an}的前 n 项和是( f?n? n A. n+1 n+1 C. 2n+4 [答案] D [解析] ∵f ′(x)=pxp-1+q,由条件知 n B. n+2 n D. 2n+4 )

?1+q+r=6, ? ?p+q=5, ?q=3. ?

?p=2, ? ∴?q=3, ?r=2. ?

∴f(x)=x2+3x+2. 1 1 1 ∴an= = 2 = f?n? n +3n+2 ?n+1??n+2? = 1 1 - n+1 n+2

∴{an}的前 n 项和为
? 1 1 ? 1 ?1 1? ?1 1? Sn =a1 +a2 +?+an = ?2-3? + ?3-4? +?+ ?n+1-n+2? = 2 - ? ? ? ? ? ?

1 n = . n+2 2n+4 (理)定义方程 f(x)=f ′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”, 若函数 g(x)=x, h(x)=ln(x+1), φ(x)=x3-1 的“新驻点”分别为 α、 β、 γ,则 α、β、γ 的大小关系为( A.α>β>γ C.γ>α>β ) B.β>α>γ D.β>γ>α

[答案] C [解析] 由 g(x)=g′(x)得,x=1,∴α=1,由 h(x)=h′(x)得,ln(x +1)= 1 ,故知 1<x+1<2,∴0<x<1,即 0<β<1, x+1

由 φ(x)=φ′(x)得,x3-1=3x2,∴x2(x-3)=1, ∴x>3,故 γ>3,∴γ>α>β. [点评] 对于 ln(x+1)= 1 ,假如 0<x+1<1,则 ln(x+1)<0, x+1

1 1 1 1 >1 矛盾;假如 x+1≥2,则 ≤2,即 ln(x+1)≤2,∴x+1≤ e, x+1 x+1 ∴x≤ e-1 与 x≥1 矛盾. 13.(2013· 武汉市部分学校 12 月联考)设 a 为实数,函数 f(x)=x3 +ax2+(a-3)x 的导函数为 f ′(x),且 f ′(x)是偶函数,则曲线 y=f(x) 在原点处的切线方程为( A.y=3x+1 C.y=-3x+1 [答案] B [解析] ∵f ′(x)=3x2+2ax+a-3 为偶函数,∴a=0, ∴f(x)=x3-3x,f ′(0)=-3, ∴所求切线方程为 y=-3x. 14.(文)(2012· 唐山二模)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f?1? f ′(x),f ′(0)>0,对于任意实数 x,都有 f(x)≥0,则 的最小值 f ′?0? 为________. [答案] 2 [解析] f ′(x)=2ax+b,由条件 f ′(0)>0 得 b>0, ) B.y=-3x D.y=3x-3

?a>0, ? 又对任意 x∈R 都有 f(x)≥0,∴? 2 ? ?b -4ac≤0.

∴b≤2 ac. ∴ a+b+c a+c f?1? 2 ac = b = b +1≥ b +1≥2 等号在 f ′?0?

?b=2 ac, ? ? 即 b=2a=2c 时成立. ?a=c. ?



f?1? 的最小值为 2. f ′?0?

(理)设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π),若 f(x)+f ′(x)为奇函数, 则 φ=________. π [答案] 6 [解析] f ′(x)=- 3sin( 3x+φ), 由条件知 cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ) π? ?π ? ? =2sin?6- 3x-φ?=-2sin? 3x+φ-6?为奇函数,且 0<φ<π,∴φ ? ? ? ? π =6. 15.求下列函数的导数: 1 4 (1)y=5x5-3x3+3x2+ 2; (2)y=(3x3-4x)(2x+1); (3)y=3xex-2x+e; (4)y= lnx ; x +1
2

(5)y=xcosx-sinx; (6)(理)y=cos32x+ex;

(7)(理)y=lg 1-x2. [解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导.
?1 ? ?4 ? (1)y′=?5x5?′-?3x3?′+(3x2)′+( 2)′ ? ? ? ?

=x4-4x2+6x. (2)∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x, ∴y′=24x3+9x2-16x-4, 或 y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)· 2 =24x3+9x2-16x-4. (3)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·x+3xex-2xln2 e =(ln3+1)· x-2xln2. (3e) ?lnx?′?x2+1?-lnx· 2+1?′ ?x (4)y′= 2 2 ?x +1? 1 2 ?x 2x x· +1?-lnx· x2+1-2x2· lnx = = . 2 2 2 2 ?x +1? x?x +1? (5)y′=(xcosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. (6)(理)y′=3cos22x· (cos2x)′+ex =-6sin2x· 22x+ex. cos
?1 ? 1 lge (7)(理)y′=?2lg?1-x2??′=2· 2· (1-x2)′ ? ? 1-x



xlge . x2-1

16.(文)已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为 该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程;

(2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. [解析] (1)∵y ′=2x+1, ∴曲线在点(1,0)处的切线斜率为 k=3, 故 l1:y=3x-3; 1 又 l1⊥l2,∴l2 的斜率 k1=-3, 1 2 由 2x+1=-3得,x=-3, 20? ? 2 ∴直线 l2 与曲线切点为?-3,- 9 ?, ? ? 1 22 ∴l2:y=-3x- 9 .

?x=1, y=3x-3, ? ? 6 (2)解方程组? 得? 1 22 5 y=-3x- 9 , ? ?y=-2. ?
5? ?1 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为?6,-2?. ? ?
? 22 ? l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、?- 3 ,0?. ? ?

1 25 5 125 所以所求三角形的面积 S=2× 3 ×2= 12 . (理)设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴交点为 P,且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0,试 确定函数的解析式. [解析] ∵y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P(0,d), 又曲线在点 P 处的切线方程为 y=12x-4,P 点坐标适合方程,从 而 d=-4; 又切线斜率 k=12,故在 x=0 处的导数 y′|x=0=12 而 y′|x=0=c, 从而 c=12;

又函数在 x=2 处取得极值 0,所以
?y′|x=2=0, ?12a+4b+12=0, ? ? ? 即? ? ? ?f?2?=0. ?8a+4b+20=0.

解得 a=2,b=-9 所以所求函数解析式为 y=2x3-9x2+12x-4.

1.

(2012· 山西省联合模拟二)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切 线方程为 x-y+2=0,则 f(1)+f ′(1)=( A.1 C.3 [答案] D [解析] 由条件知(1,f(1))在直线 x-y+2=0 上,且 f ′(1)=1, ∴f(1)+f ′(1)=3+1=4. 2.(2012· 昆明一中检测)曲线 y=e-x+2x 在点(0,1)处的切线方程为 ( ) A.y=x+1 C.y=3x+1 [答案] A B.y=x-1 D.y=-x+1 B.2 D.4 )

[解析] ∵y′=-e-x+2,∴y′|x=0=1,∴切线方程为 y-1=x, 即 y=x+1,故选 A. 3.

函数 y=f(x)的图象过原点且它的导函数 y=f ′(x)的图象是如图所 示的一条直线,则 y=f(x)的图象的顶点在( A.第Ⅰ象限 C.第Ⅲ象限 [答案] A [解析] 因为 y=f ′(x)的图象是直线,所以 y=f(x)是二次函数. 又 f(x)的图象过原点,所以可设:f(x)=ax2+bx, ∴f ′(x)=2ax+b. 结合 f ′(x)的图象可知,a<0,b>0. 4ac-b b b2 ∴-2a>0, 4a =-4a>0,
? b 4ac-b2? ?在第一象限. 即顶点?- , 4a ? ? 2a
2

)

B.第Ⅱ象限 D.第Ⅳ象限

4. 已知函数 g(x)=x3+x2-x(x>0)、 h(x)=ex-x, p(x)=cos2x,0<x<π 的导函数 g′(x)、h′(x)、p′(x)的零点依次为 x1、x2、x3,则将 x1、x2、 x3 按从小到大用“<”连接起来为________. [答案] x2<x1<x3

1 [解析] 由 g′(x)=3x2+2x-1=0 得 x=-1 或 x=3,∵x>0,∴x 1 =3; 由 h′(x)=ex-1=0 得,x=0; kπ 由 p′(x)=-2sin2x=0 得,2x=kπ,k∈Z,∴x= 2 (k∈Z), π 1 π ∵0<x<π,∴x=2,∴x1=3,x2=0,x3=2, 故有 x2<x1<x3. 5.(2012· 新疆维吾尔自治区检测)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=ex. (1)若函数 φ(x)=f(x)- x+1 ,求函数 φ(x)的单调区间; x-1

(2)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点 A(x0,f(x0))处的切线.证明: 在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. [解析] (1)φ(x)=f(x)- x+1 x+1 =lnx- , x-1 x-1

x2+1 1 2 φ′(x)=x+ = . ?x-1?2 x· ?x-1?2 ∵x>0 且 x≠1,∴φ′(x)>0, ∴函数 φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞). 1 1 1 (2)∵f ′(x)=x ,∴f ′(x0)=x ,∴切线 l 的方程为 y-lnx0=x (x-
0 0

1 x0),即 y=x x+lnx0-1,
0



设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点(x1,ex1), 1 ∵g′(x)=ex,∴ex1=x ,∴x1=-lnx0.
0

1 1 ∴直线 l 也为 y-x =x (x+lnx0),
0 0

1 lnx0 1 即 y=x x+ x +x ,
0 0 0



lnx0 1 由①②得 lnx0-1= x +x , 0 0 x0+1 ∴lnx0= .下证:在区间(1,+∞)上 x0 存在且唯一. x0-1 由(1)可知,φ(x)=lnx- 又 φ(e)=lne-
2 2

x+1 在区间(1,+∞)上递增. x-1

e+1 -2 = <0, e-1 e-1

e2+1 e2-3 φ(e )=lne - 2 = >0, 结合零点存在性定理, 说明方程 φ(x) e -1 e2-1 =0 必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一 x0. 故结论成立. 1 1 6.(2012· 衡水质量检测)已知函数 f(x)= 3 x3 - 2 ax2 +(b-1)x+ c(a>0),曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=x+1. (1)求 b、c 的值; (2)若过点(0,3)可作曲线 g(x)=f(x)-x 的三条不同切线,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)f ′(x)=x2-ax+(b-1), 由题意知,f(0)=1,f ′(0)=1, ∴b=2,c=1. (2)设过(0,3)与曲线 g(x)=f(x)-x 相切的直线为 l, 切点的坐标为(t, g(t)), 1 1 又 g(x)=3x3-2ax2+1,g ′(x)=x2-ax, 1 1 则切线 l 的方程为 y-(3t3-2at2+1)=(t2-at)(x-t).

1 1 又直线 l 过点(0,3),∴3-3t3+2at2-1=-t3+at2, 2 a 即3t3-2t2+2=0, 又过点(0,3)可作曲线 g(x)=f(x)-x 的三条不同切线. 2 a 等价于方程3t3-2t2+2=0 有三个相异实根. 2 a 令 h(t)=3t3-2t2+2,h′(t)=2t2-at=t· (2t-a). ∵a>0,∴t,h′(t),h(t)的变化情况如下表: t h′(t) (-∞,0) + 单调递增 0 0 极大值 2 a (0,2) - 单调递减 a 2 0 极小值 2- a3 24 单调递增 a (2,+∞) +

h(t)

由 h(t)的单调性知:要使 h(t)=0 有三个相异实根, a3 3 当且仅当 2-24<0,即 a>2 6. 3 ∴a 的取值范围是(2 6,+∞).


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【高考总复习必备】2013年高考数学闯关密练特训3-1导数的概念及运算新人教A版(含解析)

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高考总复习必备2013年高考数学闯关密练特训3-1导数的概念及运算新人教A版(含解析)

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2015届高三数学人教B版(通用,理)总复习配套文档:3.1导数的概念及其运算

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