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极坐标与参数方程单元练习2


极坐标与参数方程单元练习 2
一.选择题(每题 5 分共 50 分) 1.已知 M ? ? 5,

? ?

??

? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( 3? ? ? 4? ? ? 3 ?
C. ? 5,?

)

A. ? 5,?

? ?

??
? 3?

B. ? 5,

? ?

2? ? ? 3 ?

D. ? ? 5,?

? ?

5? ? ? 3 ?
B . ? 2,

2 . 点 P 1,? 3 , 则 它 的 极 坐 标 是 (

?

?

)A . ? 2,

? ?

??
? 3?

? ?

4? ? ? 3 ?

C . ? 2,?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ? ?? ? ? ? ? 表示的曲线是( ?4 ?
)A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线

3.极坐标方程 ? ? cos? D.圆 4.圆 ? ?

2 (cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是(

)A. ?1,

? ?? ? ? 4?

B. ? ,

?1 ? ? ? ?2 4?

C. ? 2 ,

? ?

??
? 4?

D. ? 2,

? ?

??
? 4?
)

5.在极坐标系中,与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线方程为( A. ? sin ? ? 2 B. ? cos? ? 2 C. ? cos? ? 4

D. ? cos? ? ?4

6、 已知点 A? ? 2,?

? ?

?? ?

3? ? ?, B? 2 , ?, O?0,0? 则 ?ABO 为( 2? ? 4 ?
C、锐角等腰三角形

)

A、正三角形 7、 ? ?

B、直角三角形

D、直角等腰三角形

?
4

( ? ? 0) 表示的图形是(

)

A.一条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.圆 8、直线 ? ? ? 与 ? cos(? ? ? ) ? 1的位置关系是( )

A、平行

B、垂直

C、相交不垂直

D、与

有关,不确定

9. 两圆 ? ? 2 cos? , ? ? 2 sin ? 的公共部分面积是 (

)A.

?
4

?

? D. 2
10.已知点 P 1 (2 3 , ? , 1 的球坐标是 P A. 2 B. 3 C. 2 2

1 2

B. ? ? 2

C.

? ?1 2

?
4

) , P2 的柱坐标是 P2 ( 5,? ,1) ,求 P1 P2 .(

)

D.

2 2

二.填空题(每题 5 分共 25 分) 11.极坐标方程 4 ? sin 12.圆心为 C ? 3,
2

?
2

? 5 化为直角坐标方程是

? ?? ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 ? 6?

13.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?

2 ,则极点到直线的距离是 2

14、在极坐标系中,点 P ? 2,

? ? 11? ? ? 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离等于____________。 6 6 ? ?
?
4
对称的曲线的极坐标方程是

15、与曲线 ? cos? ? 1 ? 0 关于 ? ? ________________________。 三.解答题(共 75 分)

16.说说由曲线 y ? tan x 得到曲线 y ? 3 tan2 x 的变化过程,并求出坐标伸缩变换。 (7 分)

17.已知 P? 5, ? ? ,O 为极点,求使 ?POP 是正三角形的 P 点坐标。 (8 分)
'
'

? ?

2 ? 3 ?

18.棱长为 1 的正方体 OABC ? D A B C 中,对角线 OB 与 BD 相交于点 P,顶点 O 为坐
' ' ' ' '
'

标 原点, OA 、 OC 分别在 x轴, y轴 的 正半 轴上,已 知点 P 的球坐标 P?? , ? ,? ? , 求

? , t an ? , sin? 。 (10 分)

19. ?ABC 的底边 BC ? 10, ?A ? 程。 (10 分)

1 ?B, 以 B 点为极点,BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹方 2

20. 在平面直角坐标系中已知点 A (3, 0) , P 是圆珠笔 x 2 ? y 2 ? 1 上一个运点, 且 ?AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。 (10 分)
P Q O A

?

?

21、在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ? 3,

? ?? (10 分) ? ,半径 =1,Q 点在圆 C 上运动。 ? 6?

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 P 在直线 OQ 上运动,且 OQ∶QP=2∶3,求动点 P 的轨迹 方程。

22、建立极坐标系证明:已知半圆直径∣AB∣=2 ( >0) ,半圆外一条直线 与 AB 所在直 线垂直相交于点 T,并且∣AT∣=2 a ( 2a ?

r ) 。若半圆上相异两点 M、N 到 的距离∣MP∣, 2
(10 分)

∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1,则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。

23.如图, AD ? BC ,D 是垂足,H 是 AD 上任意一点,直线 BH 与 AC 交于 E 点,直线 CH 与 AB 交于 F 点,求证: ?EDA ? ?FDA (10 分)

极坐标与参数方程单元练习 2 参考答案
答案一.选择题 1 2 题号 A C 答案 二.填空题 11. y ? 5 x ?
2

3 D

4 A

5 B

6 D

7 A

8 B

9 C

10 A

25 2 ?? ? ;12. ? ? 6 cos?? ? ? ;13. ; 14. 3 ? 1 ;15. ? sin ? ? 1 ? 0 4 2 6? ?

三.解答题 16.解: y ? tan x 的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

1 ,得到 y ? tan 2 x , 2

再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变,得到曲线 y ? 3 tan2 x 。

? x ' ? ? x, ? ? 0 设 y ? 3 tan x ,变换公式为 ? ' ? y ? ?y , ? ? 0
' '

将其代入 y ? 3 tan x 得 ?
' '

? ' 1 ? ?3 ? ?x ? x ? ? , 1 ? 2 ? ? ' ? ? y ? 3y 2 ? ?

17. P (5,

'

?
3

) 或 P ' (5, ? ) 18. ? ?

3 a, tan? ? 2 , sin ? ? 1 2

19.解:设 M ?? ,? ? 是曲线上任意一点,在 ?ABC 中由正弦定理得:
2 ?

?
3 sin(? ? ? ) 2

?

10 sin

?
2

得 A 的轨迹是: ? ? 30 ? 40 sin 20. 解 : 以 O

2

为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 设

Q?? ,? ? , P?1,2? ? ? S ?OQA ? S ?OQP ? S ?OAP
1 1 1 3 ? ? 3? sin ? ? ? sin ? ? ? 3 ? 1 ? sin 2? ? ? cos ? 2 2 2 2
21. (1) ? ? 6 ? cos?? ?
2

? ?

??

?? ? 2 ? ? 0 (2) ? ? 15? cos?? ? ? ? 50 ? 0 6? 6? ?

22.证法一:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为

? ? 2r cos? , 设 M ??1 ,?1 ?, N ( ? 2 ,? 2 ) , 则 ?1 ? 2r c o?s1 , ? 2 ? 2r cos? 2 , 又
2 MP ? 2a ? ?1 c o? s ?1 , NQ ? 2a ? ? 2 cos? 2 ? 2a ? 2r cos2 ? 2 , 1 ? 2a ? 2r c o s

? MP ? 2a ? 2r cos2 ?1 ? 2r cos?1 ? NQ ? 2a ? 2r cos2 ? 2 ? 2r cos? 2
? cos?1 , cos? 2 是 方 程 r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 的 两 个 根 , 由 韦 达 定 理 :
cos?1 ? cos? 2 ? 1, MA ? NA ? 2r cos?1 ? 2r cos? 2 ? 2r ? AB
证法二:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为

? ? 2r cos? ,设 M ??1 ,?1 ?, N ( ? 2 ,? 2 )
又由题意知, M ??1 ,?1 ?, N ( ? 2 ,? 2 ) 在抛物线 ? ?

2a 2a 上,? 2r cos ? ? , 1 ? cos ? 1 ? cos ?

r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 ,? cos?1 , cos? 2 是方程 r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 的两个根,由
韦达定理: cos?1 ? cos? 2 ? 1, MA ? NA ? 2r cos?1 ? 2r cos? 2 ? 2r ? AB 23.证明:以 BC 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,设 A(0, a ) ,

B(b,0) , C (c,0) , H (0, t ) ,则
l BH : x y ? ? 1,即 tx ? by ? bt ? 0 b t

A F E H

B

D

C

x y ? ? 1,即 tx ? cy ? ct ? 0 c t x y l AC : ? ? 1 ,即 ax ? cy ? ac ? 0 c a x y l AB : ? ? 1 ,即 ax ? by ? ab ? 0 b a l CH :

? bc?a ? t ? ?b ? c ?t ? ? bc?t ? a ? at?c ? b? ? ? E? , , ? ,? F ? ? ? ab ? ct ab ? ct ? ? bt ? ac ac ? bt ?
? k DE ?

?b ? c ?at ? ?ab ? ct ? ? ?b ? c ?at ?ab ? ct ? bc?a ? t ? bc?a ? t ? ?c ? b?at ? ?bt ? ac? ? ? ?b ? c ?at ?ac ? bt? bc?t ? a ? bc?a ? t ?

? k DF ?

? ?EDC ? ?FDB, ?EDA ? ?FDA


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