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广东省广州市第六中学2015届高三数学9月第二次月考试题 文


广东省广州市第六中学 2015 届高三数学 9 月第二次月考试题 文

4、已知命题 p :复数 z ?

1? i 在复平面内所对应的点位于第四象限;命题 q : ?x ? 0 使得 i
) D、 (?p) ? (?q) )

2 ? x ? e x ,则下列命题中为真命题的是(
A、 p ? q

B、 (?p) ? q

C、 p ? (?q )

5、如图,在 Rt△ABC 中,A=90°,AB=1,则 AB · BC 的值是( A、1 C、1 或-1 B、-1 D、不确定,与 B 的大小,BC 的长度有关

第5题 )

? 为两个不同的平面, m 、 6、 设? 、 则 a ? b 的一个充分条件是 ( n 为两条不同的直线,
A、 a ? ? , b // ? , ? ? ? C、 a ? ? , b ? ? , ? // ? 7 、函数 f ( x) ? B、 a ? ? , b ? ? , ? // ?
y

D、 a ? ? , b // ? , ? ? ?

2

2 sin( ? x ? ? )(x ? R , ? ? 0,? ?
) C、 4, ?

?
2

) 的部分图象
π 3

如图所示,则 ? , ? 的值分别是( A、 2, ?

O

5π 12

x

?
3

B、 2, ?

?
6

?
6

D、 4,

?
3
第7题

8、下列说法正确的是( ) p ? q p , q 均为假命题 A、若 为假命题,则 B、设实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,则 a, b, c 中至少有一个不小于 0

1

C、若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c

? ?

? ?

?

?

D、函数 y ? log2 ( x 2 ? 2 x) 的单调增区间是 [1,??)

? x ? y ? 2 ? 0, ? 9、x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a ... ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
的值为( A、 ) B、2 或

1 或-1 2

1 2

C、2 或 1

D、2 或-1

10、将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原 点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4,?, 点(0,1)处标 7,?,依此类推,则标签 2015 的格点的坐标为( A、(1008,1007) B、(1007,1006) C、(1007,1005) D、(1006,1005)
2



第 12 题 二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11、若 a =(x+1,2)和向量 b =(1,-1)平行,则 | a | =________。 12 、如图所示,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱

?

?

?

PA ? a , PB ? PD ? 2a ,则它的 5 个面中,互相垂直的面有___ _____对。
13、如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ? AB 时,其离心率为

5 ?1 ,此类椭圆被称为“黄金椭圆” 。类比“黄金椭圆” ,可推算出“黄金双曲线” 2
的离心率 e 等于 14、函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间 ? ?1, 2? 上是减函数,则 2b ? c 的取值范围
3 2







第 13 题

三、解答题(共 6 小题,80 分) 15、 (本小题满分 12 分)已知一个几何体的三视图 如图所示. (1)求此几何体的表面积;

2

(2)在如图的正视图中,如果点 A 为所在线段中点,点 B 为顶点,求沿着几何体侧面上从 点 A 到点 B 的最短路径的长.

16、 (本小题满分 13 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 (1)求 B ; (2)若 b ? 2 2, a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

t a n B 2c ? a = . a t a n A

17、 (本小题满分 13 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥底面 ABC ,且△ ABC 为正三角形, AA1 ? AB ? 6 , D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (2)求证:平面 BC1 D ⊥平面 ACC1 A1 ; (3)求三棱锥 C ? BC1 D 的体积.

C1 A1 B1

C A D B

18、 (本小题满分 14 分)某校要建一个面积为 450 平方米的矩形球场,要求球场的一面利用 旧墙,其他各面用钢筋网围成,且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个 3 米的进出口(如 图) .设矩形的长为 x 米,钢筋网的总长度为 y 米. (1)列出 y 与 x 的函数关系式,并写出其定义域; (2)问矩形的长与宽各为多少米时,所用的钢筋网的总长 度最小?
3

第 18 题

(3)若由于地形限制,该球场的长和宽都不能超过 25 米,问矩形的长与宽各为多少米时, 所用的钢筋网的总长度最小?

19、 (本小题满分 14 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

an (n ? N * ) . an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 是等比数列; ? an 2 ?
n

( 2 ) 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? (3 ? 1) ?

n ? a n , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 若 不 等 式 2n

1 n (? ) n ? ? Tn ? n ?1 对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围. 2 2

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? ln x .
2

(1)若函数 f ( x) 在[2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ∈(0, ) ,证明: f ( x1 ) ﹣ f ( x2 ) >

3 ? ln 2 . 4

2015 届高三文科数学第 4 周测试答案 1~10 DDCAB CABDA 11、 2 2 12、5 13、

5 ?1 2

14、 (??,?9]

15、解: (1)由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆 柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和,即
4

S圆锥侧 ?

1 ? 2? ? 2 ? ? 2 2 ? 4 2? , S圆柱侧 ? ? 2? ? 2? ? 4 ? 16? , S圆柱底 ? 4? , 2

?

?

所以 S表面 ?

2? ? 22 ? 4? ? 22 ? ? ? 22 ? 4

?

2 ? 5 ? ??????????7 分

?

(2)沿 A 点所在母线剪开圆柱侧面,如图: 则 BC ? 2? , AB ?

AC 2 ? BC 2 ? 2 2 ? (2? ) 2 ? 2 1 ? ? 2
A
2

所以所求最短路径的长为 2 1 ? ? .??????12 分

C

B

sin B cos A 2 sin C ? sin A tan B 2c ? a ? = 及正弦定理,得 ????2 分 a tan A cos B sin A sin A 所以 sin B cos A ? 2 sin C cos B ? cos B sin A , 即 sin B cos A ? cos B sin A ? 2 sin C cos B ?????????????????3 分
16、解(1) 所以 sin( A ? B) ? 2 sin C cos B ,即 sin C ? 2 sin C cos B ??????????4 分 因为在△ABC 中, sinA ? 0,sin C ? 0 ,所以 cosB= 因为 B ??0,? ) ,所以 B= (2)由余弦定理 cos B ?

?
3

1 ????????????5 分 2

????????????????6 分

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? 8 1 ? ? ,所以 a 2 ? c 2 ? 8 ? ac ?8 分 2ac 2ac 2
8 ???10 分 3

2 2 因为 a ? c ? 4 ,所以 a ? c ? 2ac ? 16 ,所以 8 ? 3ac ? 16 ,所以 ac ?

所以 S ?ABC ?

1 1 8 3 2 3 ac sin B ? ? ? ? ????????????????13 分 2 2 3 2 3

17、 (1)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点.????1 分 ∵D 为 AC 中点,得 DO 为 ?AB1C 中位线,∴ A1 B // OD .??????????2 分
?OD ? 平面AB1C, A1B ? 平面AB1C

∴直线 AB1∥平面 BC1D ?????????4 分

(2)证明:∵ AA1 ? 底面 ABC ,∴ AA1 ? BD ??????????????5 分 ∵底面 ABC 正三角形,D 是 AC 的中点 ∴BD⊥AC ????????????6 分 ∵ AA 1 ? AC ? A ,∴BD⊥平面 ACC1A1 ??????????????7 分
? BD ? 平面BC1D ,?平面BC1D ? 平面ACC1 A1 ???????8 分

(3)由(2)知△ABC 中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3 ∴ S ?BCD = = ????????????10 分

又 CC1 是底面 BCD 上的高 ????????????11 分 ∴ VC ?BC1D ? VC ?C1BD = ? ?6=9 ?????????13 分

5

18、解: (1)矩形的宽为

450 450 900 ?3? x ? ? x ? 3 ?????2 分 米,所以 y ? 2 ? x x x

定义域为 (0,150) ????????????????3 分 (2)由基本不等式,得 y ? 等号成立当且仅当

900 900 ? x ?3? 2 ? x ? 3 ? 60 ? 3 ? 57 ??????5 分 x x

900 450 ? x ,即 x ? 30 时,此时,宽为 ? 15 米????????7 分 x x

答:长为 30 米,宽为 15 米时,所用的钢筋网的总长度最小。 ??????????8 分 (3)? y ?

900 900 ( x ? 30)( x ? 30) ? x ? 3 ? y? ? ? 2 ? 1 ? ????????9 分 x x x2

当 0 ? x ? 25 时, x ? 30 ? 0, x ? 30 ? 0 ,? y ? ? 0 即在 (0,25] 上是单调递减函数 11 分

? 当 x ? 25 时, y min ?

900 ? 25 ? 3 ? 58 ,此时长为 25 米,宽为 18 米 ????13 分 25

答:当长为 25 米,宽为 18 米时,所用的钢筋网的总长度最小。 ?????????14 分 19、解: (1)由 a1 ? 1, an ?1 ?

? 1 1? 1 1 an ? ? 3? ? ? , (n ? N * ) 知, an ?1 2 an ? 3 ? an 2 ?



3 1 1 3 ? 1 1? ? ? ,? ? ? ? 是以 为首项, 3 为公比的等比数列 ????????5 分 a1 2 2 ? an 2 ? 2

(2)由(1)知

n 1 1 3 n?1 3n 2 ,所以 bn ? n ?1 ?????6 分 ? ? ? 3 ? ,? an ? n 2 an 2 2 2 3 ?1

Tn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 0 2 2 2 2 2

Tn 1 1 1 1 ?    1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n , ??????????7 分 2 2 2 2 2
两式相减得

Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n , 2 2 2 2 2 2 2

? Tn ? 4 ?

n?2 2 n ?1

??????????????????????????10 分

1 1 ? (? ) n ? ? 4 ? n ?2 2 2 1 n 1 n?2 若 n 为偶数,则 ( ) ? ? 4 ? n ? 2 ,即 ? ? 2 ? 4,? ? ? 12 2 2 1 n 1 n?2 若 n 为奇数,则 ? ( ) ? ? 4 ? n ? 2 ? ? ? 2 ? 4,? ?? ? 4,? ? ? ?4 2 2 ? ?4 ? ? ? 12 ??????????????????????????14 分
6

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? a)2 ? ln x1 ? ( x2 ? a)2 ? ln x2

? ? x12 ? x2 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? x12 ?
2 令 h( x ) ? ? x ?

1 ? ln 2 x12 ????????????10 分 2 4 x1

1 1 ? ln 2 x 2 ( x ? (0, ) ) 2 4x 2

则 h?( x) ? ?2 x ?

1 2 ?4 x 4 ? 4 x 2 ? 1 ?(2 x 2 ? 1) 2 ? ? ? ? 0 ????????12 分 2 x3 x 2 x3 2 x3
1 2 1 2 1 1 3 ? 1 ? ln ? ? ln 2 4 2 4

∴ h( x) 在 x ? (0, ) 上单调递减 ∴ h( x) ? h( ) ? ? ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

3 ? ln 2 4

????????????????????14 分

7


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