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四川省绵阳南山中学2010届高三高考前模拟试题数学理


四川省绵阳南山中学 2010 届高三高考前模拟试题数学理
本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)组成, 共 2 页;答题卷即第Ⅱ卷(非选择题)共 6 页.满分 150 分.考试结束后将答题卡 和答题卷一并交回.

参考公式: 参考公式:
如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k (k = 0,2, ,n) 1, ?

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V=

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题,
注意事项: 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅 笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮檫檫干净后,再选涂其他答案,不能答在试题 卷上.

个小题, 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每 选择题: 小题给出的四个选项中, 把它选出 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 只有一项是符合题目要求的, 来填涂在答题卡上. 来填涂在答题卡上.
1.设集合

A=R,集合 B= R + ,下列对应关系中,是从集合 A 到集合 B

的映射的是 A. x → y = x B. x → y =
1 ( x ? 1) 2

C. x → y = 2 ? x

D. x → y = log 2 (1 + x 2 )

2. ?ABC 中, ∠C = 90° , AB = (k ,1) , AC = (2, 3) ,则 k 的值是 A.5 C.
3 2

B.-5 D. ?
3 2

3.复数 z = a + bi ( a, b ∈ R )是方程 z 2 = ?3 ? 4i 的一个根,则 z 等于 A. 1 + 2i C. ?1 ? 2i B. ?1 + 2i D. 2 + i

4.函数 f ( x) = sin x + cos x ,则函数 y = f ′( x) 的图象的一条对称轴为 A. x =
π
4 2 3π D. x = 4

B. x =

π

C. x = π

5.已知 {an } 为等比数列,公比为 q ( q ∈ R ),其前 n 项的和为 Sn ,且
S3 , S9 , S6 成等差数列,则 q 3 等于

A.1

B.-

1 2

C.-1 或

1 2

D.1 或-

1 2

6.奇函数 f ( x) 在 (0, +∞) 上的解析式为 f ( x) = x ? x 2 ,则不等式 f ( x) > 0 的 解集 A. (?1, 0) ∪ (1, +∞) C. (?∞, ?1) ∪ (1, +∞) B. (?∞, ?1) ∪ (0,1) D. (?1, 0) ∪ (0,1)

7.若 (1 + 6 x) n 展开式中 x n 的系数为 an , (7 x3 + 5)n 展开式中各项系数的和 为 bn ,则 lim n →∞ A.-1 C.-
1 2 an ? 2bn 的值为 3an + 4bn

B.1 D.
1 2

8. 三 棱 锥 P — ABC 中 , PA 、 PB 、 PC 两 两 互 相 垂 直 , 且
PA = 2, PB = PC = 2 2 ,则空间一点 O 到点 P 、 A 、 B 、 C 等距离的值

是 A. 2 C. 5 B. 3 D. 6
y x

9.已知 2 ≤ x ≤ 3, 2 x ? 1 ≤ y ≤ 2 x ,则 的最小值为 A.
1 2 3 2

B.1 D.2
a2 b2 + 的最小值是 x 1? x

C.

10.已知 0 < x < 1 , a, b 为常数且 ab < 0 ,则 y = A. (a + b) 2 C. a 2 + b 2 B. (a ? b)2 D. a 2 ? b 2

x2 y 2 11.双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0 )的一个焦点为 F1 ,顶点为 A1 、 A2 ,P b a

是双曲线上任意一点,则分别以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定 A.相交 C.相离 B.相切 D.以上情况都有可能

12.已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 的图象在点 (?1, 2) 处的切线恰好与 x ? 3 y = 0 垂直,又 f ( x) 在区间 [m, m + 1] 上单调递增,则实数 m 的取值范围是 A. m ≤ ?3 C. m < ?3 或 m > 0 B. m ≥ 0 D. m ≤ ?3 或 m ≥ 0

数学(理科) 高 2010 级数学(理科)高考模拟试题 答 题 卷

题 号 得 分

三 二 7 1 8 1 9 1 0 2 1 2 2 2 分 总 总 分人

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 选择题,
注意事项: 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上. 2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚.

填空题: 小题, 把答案填在题中横线上 二. 填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中横线上 .
13.某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不 同的品种。现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 210 种以上的 不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜品种。 14.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)且 P (ξ > 1) = m ,则 P (?1 < ξ < 0) = 15.已知 ?ABC 中, ∠ACB = 90° , BC = 3, AC = 4 ,则 AB 上的点 P 到 AC 、 BC 的 距离的乘积的最大值是 16.已知二面角 α — a — β 为 60° ,P 为二面角内一点, PA ⊥ α 于点 A ,PB ⊥ β 作 于点 B ,若 PB = 2, PA = 1 ,则点 P 到棱 a 的距离是

小题, 解答应写出文字说明, 三.解答题:共 6 小题,74 分。解答应写出文字说明,证明过程或 解答题: 演算步骤. 演算步骤.
17.(本小题满分为 12 分)设 f ( x) = 6 cos 2 x ? 2 3 sin x ? cos x, x ∈ R ( (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)若锐角 α 满足 f (α ) = 3 ? 2 3 ,求 tan α 及
1+ 2sinα cosα 的值 sin2 α ? cos2 α

18.(本小题满分为 12 分)甲、乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立 ( 3 23 解出的概率为 ,被甲或乙解出的概率为 ; 5 25 (Ⅰ)求该题被乙独立解出的概率; (Ⅱ)求解出该题的人数 ξ 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分为 12 分) 如图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC,AE∥BD,且 AB=BC=CA=BD=2AE =2 (Ⅰ)求证:平面 ECD⊥平面 BCD (Ⅱ)求二面角 D—EC—B 的大小; D (Ⅲ)求三棱锥 A—ECD 的体积。
E

A C

B

2 20.(本小题满分为 12 分)数列{an } 满足 a1 = 2, an +1 = an + 6an + 6 ( n ∈ N ? ) (

(Ⅰ)设 cn = log 5 (an + 3) ,求证 {cn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ) bn = 设
1 1 5 1 ? 2 , 数列 {bn } 的前 n 项的和为 Tn , 求证: ? ≤ Tn < ? an ? 6 an + 6an 16 4

21.(本小题满分为 12 分) ( x2 y2 5 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的一条准线方程为 l : x = ? , 且左焦点 F 到的 a b 2
1 。 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
l 距离为

(Ⅱ) 过点 F 的直线交椭圆 C 于两点 A、 交 l 于点 M,若 MA = λ1 AF ,MB = λ2 BF , B、 证明 λ1 + λ2 为定值。

22.(本小题满分为 14 分) 设函数 f ( x) = ? x3 ? 2mx 2 ? m 2 x + 1 ? m(其中 m > ?2 ) ( 的图象在 x = 2 处的切线与直线 y = ?5 x + 12 平行。 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅲ)若 a ≥ 0 , b ≥ 0 , c ≥ 0 ,且 a + b + c = 1 ,求证:
a b c 9 + + ≤ 2 2 2 1 + a 1 + b 1 + c 10

数学(理科) 高 2010 级数学(理科)高考模拟试题 参 考 答 案
一.选择题 题 号 答 案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 B 7 C 8 C 9 C 1 0 B 1 B 1 2 D 1

二.填空题
13. 7 14.

1 ?m 2

15. 3

16.

2 21 3
: ∵

三.解答题 17.



f ( x) = 6 cos 2 x ? 2 3 sin x ? cos x = 3(1 + cos 2 x) ? 3 sin 2 x = 2 3 cos(2 x + ) + 3 , 6

π

∴(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T = π ; 由 ?π + 2kπ ≤ 2 x +

π
6

≤ 2kπ 得 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ ?

(Ⅱ)由 f (α ) = 3 ? 2 3 得 2 3 cos(2α + ) + 3 = 3 ? 2 3 ,∴ cos(2α + ) = ?1 。 6 6 π π π 7π π 5π 又由 0 < α < 得 < 2α + < ,∴ 2α + = π ,∴ α = , 2 6 6 6 6 12 3 +1 5π π π 3 ∴ tan α = tan = tan( + ) = = 2+ 3 12 6 4 3 1? 3 ∴

π

7π π , kπ ? ] ( k ∈ Z ) 12 12

π

(sin α + cos α ) 2 sin α + cos α 1+ 2sinα cosα = = 2 2 sin α ? cos α (sin α + cos α )(sin α ? cos α ) sin α ? cos α
= tan α + 1 3 + 3 3(1 + 3) = = = 3 tan α ? 1 1 + 3 1+ 3

18.解:(Ⅰ)记“甲独立解出该题”为事件 A,“乙独立解出该题”为事件 B, 则 P ( A) =

3 23 ,∵该题被甲或乙解出的概率为 , 5 25 23 23 4 ∴1 ? P( A ? B) = ,即 1 ? [1 ? P ( A)] ? [1 ? P ( B )] = ,解得 P ( B ) = 25 25 5 4 故该题被乙独立解出的概率为 5

(Ⅱ)由题知 ξ 的取值为 0,1,2, 且
P (ξ = 0) = P ( A ? B ) = 2 11 12 , P (ξ = 1) = P ( A ? B + A ? B ) = , P (ξ = 2) = P ( A ? B ) = 25 25 25

∴ ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

2 11 12 25 25 25 2 11 12 7 ∴ Eξ = 0 × + 1× + 2 × = 25 25 25 5 19.(Ⅰ)证明:分别取 CD、CB 的中点 F、G,连结 EF、FG、AG。由题知四边形 AEFG 为矩形,易证 AG⊥面 CBD,AG∥EF, ∴EF⊥面 CBD,又 EF ? 平面 ECD, ∴平 面 ECD⊥平面 BCD (Ⅱ)法 1:连结 BF,则 BF⊥CD,由(Ⅰ)知,BF⊥面 ECD,过 F 作 FM⊥EC,垂足为 M,连结 MB,则 ∠BMF 为二面角 D—EC—B 的平面角。

由题意知, EC = ED = 5, CD = 2 2 ,∴在 ?ECF 中, MF =

EF ? FC 30 = ,又 CE 5

BF = 2 ,
∴ tan ∠BMF =
BF 15 15 = ,∴二面角 D—EC—B 的大小为 arctan MF 3 3
z

D

法 2:建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(0,2,0),C( 3 ,1,0),D(0,2,2),E(0,0,1) E , AE = (0, 0,1) , CE = (? 3, ?1,1) ,
CD = (? 3,1, 2) , CB = (? 3,1, 0)
A

B C

y

设 n = ( x, y, z ), m = (a, b, c) 分别 为平面 ECD 与平面 ECB 的法向量,则 ? ? 3x ? y + z = 0 ? 由? 有 n = ( 3, ?1, 2) ; ?? 3x + y + 2 z = 0 ? ?? 3a ? b + c = 0 ? 由? ,有 m = (1, 3, 2 3) 。 ? ? 3a + b = 0 ?

x

∴ cos < n, m >=

n?m n?m

=

6 6 ,∴二面角 D—EC—B 的大小为 arccos 4 4

1 3 (Ⅲ) VA? ECD = VC ? AED = S ?ADE × 3 = 3 3
2 20. (Ⅰ)由 an +1 = an + 6an + 6 得 an +1 + 3 = (an + 3) 2 ,∴ log 5 (an +1 + 3) = 2 log 5 (an + 3) ,

即 cn +1 = 2cn ∴ {cn } 是以 2 为公比的等比数列; (Ⅱ)又 c1 = log 5 5 = 1 ,∴ cn = 2n ?1 ,即 log 5 (an + 3) = 2n ?1 ,∴ an + 3 = 52 ,故
an = 5 2 ? 3
n ?1 n ?1









bn =

1 1 ? 2 an ? 6 an + 6an

=

1 1 ? an ? 6 an +1 ? 6





Tn =
1

1 1 1 1 ? = ? ? 2n 。 a1 ? 6 an +1 ? 6 4 5 ?9
≤ 1 1 5 1 = ,∴ ? ≤ Tn < ? 5 ? 9 16 16 4
2

又0 < 21.

5 ?9
2n

? a2 5 ?? = ? ; 2 ?a 2 = 5; ? 2c ? 1 ?a 解:(Ⅰ)依题意有 ? ? c = ;,解方程组得 ?b 2 = 1; 2 ?c ?c 2 = 4. 2 2 ? ?a = b + c 2. ? ? ∴ 椭圆C的方程为 x2 + y2 = 1 . 5

(Ⅱ)依题意可知直线 AB 的斜率存在, 5 当斜率为 0 时, 直线 y = 0 和椭圆交于 A( ? 5 , 0), B( 5 , 0), 和直线 l 交于 M ( ? , 0) 2 点, 则易知 λ1 + λ2 = 0 . 当斜率不为 0 时,可设直线 AB 方程为 x = my ? 2 ( m ≠ 0 ),

? x = my ? 2; 5 1 ? A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), M (? , ? ) ,由 ? x 2 得(m 2 + 5) y 2 ? 4my ? 1 = 0 , 2 2 2m ? + y = 1. ?5
由根与系数的关系得 y1 + y 2 =

4m 1 , y1 y 2 = ? 2 , 2 m +5 m +5

又 ∵ MA = λ1 AF , ∴ y1 +
∴ λ1 + λ2 = ?2 ?

1 1 1 = ?λ1 y1 , λ1 = ? ? 1, 同理 λ2 = ? ?1 2m 2my1 2my2
∴ λ1 + λ2为定值.

1 y1 + y2 1 ? = ?2 ? (?4m) = 0. 2m y1 y2 2m

综上所述 λ1 + λ2为定值.

22.解:(Ⅰ)∵ f ( x) = ? x3 ? 2mx 2 ? m 2 x + 1 ? m ,∴ f ′( x) = ?3 x 2 ? 4mx ? m2 , ∴ f ′(2) = ?12 ? 8m ? m 2 = ?5 ,解得 m = ?1 或 m = ?7 (舍去),即
m = ?1 1 。当 x 变化时, f ′( x) 及 f ( x) 的 3

(Ⅱ)由 f ′( x) = ?3 x 2 + 4 x ? 1 = 0 解得 x1 = 1, x2 = 变化情况如下表: 1 (0, ) 3 -

x
f ′( x)

0

1 3

1 ( ,1) 3 +

1

最小值 50 2 ↘ 27 1 50 所以,函数 f ( x) 在区间[0,1] 的最小值为 f ( ) = 。 3 27 f ( x) (Ⅲ)∵ f ( x) = ? x3 + 2 x 2 ? x + 2 = (1 + x 2 )(2 ? x) ,
由(Ⅱ)知,当 x ∈ [0,1] 时,有不等式 (1 + x )(2 ? x ) ≥
2



2

50 27



1 27 x 27 ≤ (2 ? x) ,即 ≤ (2 x ? x 2 ) 2 2 1+ x 50 1+ x 50

当 a ≥ 0 , b ≥ 0 , c ≥ 0 ,且 a + b + c = 1 时, 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 1 , ∴ a b c 27 27 + + ≤ [2(a + b + c) ? (a 2 + b 2 + c 2 )] = [2 ? (a 2 + b 2 + c 2 )] , 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 50 50

又∵ (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 )

∴ a 2 + b2 + c 2 ≥

1 a b c 27 1 9 。 故 + + ≤ (2 ? ) = , 当 且 仅 当 2 2 2 3 1+ a 1+ b 1+ c 50 3 10 1 a = b = c = 时取等号。 3


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