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上海市浦东区2013届高三一模数学试题(理科)


浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷 (理科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

2013.1

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得

4 分, 否则一律得零分. 1.若集合 A ? { 0 , m } , B ? { 0 , 2 } , A ? B ? { 0 ,1, 2} ,则实数 m ?
? a 1 x ? b1 y ? c 1 ?1 2.已知二元一次方程组 ? 的增广矩阵是 ? ?1 ? ?a 2 x ? b2 y ? c 2

?1 1

1? ? ,则此方程组的解是/ 3? ?

3.函数 y ?

log 2 ( x ? 2 ) 的定义域

4.已知 x , y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ?
x ( x ? 0 )的反函数是
?? ? ?? ? ? x ? sin ? ? x ? 的最小正周期为 ? 4 ? ? 4 ?

6.函数 f ( x ) ? 2 sin ?

7.等差数列 ? a n ? 中, a 6 ? a 7 ? a 8 ? 12 ,则该数列的前 13 项的和 S 13 ? 8.已知数列 { a n } 是无穷等比数列,其前 n 项和是 S n ,若 a 2 ? a 3 ? 2 , a 3 ? a 4 ? 1 ,则 lim S n
n? ?

的值为 9.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为 10.二项式 ? x ? ?
? 1 2 ? 的展开式前三项系数成等差数列,则 n ? ? x ?
n

11.已知甲射手射中目标的频率为 0.9 ,乙射手射中目标的频率为 0.8 ,如果甲乙两射手的射 击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为
? a b 12. 已知向量 a 与 b ,a ? 2 ,b ? 3 , 、 的夹角为 60 , 1 ? m ? 2 , 0 ? n ? 2 时,m a ? n b 当

?

?

?? ?

?? ?

?

?

?

?

的最大值为 13.动点 P 在边长为 1 的正方体 ABC D ? A1 B1C 1 D1 的对角线 B D1 上从 B 向 D1 移动,点 P 作

垂直于面 BB1 D1 D 的直线与正方体表面交于 M , N , BP ? x , M N ? y ,则函数 y ? f ( x ) 的解 析式为 14.1, 2, ..., n 共有 n ! 种排列 a1 , a 2 , ..., a n ( n ? 2 , n ? N ? ) ,其中满足“对所有 k ? 1, 2, ..., n 都有
a k ? k ? 2 ”的不同排列有



二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是 正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b,则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B ”的 ( )
( B ) 必要非充分条件
1 4 ?2
x

( A ) 充分非必要条件

( C ) 充要条件
1 4

( D ) 非充分非必要条件

16.已知函数 f ( x ) ?
( A) ?
1 2

,若函数 y ? f ( x ? m ) ?
(C )
1 2

为奇函数,则实数 m 为(
(D) 1



(B) 0

3 17. x 1 ,x 2 ,x 3 , 若 …,x 2013 的方差为 3 , 3 ( x 1 ? 2 ) , ( x 2 ? 2 ) , ( x 3 ? 2 ) , 3( x 2013 ? 2) 则 …, 3

的方差为
( A) 3 (B) 9 ( C ) 18 ( D ) 27
???? ??? ?





18.定义域为 ? a , b ? 的函数 y ? f ( x ) 图象的两个端点为 A , B ,向量 O N ? ? O A ? (1 ? ? ) O B ,
M ( x , y ) 是 f ( x ) 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1 ? ? ) b , ? ? ? 0,1? 。若不等式 M N ? k 恒

??? ?

成立,则称函数 f ( x ) 在 ? a , b ? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的 线性近似阀值.下列定义在 ?1, 2 ? 上函数中,线性近似阀值最小的是 (
( A) y ? x
2


1 x

(B) y ?

2 x

( C ) y ? sin

?
3

x

(D) y ? x ?

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如
A


?B










?

A

B ?

1

C

1

中1 A

, B

A1

C

c1

A 1 C , ? ABC ? 45 ? 2 ? A A

B1

A

C

B

(1) 求点 A 到平面 A1 B C 的距离; (2) 求二面角 A ? A1C ? B 的大小。

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图点 M 在 AC 上,点 N 在 A B 上, P 点在斜边 BC 上, 且 已知 ? ACB ? 60 ? 且 | AC |? 30 米,A M = x , ? [10 , 20 ] 。 x (1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 A M P N 健身场地每平方米的造价为
37 k S 12 k S
N P B

,再把矩形

A M P N 以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为

( k 为正

常数) 求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f (S ) ; , 试问如何选取 | AM | 的长 使总造价 T 最低。 (不要求求出最低造价)
A M C

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

已知复数 z1 ? 2 sin ? ?

3i , z 2 ? 1 ? (2 cos ? ) i , ? ? [

? ?

, ]。 3 2
? ? ? ?

(1)若 z1 ? z 2 为实数,求角 ? 的值; (2)若复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 a , b ,存在 ? 使等式 ( ? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立,求实 数 ? 的取值范围。
? ?

22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 { x n } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( x n ?1 ? p )( x n ? p ) ? 0 成立, 那么我们称数列 { x n } 为“ p ? 摆动数列”.
? (1)设 a n ? 2 n ? 1 , b n ? q ( ? 1 ? q ? 0 ) n ? N ,判断数列 { a n } 、{b n } 是否为“ p ? 摆 ,
n

动数列”,并说明理由; (2)已知“ p ? 摆动数列” { c n } 满足 c n ? 1 ?
n

1 cn ? 1

, c1 ? 1 ,求常数 p 的值.

(3)设 d n ? ( ? 1) ? ( 2 n ? 1) ,且数列 { d n } 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 { S n } 是“ p ? 摆动数 列”,并求出常数 p 的取值范围。


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