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浙江省杭州市建德市严州中学2014-2015学年高二上学期1月月考数学(理)试卷


2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高二(上)1 月月 考数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2 >0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下 列命题为真命题的是( ) A. p∧q B. ¬p∧¬q C. ¬p∧q D. p∧¬q
x

2.

/>


的(



A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3.过点(﹣1,2)且与直线 2x﹣3y+4=0 垂直的直线方程为( ) A. 3x+2y﹣1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x﹣3y+5=0 D. 2x﹣3y+8=0

4.如图,空间四边形 OABC 中, 为 BC 中点,则 =( )

,点 M 在

上,且 OM=2MA,点 N

A.

B.

C.

D.

5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

6.设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m⊥β的 是( ) A. α⊥β,m? α B. m⊥α,α⊥β C. m⊥n,n? β D. m∥n,n⊥β 7.如图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( )

A. 34+6

B. 6+6

+4

C. 6+6

+4

D. 17+6

8.已知双曲线 ( ) A. y=±2x B. C.

的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

D.

9.如图所示,已知椭圆的方程为

,A 为椭圆的左顶点,B,C 在椭 )

圆上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=45°,则椭圆的离心率等于(

A.

B.

C.

D.

10. 已知直线 l: xcosθ+ysinθ=1, 且 0P⊥l 于 P, O 为坐标原点, 则点 P 的轨迹方程为 ( A. x +y =1 B. x ﹣y =1 C. x+y=1 D. x﹣y=1
2 2 2 2



二.填空题: (每小题 4 分,共 28 分)

11.已知椭圆 C:

+

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(3,0) ,且点(﹣3, .
2

)在椭

圆 C 上,则椭圆 C 的标准方程为
2 2 2

12.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y ﹣6x﹣8y+m=0 外切,则 m=



13.一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱 锥的侧面积为 . 14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①?a≠2;②?b=2;③?c≠0 有 且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于 . 15.已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x﹣1 被圆 C 所截得的弦 长为 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 . 16. 设 m∈R, 过定点 A 的动直线 x+my=0 与过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P (x, y) , 则|PA|+|PB|的取值范围是 . 17.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,MN 是正方体内切球的直径,P 为正方体表面上的动 点,则 ? 的最大值为 .

三.解答题(共 4 题,共 42 分) 18.设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,q:实数 x 满足|x﹣4|≤16 (1)若 a=1 且命题? p∧q 为真,求 x 的范围 (2)若 a≠0 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的范围. 19.如图,已知实数 t 满足 t∈(0,10) ,由 t 确定的两个任意点 P(t,t) ,Q(10﹣t,0) , 问: (1)直线 PQ 是否能通过点 M(6,1)和点 N(4,5)? (2)在△OPQ 中作内接正方形 ABCD,顶点 A、B 在边 OQ 上,顶点 C 在边 PQ 上,顶点 D 在边 OP 上. 求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点 A、B、C、D 的坐标.
2 2

20.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=CD=CB=a,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四 边形 ACFE 是矩形,AE=a. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)求二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值.

21.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 四边形的面积为 4. (1)求椭圆的标准方程;

的椭圆;以椭圆的顶点为顶点构成的

(2)若 A,B 分别是椭圆长轴的左.右端点,动点 M(异于 A、B)满足 交椭圆于 P,求 ? 的最小值并求对应的直线 AM 的方程.

=0,直线 MA

2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高二(上) 1 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2 >0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下 列命题为真命题的是( ) A. p∧q B. ¬p∧¬q C. ¬p∧q D. p∧¬q 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 判定命题 p,q 的真假,利用复合命题的真假关系即可得到结论. 解答: 解:p:根据指数函数的性质可知,对任意 x∈R,总有 2 >0 成立,即 p 为真命题, q: “x>1”是“x>2”的必要不充分条件,即 q 为假命题, 则 p∧¬q 为真命题, 故选:D. 点评: 本题主要考查复合命题的真假关系的应用,先判定 p,q 的真假是解决本题的关键, 比较基础.
x x

2.



的(



A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 探究型. 分析: 利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 ,则根据不等式的性质可知 成立.



,当 x=2,y=1 时,满足

,但

不成立.

所以



的必要不充分条件.

故选 C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,要求熟练掌握利用充分条件和必要条件 的定义进行判断的方法.

3.过点(﹣1,2)且与直线 2x﹣3y+4=0 垂直的直线方程为( ) A. 3x+2y﹣1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x﹣3y+5=0 D. 2x﹣3y+8=0 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线 2x﹣3y+4=0 垂直的直线方程为﹣3x ﹣2y+c=0,再把点(﹣1,2)代入,即可求出 c 值,得到所求方程. 解答: 解:∵所求直线方程与直线 2x﹣3y+4=0 垂直,∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0 ∵直线过点(﹣1,2) ,∴﹣3×(﹣1)﹣2×2+c=0 ∴c=1 ∴所求直线方程为 3x+2y﹣1=0. 故选:A. 点评: 本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系,以及待定系数法求直线方程, 属于常规题.

4.如图,空间四边形 OABC 中, 为 BC 中点,则 =( )

,点 M 在

上,且 OM=2MA,点 N

A.

B.

C.

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由题意,把 , , 三个向量看作是基向量,由图形根据向量的线性运算,将

用三个基向量表示出来,即可得到答案,选出正确选项. 解答: 解:由题意 = = =﹣ =﹣ + + + + + ﹣ + + + ﹣

又 ∴

= , =﹣ +

= , +

=

故选 B.

点评: 本题考点是空间向量基本定理,考查了用向量表示几何的量,向量的线性运算,解 题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来,本题是向量的基础题. 5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 根据题意可设 CB=1,CA=CC1=2,分别以 CA、CC1、CB 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立如图 坐标系,得到 A、B、B1、C1 四个点的坐标,从而得到向量 与 的坐标,根据异面直线

所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式,可以算出直线 BC1 与直线 AB1 夹角 的余弦值. 解答: 解:分别以 CA、CC1、CB 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立如图坐标系, ∵CA=CC1=2CB,∴可设 CB=1,CA=CC1=2 ∴A(2,0,0) ,B(0,0,1) ,B1(0,2,1) ,C1(0,2,0) ∴ 可得 向量 =(0,2,﹣1) , ? 与 =(﹣2,2,1) = , =3,

=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=3,且

所成的角(或其补角)就是直线 BC1 与直线 AB1 夹角,

设直线 BC1 与直线 AB1 夹角为θ,则 cosθ=

=

故选 A 点评: 本题给出一个特殊的直三棱柱,求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值,着 重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论,属于基础题. 6.设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m⊥β的 是( ) A. α⊥β,m? α B. m⊥α,α⊥β C. m⊥n,n? β D. m∥n,n⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据选项 A,B,C,D 所给的条件,分别进行判断,能够得到正确结果. 解答: 解:A:α⊥β,且 m? α? m? β,或 m∥β,或 m 与β相交,故 A 不成立; B:由 m⊥α,α⊥β,知 m∥β或 m? β,从而 m⊥β不成立,故 B 不成立; C:m⊥n,n? β? m? β,或 m∥β,或 m 与β相交,故 C 不成立; D:m∥n,且 n⊥β? m⊥β,故 D 成立; 故选 D. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 7.如图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( )

A. 34+6

B. 6+6

+4

C. 6+6

+4

D. 17+6

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 一个底面是矩形的四棱锥,矩形的长和宽分别是 6,2,底面上的高与底面交于底面 一条边的中点,四棱锥的高是 4,根据勾股定理做出三角形的高,写出所有的面积表示式, 得到结果. 解答: 解:由三视图知,这是一个底面是矩形的四棱锥, 矩形的长和宽分别是 6,2 底面上的高与底面交于底面一条边的中点, 四棱锥的高是 4, ∴四棱锥的表面积是 2×6+ 故选 A. + =34+6 ,

点评: 本题考查由三视图求几何体的表面积,考查由三视图还原几何体的直观图,考查平 面图形面积的求法,本题是一个基础题.

8.已知双曲线 ( ) A. y=±2x B. C.

的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由离心率的值,可设 方程. 解答: 解:∵ 故可设 ∴渐近线方程为 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 的值是解题的 关键. , ,则得 , , ,则得 ,可得 的值,进而得到渐近线

9.如图所示,已知椭圆的方程为

,A 为椭圆的左顶点,B,C 在椭 )

圆上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=45°,则椭圆的离心率等于(

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;数形结合;转化思想. 分析: 由图形知|BC|=a,且 BC∥OA 由椭圆的对称性知,B,C 两点关于 y 轴对称,由此可 以求出两点的坐标,再连接 OC,有∠OAB=45°及平行的性质,椭圆的对称性,令椭圆的右 端点为 M,则有∠COM=∠CMO=∠OAB=45°由此可得 CO 垂直于 MC,由此垂直关系建立方程即 可求得离心率的值. 解答: 解: 令椭圆的右端点为 M, 连接 CM, 由题意四边形 OABC 为平行四边形, 且∠OAB=45°, B,C 在椭圆上,可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°,则有∠OCM=90°,故可得 kOC×kCM=﹣1

又四边形 OABC 为平行四边形,B,C 在椭圆上,由图形知|BC|=a,且 BC∥OA 由椭圆的对称 性知,B,C 两点关于 y 轴对称,故 C 的横坐标为 ,代入椭圆的方程得

,解得 y=±

b,

由图形知 C ( ,

b) , 故有

, 所以有

解得 a =3b ,

2

2

故可得 c =2b ,所以 e = ,得 e= 故选 C 点评: 本题考查椭圆的简单性质,求解本题的关键是根据椭圆的对称性得出点 C 的坐标以 及图形中的垂直关系, 求出点 C 的坐标是为了表示出斜率, 求出垂直关系是为了利用斜率的 乘积为﹣1 建立方程,然后再根据求离心率的公式求出离心率即可.本题比较抽象,方法单 一,入手较难,运算量不大. 10. 已知直线 l: xcosθ+ysinθ=1, 且 0P⊥l 于 P, O 为坐标原点, 则点 P 的轨迹方程为 ( A. x +y =1 B. x ﹣y =1 C. x+y=1 D. x﹣y=1 考点: 轨迹方程;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 利用 0P⊥l 于 P,可得点 O 到直线 l 的距离等于|OP|,从而可得点 P 的轨迹方程. 解答: 解:设 P(x,y) ,则 ∵0P⊥l 于 P ∴点 O 到直线 l 的距离等于|OP| ∴
2 2 2 2 2 2

2

2

2



=

=1

∴x +y =1 故选 A. 点评: 本题考查轨迹方程,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是将问题转化为点 O 到直线 l 的距离等于|OP|. 二.填空题: (每小题 4 分,共 28 分) 11.已知椭圆 C: + =1(a>0,b>0)的右焦点为 F(3,0) ,且点(﹣3, )在椭

圆 C 上,则椭圆 C 的标准方程为

+

=1 .

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出椭圆方程,利用椭圆的定义,求出 a 的值;根据椭圆中三个参数的关系求出 b, 代入椭圆方程即可. 解答: 解:根据椭圆的方程为 + =1,

∵椭圆的右焦点坐标为(3,0) , ∴椭圆的两个焦点坐标分别为(﹣3,0) , (3,0) , 并且经过点点(﹣3, ) ,

∴2a=

+

=6

∴a=3 ∵椭圆两个焦点的坐标分别是(﹣3,0) , (3,0) , ∴c =9, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =9, ∴椭圆的方程为 + =1.
2

故答案为:

+

=1.
2 2

点评: 求圆锥曲线的方程的问题, 一般利用待定系数法; 注意椭圆中三个参数的关系为 b =a 2 ﹣c 12.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y ﹣6x﹣8y+m=0 外切,则 m= 9 .
2 2 2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 化两圆的一般式方程为标准方程,求出圆心和半径,由两圆心间的距离等于半径和 列式求得 m 值. 解答: 解:由 C1:x +y =1,得圆心 C1(0,0) ,半径为 1, 2 2 2 2 由圆 C2:x +y ﹣6x﹣8y+m=0,得(x﹣3) +(y﹣4) =25﹣m, ∴圆心 C2(3,4) ,半径为 ∵圆 C1 与圆 C2 外切, ∴5= +1, .
2 2

解得:m=9. 故答案为:9. 点评: 本题考查两圆的位置关系,考查了两圆外切的条件,是基础题.

13.一个六棱锥的体积为 2 锥的侧面积为 12 . 考点: 专题: 分析: 解答:

,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱

棱柱、棱锥、棱台的体积. 空间位置关系与距离;立体几何. 判断棱锥是正六棱锥,利用体积求出棱锥的高,然后求出斜高,即可求解侧面积. 解:∵一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等, ,

∴棱锥是正六棱锥,设棱锥的高为 h,则 ∴h=1, 棱锥的斜高为: 该六棱锥的侧面积为: 故答案为:12. = =12. =2,

点评: 本题考查了棱锥的体积,侧面积的求法,解答的关键是能够正确利用体积与表面积 公式解题. 14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①?a≠2;②?b=2;③?c≠0 有 且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于 201 . 考点: 集合的相等. 专题: 集合. 分析: 根据集合相等的条件,列出 a、b、c 所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出 a、b、c 的值后代入式子求值. 解答: 解:由{a,b,c}={0,1,2}得,a、b、c 的取值有以下情况: 当 a=0 时,b=1、c=2 或 b=2、c=1,此时不满足条件; 当 a=1 时,b=0、c=2 或 b=2、c=0,此时不满足条件; 当 a=2 时,b=1、c=0,此时不满足条件; 当 a=2 时,b=0、c=1,此时满足条件; 综上得,a=2、b=0、c=1,代入 100a+10b+c=201, 故答案为:201. 点评: 本题考查了集合相等的条件的应用,以及分类讨论思想,注意列举时按一定的顺序 列举,做到不重不漏. 15.已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x﹣1 被圆 C 所截得的弦 长为 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 x+y﹣3=0 .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆的位置关系. 直线与圆. 先求圆心坐标,然后可求过圆心与直线? 垂直的直线的方程. 解:由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0,并设圆心坐标为(a,0) , ,解得 a=3 或﹣1,

则由题意知:

又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3,故圆心坐标为(3,0) , ∵圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0,即 m=﹣3, 故所求的直线方程为 x+y﹣3=0. 故答案为:x+y﹣3=0. 点评: 本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直 线与圆问题的能力. 16. 设 m∈R, 过定点 A 的动直线 x+my=0 与过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P (x, y) , 则|PA|+|PB|的取值范围是 .

考点: 恒过定点的直线. 专题: 直线与圆. 分析: 动直线 x+my=0 过定点 A(0,0) ,动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)+3﹣m=0 过定 点 B(1,3) .无论 m=0,m≠0,都有此两条直线垂直.因此点 P 在以 AB 为直径的圆上,利 用 ≥|PA|+|PB|≥|AB|,即可得出.

解答: 解:动直线 x+my=0 过定点 A(0,0) , 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)+3﹣m=0 过定点 B(1,3) . 无论 m=0,m≠0,都有此两条直线垂直. ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上, |AB|= ∴ ∴ ≥|PA|+|PB|≥ ,|PA| +|PB| =10. ≥|PA|+|PB|≥|AB|,当且仅当|PA|=|PB|= . 时取等号.
2 2

故答案为: . 点评: 本题考查了“直线系”的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、勾股 定理、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,MN 是正方体内切球的直径,P 为正方体表面上的动 点,则 ? 的最大值为 .

考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用.

分析: 连接 PO,可得 时,即可得出 ?

?

=

=

﹣ ,当

取得最大值

取得最大值. ? = + 取得最大值为 + = = . ﹣ ,

解答: 解:连接 PO,可得 = 当 取得最大值 时,

?

故答案为: .

点评: 本题考查了数量积运算、正方体及其内切球的性质,考查了空间想象能力,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 三.解答题(共 4 题,共 42 分) 18.设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,q:实数 x 满足|x﹣4|≤16 (1)若 a=1 且命题? p∧q 为真,求 x 的范围 (2)若 a≠0 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)若 a=1,分别求出 p,q 成立的等价条件,利用且? p∧q 为真,求实数 x 的取 值范围; (2)利用 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)若 a=1,则 p:x∈(1,3) ,q:x∈[﹣12,20], 若? p∧q 为真, 则 ,
2 2

则所求为:x∈[﹣12,1]∪[3,20]. (2)若 a>0 时有 p:x∈(a,3a) ,若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 3a≤20,则 若 a<0 时有 p:x∈(3a,a) ,p 是 q 的充分不必要条件, 则 3a≥﹣12,则﹣4≤a<0

综上:



点评: 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键, 19. (10 分) (2014 秋? 建德市校级月考)如图,已知实数 t 满足 t∈(0,10) ,由 t 确定 的两个任意点 P(t,t) ,Q(10﹣t,0) ,问: (1)直线 PQ 是否能通过点 M(6,1)和点 N(4,5)? (2)在△OPQ 中作内接正方形 ABCD,顶点 A、B 在边 OQ 上,顶点 C 在边 PQ 上,顶点 D 在边 OP 上. 求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点 A、B、C、D 的坐标.

考点: 平行线分线段成比例定理. 专题: 选作题;矩阵和变换. 分析: (1)可先求直线 PQ 的方程再把点 M,点 N 的坐标代入检验即可得到结论. (2)阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积,作差求最值即可. 解答: 解: (1)直线 PQ 方程:tx﹣(2t﹣10)y+t ﹣10t=0 2 若通过点 M,则得:t ﹣6t+10=0,t 无解 若通过点 N,则得: (舍) 故:直线 PQ 一定不过点 M,当 时可以过点 N..(5 分) (2)设边长为 a,则 A(a,0) ,B(2a,0) ,C(2a,a) ,D(a,a) 把点 C 坐标代人直线 PQ 得:t ﹣10t=﹣10a 又 ,
2 2

由 t∈(0,10)且 10﹣t≥t 知 t∈(0,5],则 故当 时,S 阴取最大值 ,此时所求的对应坐标为 …(10 分) 点评: 转化思想是我们高中常考的一种解题思想,常用于正面不好求,但转化后好求的题 中. 20.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=CD=CB=a,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四 边形 ACFE 是矩形,AE=a.

(Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)求二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出四边形 ABCD 是等腰梯形,进而推导出 AC⊥BC,由此能证 明 BC⊥平面 ACFE. (Ⅱ)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH,由题设条件推导出∠DGH 是二面角 B﹣EF ﹣D 的平面角,由此能求出二面角 B﹣EF﹣D 的平面角余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,AB∥CD, ∵∠ABC=60°,AD=CD=CB=a, ∴四边形 ABCD 是等腰梯形,…(2 分) 且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120°, ∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°, ∴AC⊥BC.…(4 分) 又∵平面 ACFE⊥平面 ABCD,交线为 AC, ∴BC⊥平面 ACFE.…(6 分) (Ⅱ)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH, ∵AD=CD=CB=a,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形,AE=a. ∴DE=DF,∴DG⊥EF,…(8 分) ∵BC⊥平面 ACFE,∴BC⊥EF, 又∵EF⊥FC,∴EF⊥FB, 又∵GH∥BF,∴EF⊥GH, ∴∠DGH 是二面角 B﹣EF﹣D 的平面角.…(10 分) 在△BDE 中,DE=
2 2 2

,DB=

,BE=

=



∴BE =DE +DB ,∴∠EDB=90°, ∴DH= ,又 DG= ,GH= ,…(12 分)

∴在△DGH 中,由余弦定理得 cos , .…(14 分)

∴二面角 B﹣EF﹣D 的平面角余弦值为

(注:若用空间向量解答,则酌情给分. )

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的平面角的余弦值的求法,解题时要 注意空间思维能力的培养.

21.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 四边形的面积为 4. (1)求椭圆的标准方程;

的椭圆;以椭圆的顶点为顶点构成的

(2)若 A,B 分别是椭圆长轴的左.右端点,动点 M(异于 A、B)满足 交椭圆于 P,求 ? 的最小值并求对应的直线 AM 的方程.

=0,直线 MA

考点: 椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)根据题意得到 ab=1,再根据离心率求得 e= = 即可得到椭圆得标准方程. (2)根据 =0 得到 M 点得轨迹是以 AB 为直径得圆周上,分别 P(x1,y1) ,M(x2,y2) , ,a =b +c ,解得 a,b 得值,
2 2 2

设直线 MA 的方程为 y=k(x+2) , (k≠0) ,分别联立方程组,根据直线和圆和直线与椭圆得 位置关系,求出 P,M 的坐标,再根据向量的坐标运算以及基本不等式求得 值,继而求出方程. 解答: 解: (1)∵椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为 4. ∴ ×2a×2b=4, ∴ab=2, ∵e= = ,a =b +c ,
2 2 2

?

的最小

∴a=2,b=1,

∴椭圆的标准方程为 (2)∵ =0,

+y =1;

2

∴M 点得轨迹是以 AB 为直径得圆周上, ∵AB=4, ∴M 点得轨迹方程为:x +y =1, 设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,设直线 MA 的方程为 y=k(x+2) , (k≠0) , ∵
2 2 2 2 2


2

∴(1+k )x +4k x+4k ﹣4=0, ∴﹣2x2= ,

∴x2=

, ,

∴y2=k(x2+2)=





∴(1+4k )x +16k x+16k ﹣4=0, ∴﹣2x1= ,

2

2

2

2

∴x1=﹣

. ,

∴y1=k(x1+2)= ∴ ?

=

+

=

=

=4﹣

, ∵k >0,
2



?

=4﹣

≥4﹣

= ,当且仅当 k = 等号成立,

2



?

的最小值为 , (x+2) .

∴对应的直线 AM 的方程 y=±

点评: 本题考查了椭圆定义,直线和圆以及直线和椭圆得位置关系,以及向量的运算基本 不等式得应用,涉及得知识点较多,培养了学生得运算能力,转化能力,属于难题.


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